Применение эквивалентных функций при решении пределов
Метод решения
Применение эквивалентных функций позволяет упростить вычисление пределов. Если нам нужно вычислить предел дроби, то мы можем заменить множители в числителе и знаменателе эквивалентными функциями и вычислять предел от более простого выражения. Подчеркнем, что речь идет именно о множителях в дробях и произведениях. Замена эквивалентными функциями в других выражениях, например в суммах, может привести к неправильному результату. Однако, ошибки не будет, если выразить любую функцию в виде суммы эквивалентной ей функции и о малого (см. пример ⇓).
Все связанные с этим определения и теоремы приводятся на странице «О большое и о малое. Сравнение функций». Напомним некоторые из них.
Применяемые определения и теоремы
Таблица эквивалентных функций
| Эквивалентность при | Равенство при |
Предостережение
Как указывалось в самом начале, производить замену функций эквивалентными можно только в множителях дробей и произведений, предел которых мы хотим найти. В других выражениях, например в суммах, делать такую замену нельзя.
Примеры
Все примеры Далее мы приводим подробные решения следующих пределов, упрощая вычисления с помощью эквивалентных функций.
⇓, ⇓, ⇓, ⇓.
Пример 1
Из таблицы эквивалентных функций ⇑ имеем:
. Поскольку исходная функция является дробью и каждая из этих функций входит в нее в виде множителя в числителе или знаменателе, то заменим их на эквивалентные.
.
Пример 2
Из таблицы эквивалентных функций ⇑ находим:
.
Преобразуем квадрат логарифма:
.
Поскольку исходная функция является дробью и каждая из этих функций входит в нее в виде множителя в числителе или знаменателе, то заменим их на эквивалентные.
.
Пример 3
Вычисляем предел:
.
Поскольку у нас дробь, то заменим некоторые множители в числителе и знаменателе эквивалентными функциями, пользуясь приведенной выше таблицей ⇑.
;
;
.
Поскольку экспонента непрерывна для всех значений аргумента, то по теореме о пределе непрерывной функции от функции имеем:
.
Пример 4
В знаменателе мы сразу можем заменить натуральный логарифм эквивалентной функцией, как это сделали выше:
.
Теперь заменим множители эквивалентными функциями:
.
Примечание. Заметим, что делать замену функций на эквивалентные можно, только если функция, от которой ищется предел, является дробью или произведением. Тогда часть множителей в числителе или знаменателе можно заменить эквивалентными функциями. Так, если бы мы с самого начала заменили \ln (1+x) на x, то получили бы ошибку.
Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, 2003.
Эквивалентные бесконечно малые, применение к нахождению пределов
Для нахождения пределов используют замены эквивалентных бесконечно малых. Их проводят, основываясь на данных таблицы.
Таблица эквивалентных бесконечно малых
При использовании одно свойства логарифмов, получаем, что
lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = 1 α ( x ) ln ( 1 + α ( x ) ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x )
Запишем предел вида
lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x )
Логарифмическая функция считается непрерывной на своей области определения, тогда необходимо применять свойство предела непрерывных функций, причем сменить знак перед предельным переходом и логарифмом. Получаем, что
lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x ) = ln lim x → x 0 1 + α ( x ) 1 a ( x )
Предел принимает вид
lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x ) = ln lim x → x 0 1 + α ( x ) 1 a ( x ) = = ln lim t → 0 ( 1 + t ) 1 t = ln ( e ) = 1
Ответ: lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = 1
Получение 1 говорит о том, что заданные бесконечно малые функции эквивалентны. При последнем переходе применяли второй замечательный предел.
Таблица эквивалентных бесконечно малых необходима для ускорения процесса вычисления.
Производится подстановка значений
После того, как была произведена замена бесконечно малой функции на ее эквивалентную, предел запишется так:
Без таблицы эквивалентных бесконечно малых не имели бы возможность воспользоваться правилом Лопиталя. Получаем, что
Можно было произвести преобразование функции с применением тригонометрических формул с применением первого замечательного предела. Запишем, что
Что значит фраза «или эквивалент» в закупках по 44-ФЗ и 223-ФЗ?
Очень часто заказчики предусматривают в закупочной документации возможность для участников поставить не конкретно указанный товар, а аналогичный ему или эквивалент. Закон о контрактной системе обязывает заказчика это делать. Однако есть исключения, когда товар несовместимый или невзаимозаменяемый. Каких правил следует придерживаться в этом случае участникам, как правильно подготовить заявку, когда невозможно предложить эквивалент – разберемся в статье.
Товарный знак в 44-ФЗ
Понятие товарного знака напрямую связано с эквивалентностью товара в процедуре закупки. Однако 44-ФЗ не дает определения ТЗн. Его можно найти в ст.1477 ГК РФ.
Товарный знак – это исключительное право юридических лиц и индивидуальных предпринимателей на продукцию, которое индивидуализирует эту самую продукцию.
Если исходить из того, что закон о контрактной системе закупок основывается на гражданском законодательстве, то товарный знак в 44-ФЗ — это уникальное указание производителя или самого товара, которое идентифицирует предмет закупки. Как правило, он сопровождается фразой «или эквивалент», кроме некоторых случаев.
Что такое эквивалентность в 44-ФЗ?
Одна из целей 44-ФЗ – обеспечивать принцип конкуренции и не ограничивать потенциальных исполнителей в участии. Понятие «эквивалент» помогает соблюдать эти принципы и является одним из важнейших условий при оформлении заявки. Организаторы торгов не могут указывать такие требования к предмету закупки, которые бы сократили число участников (п.1 ч.1 ст.33). Одним из таких требований является товарный знак.
Поэтому заказчики обязаны в описании закупки указывать формулировку «или эквивалент». Что это значит, найдем в п.1 ч.1 ст.33 44-ФЗ. Это возможность использовать или поставить товар, отличный от того, который указал заказчик, с теми же характеристиками (показателями), но от другого производителя. Такая продукция называется аналогом или эквивалентом. Разницы между этими понятиями для 44-ФЗ нет.
В электронных аукционах торговые марки используют при закупке продукции, либо если заключают договор на работы (услуги), для выполнения которых она используется.
Для более точного описания продукции заказчики в документации указывают страну происхождения товара, а также при необходимости:
Если участник видит фразу «или эквивалент», он должен оценивать ситуацию как возможный выбор:
1) согласиться и поставить конкретную продукцию, заявленную заказчиком;
2) предложить аналогичный товар. Главное, чтобы конкретные показатели товара совпадали с показателями, указанными в техническом задании.
Как правильно заполнить заявку, если есть «или эквивалент»?
Если в документации организатор указал формулировку «или эквивалент», то исполнителю необходимо придерживаться следующих правил, чтобы не допустить ошибок:
Например, в закупке на поставку бензопилы заказчик указал: марка Stihl или эквивалент:
ТЕХНИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ
Поставка бензопилы
1.1. Объект закупки: поставка бензопилы
1.2. Место поставки: Республика Алтай, г. Горно-Алтайск, пр. Коммунистический 56
1.3. Срок поставки в течении 10 календарных дней с момента заключения контракта.
1.4. Описание товара:
лота
Мощность: не менее 1500 Вт / 2 л. с.
Длина шины: не менее 35 см и не более 40 см
Емкость топливного бака: не менее 0,25 л.
Емкость масляного бака: не менее 0,145 л.
Функции и возможности: тормоз цепи
Ведомая звездочка: 6-зубчатая
Макс. скорость цепи не менее согласно ISO 11681: MS 180, MS 180 C:22,3 м/сMS 180 2-MIX:24,8 м/с
Число оборотов на холостом ходу: не менее согласно ISO 11681 +/- 50 об/мин 2800 об/мин
Двигатель: одноцилиндровый двухтактный
Гарантийный срок: не менее 12 месяцев
Следовательно, контракт можно заключить на поставку бензопилы другой марки, но не отступая от указанных характеристик.
Заявка по неэквивалентному товару
Существует два исключения из правила про аналоги, которые изложены в п.1 ч.1 ст.33 44-ФЗ:
Вот пример технического задания на поставку оригинального товарного знака:
(шт)
Нужно ли указывать «или эквивалент» во всей документации, где встречается товарный знак?
Формулировку «или эквивалент» в документации необходимо указывать везде, где встречается тот или иной товарный знак. Хотя контролирующие организации часто не обращают внимания на такие нарушения. Описание предмета торгов, в том числе указание фразы «или эквивалент», для заказчика очень важно. Так как, с одной стороны, можно заработать штраф и понести административную ответственность за то, что не соблюдается закон о конкуренции. И с другой стороны, можно получить много запросов на разъяснение, или (что еще страшнее!) — жалобы в ФАС от участников закупки на неправильно составленную документацию.
Участнику тоже следует самым внимательным образом подходить к изучению документации на предмет наличия фразы «или эквивалент». Это поможет правильно подготовить заявку и быть уверенным, что ее не отклонят.
Как регулируется эквивалент по 223-ФЗ?
В 223-ФЗ не указываются, какие отличия есть между аналогом и эквивалентом. В п.3 ч.6.1 ст.3 223-ФЗ говорится, что если заказчик в описании объекта торгов указывает товарный знак, то он предусматривает возможность поставки эквивалентного товара, прописывая это условие в тексте документации. Следовательно, эти понятия являются словами-синонимами в контексте закупок по федеральному закону № 223.
Из этого правила есть исключения. Заказчик не может прописать возможность поставить аналог, если приобретает:
223-ФЗ также, как 44-ФЗ обязывает организаторов торгов прописывать фразу «или эквивалент». Заказчик посредством положения о закупке определяет порядок проведения тендера. При этом, в некоторых случаях, целесообразно устанавливать требование поставки товара с конкретным товарным знаком без возможности поставки аналогов.
ФАС России в большинстве случаев расценивает указание конкретного товарного знака как создание исполнителям преимущественных условий участия в закупке, что запрещено п.2 ч.1 ст.17 135-ФЗ и как нарушение принципа равноправия и ограничения конкуренции (п.2 ч.1 ст.3 223-ФЗ). Однако, как видно из судебной практики, если заказчик обосновывает невозможность поставки эквивалентов, то суды становятся на его сторону.
В данной статье речь пойдет об основных понятиях эквивалентных функций, с помощью которых можно найти значение пределов. Понятие эквивалентности поменяется не только в высшей математике, но и в логике, психологии, при переводах с иностранных языков. Оно означает «равнозначность», «равносильность», «равенство».
Определение эквивалентных функций
Функция может иметь такое понятие лишь при наличии предела. Следует понимать, что одна и та же функция принимает значение малой или большой до бесконечности лишь в единственной точке.
Теорема о замене функций эквивалентными в пределе частного
Если при x1, стремящимся к x2, f(x)
g1(x) существует предел:
то существует и предел:
Доказательство
Допустим, что следствие этой теоремы часто применяемое. Если мы имеем частное, являющееся результатом произведения функций:
в этом случае, при нахождении предела, можно сделать замену этих функций на эквивалентные:
Выражения равны друг другу, это значит, что при существовании одного из таких пределов, применимо существование выражения, равного первому. Соответственно, если не существует такой предел, то не может существовать и второй.
Следует отметить, что можно делать замену как одной величины функции, так и нескольких одновременно.
Таблица эквивалентных функций
Ниже приведена таблица равнозначных функций и формул при t → 0. В данном случае величина t может представлять собой как переменную, так и до бесконечности малую функцию t = t(x) при x → x0:
Эквивалентность при t → 0
Равенство при t → 0
a t – 1 = t ln a + 0(t)
Всегда ли можно сделать замену функций эквивалентными?
Свойства замены функций равносильными доступны для дробных выражений с перемножаемыми величинами и произведений, где необходимо найти предел.
В этом случае величины в числителе или знаменателе допускается заменить равнозначными функциями. Если математическое выражение представляет собой сумму чисел, замену сделать нельзя.
Примеры решения пределов с помощью эквивалентных функций
Для сравнения рассмотрим несколько примеров.
Пример 1
Начнём решение, учитывая, что tg2x
Пример 2
Пусть arcsin x = t, тогда x = sin t и t → 0 при x → 0. Исходя из этого:
Пример 3
Решение: если sin (15x)
Для решения пределов можно использовать онлайн калькуляторы, размещенные на ресурсах в свободном доступе.
Когда заказчик может закупать товар конкретной марки?
Может ли заказчик не писать формулировку «или эквивалент» в закупках по 44-ФЗ и 223-ФЗ? Что учесть поставщикам в заявке и как смотрит ФАС на торговые марки без аналогов в описании закупки.
иллюстратор — Маргарита Федосеева
Эквиваленты товаров в закупках по 44-ФЗ
Одна из целей 44-ФЗ — дать возможность участвовать и побеждать в закупках как можно большему числу компаний, поэтому заказчики не могут указывать к товарам требования, которые ограничат число участников.
Одним из таких ограничений может быть конкретный товарный знак, поэтому его нельзя указывать в описании закупки без формулировки «или эквивалент». Это дает участникам возможность поставить товар с теми же характеристиками, которые требует заказчик, но от другого производителя.
В конкурентных закупках есть всего два исключения, когда заказчик может запросить определенную марку товара ( п.1 ч.1 ст.33 44-ФЗ):
Иногда наличие товарного знака обязательное условие для соответствия ГОСТу как в постановлении арбитражного суда Западно-Сибирского округа от 11.02.2019 по делу А27-20949 2018.
Также заказчик может прописывать конкретные характеристики материалов и товаров при выполнении работ: например, краски, напольные покрытия, окна и т.д. В этом случае участники пишут согласие выполнить работы с использованием этих товаров.
В закупках у единственного поставщика по ст.93 44-ФЗ правила описания объекта из ст. 33 не распространяются. Заказчик имеет право купить товар определенной марки.
Эквиваленты товаров в закупках по 223-ФЗ
Закон также обязывает заказчиков при описании закупки использовать фразу «или эквивалент» (п.3 ч.6.1 ст.3 223-ФЗ). Из этого правила тоже есть исключения. Заказчик может не давать поставщикам возможность поставить аналог, когда закупает:
Как правильно заполнить заявку, когда есть можно поставить эквивалент?
Если заказчик указал формулировку «или эквивалент», придерживайтесь этих правил:
Не пишите формулировку «или эквивалент», в заявке можно указать только конкретные характеристики.
Не предлагайте аналогичный товар с улучшенными параметрами. Заказчик не допустит такую заявку к участию. Предложить улучшенный товар можно только на этапе исполнения контракта.
На что жаловаться в ФАС?
Важно понимать, что 44-ФЗ и 223-ФЗ выступают за конкуренцию между поставщиками, а не производителями.
Например, в смете на ремонт крыши заказчик указал тип кровли, который производит единственный завод в регионе. Оговорка «или эквивалент» отсутствовала. Но ограничением конкуренции это не будет, так как выполнить работы и поставить кровлю от одного производителя могут несколько поставщиков.
Жаловать можно, если заказчик:
В большинстве случаев ФАС считает ограничением участия в закупке ограничением конкуренции в закупке (п.2 ч.1 ст.3 223-ФЗ). Но если заказчик обосновывает невозможность купить эквивалент, решение выносят в его пользу.
