когда можно использовать правило лопиталя

Предел функции, правило Лопиталя

Самой важной частью правила Лопиталя является дифференцирование функции и нахождение ее производной.

Правило Лопиталя

Если неопределенность нерешаема после применения правила Лопиталя, тогда необходимо снова его применить. Для полного понятия рассмотрим несколько примеров.

Теперь можно переходить к вычислению пределов, используя правило. Получаем, что

Производим постановку бесконечностью. Получаем, что

lim x → ∞ ln ( x ) x = ln ( ∞ ) ∞ = » open=» ∞ ∞

Полученная неопределенность указывает на то, что необходимо применить правило Лопиталя. Имеем, что

lim x → ∞ ln ( x ) x = » open=» ∞ ∞ = lim x → ∞ ln ( x ) ‘ x ‘ = lim x → ∞ 1 x 1 = 1 ∞ = 0

Ответ: lim x → ∞ ln ( x ) x = 0

Вычислить предел заданной функции lim x → 0 + 0 ( x 4 ln ( x ) )

Решение привело к неопределенности вида ноль умноженный на отрицательную бесконечность. Это указывает на то, что необходимо обратиться к таблице неопределенностей и принять решения для выбора метода нахождения этого предела. После преобразования применяем правило Лопиталя. Получаем, что

Приход к неопределенности говорит о том, что необходимо повторное применение этого правила. Имеем, что

Ответ: lim x → 0 + 0 ( x 4 ln ( x ) ) = 0

После подстановки получаем

Наличие неопределенности указывает на то, что следует использовать правило Лопиталя. Получаем, что

Для последнего перехода использовался первый замечательный предел. После чего приходим к решению по Лопиталю. Получим, что

Так как неопределенность не ушла, необходимо еще одно применение правила Лопиталя. Получаем предел вида

Источник

Правило Лопиталя для чайников: определение, примеры решения, формулы

Мы уже начали разбираться с пределами и их решением. Продолжим по горячим следам и разберемся с решением пределов по правилу Лопиталя. Этому простому правилу по силам помочь Вам выбраться из коварных и сложных ловушек, которые преподаватели так любят использовать в примерах на контрольных по высшей математике и матанализу. Решение правилом Лопиталя – простое и быстрое. Главное – уметь дифференцировать.

Правило Лопиталя: история и определение

На самом деле это не совсем правило Лопиталя, а правило Лопиталя-Бернулли. Сформулировал его швейцарский математик Иоганн Бернулли, а француз Гийом Лопиталь впервые опубликовал в своем учебнике бесконечно малых в славном 1696 году. Представляете, как людям приходилось решать пределы с раскрытием неопределенностей до того, как это случилось? Мы – нет.

Кстати, о том, какой вклад внес в науку сын Иоганна Бернулли, читайте в статье про течение жидкостей и уравнение Бернулли.

Пределы

Прежде чем приступать к разбору правила Лопиталя, рекомендуем прочитать вводную статью про пределы в математике и методы их решений. Часто в заданиях встречается формулировка: найти предел, не используя правило Лопиталя. О приемах, которые помогут Вам в этом, также читайте в нашей статье.

Если имеешь дело с пределами дроби двух функций, будь готов: скоро встретишься с неопределенностью вида 0/0 или бесконечность/бесконечность. Как это понимать? В числителе и знаменателе выражения стремятся к нулю или бесконечности. Что делать с таким пределом, на первый взгляд – совершенно непонятно. Однако если применить правило Лопиталя и немного подумать, все становится на свои места.

Но сформулируем правило Лопиталя-Бернулли. Если быть совершенно точными, оно выражается теоремой. Правило Лопиталя, определение:

Если две функции дифференцируемы в окрестности точки x=a обращаются в нуль в этой точке, и существует предел отношения производных этих функций, то при х стремящемся к а существует предел отношения самих функций, равный пределу отношения производных.

Запишем формулу, и все сразу станет проще. Правило Лопиталя, формула:

Так как нас интересует практическая сторона вопроса, не будем приводить здесь доказательство этой теоремы. Вам придется или поверить нам на слово, или найти его в любом учебнике по математическому анализу и убедится, что теорема верна.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя

В раскрытии каких неопределенностей может помочь правило Лопиталя? Ранее мы говорили в основном о неопределенности 0/0. Однако это далеко не единственная неопределенность, с которой можно встретиться. Вот другие виды неопределенностей:

Рассмотрим преобразования, с помощью которых можно привести эти неопределенности к виду 0/0 или бесконечность/бесконечность. После преобразования можно будет применять правило Лопиталя-Бернулли и щелкать примеры как орешки.

Неопределенности

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность сводится к неопределенность вида 0/0 простым преобразованием:

Пусть есть произведение двух функций, одна из которых первая стремиться к нулю, а вторая – к бесконечности. Применяем преобразование, и произведение нуля и бесконечности превращается в неопределенность 0/0:

Для нахождения пределов с неопределенностями типа бесконечность минус бесконечность используем следующее преобразование, приводящее к неопределенности 0/0:

Для того чтобы пользоваться правилом Лопиталя, нужно уметь брать производные. Приведем ниже таблицу производных элементарных функций, которой Вы сможете пользоваться при решении примеров, а также правила вычисления производных сложных функций:

Таблица производных

Теперь перейдем к примерам.

Пример 1

Найти предел по правилу Лопиталя:

Пример 2

Вычислить с использованием правила Лопиталя:

Важный момент! Если предел вторых и последующих производных функций существует при х стремящемся к а, то правило Лопиталя можно применять несколько раз.

Найдем предел (n – натуральное число). Для этого применим правило Лопиталя n раз:

Желаем удачи в освоении математического анализа. А если Вам понадобится найти предел используя правило Лопиталя, написать реферат по правилу Лопиталя, вычислить корни дифференциального уравнения или даже рассчитать тензор инерции тела, обращайтесь к нашим авторам. Они с радостью помогут разобраться в тонкостях решения.

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Источник

Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя

В задачах на пределы можно столкнуться с ситуациями, разрешить которые достаточно просто, используя правило Лопиталя. Относительно простая закономерность является очень полезной, когда требуется найти ответ к заданию по математике или математическому анализу. При этом важно владеть навыками дифференцирования.

Правило Лопиталя — в чем суть, понятие

Название этой закономерности не совсем соответствует действительности. Было бы правильнее говорить «правило Лопиталя — Бернулли». Первая подробная формулировка была представлена швейцарским математиком Иоганном Бернулли. Французский ученый Гийом Лопиталь впервые опубликовал это правило в издании собственного учебника в 1696 году.

Правило Лопиталя позволяет существенно упростить некоторые расчеты предела отношения \(\displaystyle \frac\) при \(x\rightarrow a\) в том случае, когда \(f\) и \(g\) одновременно представляют собой бесконечно малые, либо бесконечно большие величины. С помощью выведенной закономерности допустимо осуществлять замену предела отношения функции, используя предел отношения их производных.

Доказательство 1 и 2 правила Лопиталя, вывод теоремы

Теорема 1

Допустим, что функции \(f(x)\) и \(g(x)\) дифференцируются на промежутке \((a,b)\) :

\(g'(x)\neq 0\ \) для всех \(\ x\in(a,b)\)

Тогда имеет место конечный и бесконечный:

Таким образом, также существует и равен A:

Можно сделать вывод:

Докажем данную теорию.

Допустим, что \(x\in(a,b)\)

Следует доопределить функции \(f(x)\) и \(g(x)\) в точке a, имея в виду, что:

Доказательство данного утверждения выполнено с помощью замены переменного \(\displaystyle x=\frac<1>\) и Теоремы 1.

Теорема 2

Допустим, что функции \(f(x)\) и \(g(x)\) дифференцируются при \(x > \alpha\) и \(g'(x)\neq 0\) при \(x > \alpha\)

и существует конечный:

Доказательство

\(\exists\alpha_ <1>> \alpha:\ \forall x > \alpha_<1>\rightarrow\ |f(x)| > 1\)

Согласно определению, для заданного числа \(\varepsilon > 0\) можно вычислить \(\delta=\delta_1(\varepsilon)\geq \alpha_1\) такое, что для всех \(t > \delta_<1>\) выполняется неравенство:

Определив \(x_ <0>> \delta_<1>\) на рисунке, выберем число \(\delta_ <2>> x_<0>\) такое, чтобы при всех \(x > \delta_<2>\) выполнялись неравенства:

Преобразуем левую часть равенства:

\(\forall \varepsilon > 0\ \exists\delta\geq\delta_<2>:\ \forall x > \delta\rightarrow|\beta(x)|

Исходя из того, что \(\xi > x_ <0>> \delta_<1>\) и вышеуказанных выражений, следует, что для всех \(x > \delta_<2>\) выполняется неравенство:

Таким образом, выведенное неравенство равносильно следующему:

Исходя из этого утверждения, можно записать:

Аналогичным способом можно определить:

Получим, что для всех \(x > \delta\) справедливо выведенное в теореме неравенство.

Правило Лопиталя для вычисления пределов

Решить пределы можно различными методами и формулами. Наиболее быстрый и простой способ, а также универсальный — это правило Лопиталя. Умение искать производные разных функций позволит использовать данную закономерность наиболее эффективно. Можно сформулировать правило Лопиталя при следующих условиях:

Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя

Формула и примеры решений

Правило Лопиталя: в том случае, когда две функции дифференцируемы в окрестности точки x=a, обращаются в нуль в этой точке, и существует предел отношения производных этих функций, то при х, которое стремится к а, существует предел отношения самих функций, который соотвесттвует пределу отношения производных.

Формула имеет следующий вид:

Задача 1

Требуется найти предел:

Решение

Далее необходимо вновь рассчитать предел с помощью подстановки \(x=-1\) в последний предел. Таким образом:

Задача 2

Требуется вычислить предел, используя правило Лопиталя:

Решение

Алгоритм вычислений стандартный:

Задача 3

Необходимо предоставить решение предела с помощью формулы Лопиталя:

Задача 4

Нужно решить предел:

Решение

Правилом Лопиталя допустимо пользоваться при решении задач с односторонними пределами. Можно сказать, что эта методика является наиболее эффективной для раскрытия неопределенностей вида \(\frac<0><0>\) и \(\frac<\infty><\infty>\) в том случае, когда необходимо вычислить предел. Смысл правила заключается в том, что предел отношения функций равен пределу отношений производных от этих функций. Если в процессе освоения этой и других подобных тем возникли сложности, всегда можно обратиться за помощью к сервису Феникс.Хелп.

Источник

Правило Лопиталя

При вычислении предела отношения \(\displaystyle \frac\) при \(x\rightarrow a\) в случае, когда функции \(f\) и \(g\) одновременно являются либо бесконечно малыми, либо бесконечно большими, иногда удобно применить так называемое правило Лопиталя, позволяющее заменять предел отношения функций пределом отношения их производных.

Неопределенность вида \(\displaystyle \frac<0><0>\).

\(\triangle\) Обозначим \(f(x)=3x^10-2x^5-1\), \(g(x)=x^3-4x^2+3\). Тогда \(f'(x)=30x^9-10x^4\), \(g'(x)=3x^2-8x\), \(f(1)=g(1)=0\), \(f'(1)=20\), \(g'(1)=-5\), и по формуле \eqref находим, что искомый предел равен \(-4\). \(\blacktriangle\)

\(\circ\) Пусть \(x\in(a,b)\). Доопределим функции \(f(x)\) и \(g(x)\) в точке \(a\), полагая
$$
f(a)=g(a)=0.\label
$$
Тогда из условий \eqref и \eqref следует, что функции \(f\) и \(g\) непрерывны на отрезке \([a,x]\). По теореме Коши существует точка \(\xi\in (a,x)\) такая, что
$$
\frac=\frac=\frac.\label
$$
Если \(x\rightarrow a+0\), то \(\xi\rightarrow a+0\) и в силу условия \eqref существует \(\displaystyle \lim_\frac=A\). Поэтому из равенства \eqref следует, что справедливо утверждение \eqref. \(\bullet\)

Доказанная теорема (с соответствующими изменениями ее условий) остается справедливой при \(x\rightarrow a-0\) и \(x\rightarrow a\), где \(a\) — конечная точка.

Эта теорема остается в силе и для случая, когда \(a=+\infty\) (или \(a=-\infty\)), если \(\displaystyle \lim_f(x)=\lim_ g(x)=0,\ g'(x)\neq 0\) при \(x > x_0\) и существует \(\displaystyle \lim_\frac=A\); в этом случае \(\displaystyle \lim_\frac=A\). Доказательство этого утверждения основано на использовании замены переменного \(\displaystyle x=\frac<1>\) и теоремы 1.

Неопределенность вида \(\displaystyle \frac<\infty><\infty>\).

\(\circ\) Из условий \eqref следует, что
$$
\exists\alpha_ <1>> \alpha:\ \forall x > \alpha_<1>\rightarrow\ |f(x)| > 1,\ |g(x)| > 1,\label
$$
и поэтому \(f(x)\neq 0,\ g(x)\neq 0\) при \(x > \alpha_1\). По определению предела \eqref для заданного числа \(\varepsilon > 0\) можно найти \(\delta=\delta_1(\varepsilon)\geq \alpha_1\) такое, что для всех \(t > \delta_<1>\) выполняется неравенство
$$
A-\frac<\varepsilon> <2> Рис. 19.1

Фиксируя \(x_ <0>> \delta_<1>\) (рис. 19.1), выберем, пользуясь условиями \eqref, число \(\delta_ <2>> x_<0>\) такое, чтобы при всех \(x > \delta_<2>\) выполнялись неравенства
$$
\left|\frac)>\right| \delta\) выполняется неравенство
$$
A-\varepsilon \delta\), применим к функциям \(f\) и \(g\) на отрезке \([x_0,x]\) теорему Коши о среднем. В силу этой теоремы существует точка \(\xi\in [x_<0>,x]\) такая, что
$$
\frac)>)>=\frac.\label
$$
Преобразуем левую часть равенства \eqref, используя условия \eqref и \eqref:
$$
\frac)>)>=\frac(\varphi(x))^<-1>,\label
$$
где
$$
\varphi(x)=\frac<1-g(x_0)/g(x)><1-f(x_0)/f(x)>=1+\beta(x).\label
$$
Заметим, что \(\beta(x)\rightarrow 0\) при \(x\rightarrow +\infty\) в силу условий \eqref. Поэтому
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists\delta\geq\delta_<2>:\ \forall x > \delta\rightarrow|\beta(x)| x_ <0>> \delta_<1>\), то из равенств \eqref, \eqref и условия \eqref следует, что для всех \(x > \delta_<2>\) выполняется неравенство
$$
A-\frac<\varepsilon> <2>\delta\), то \(\phi(x) > 0\) в силу условий \eqref и \eqref, и поэтому неравенство \eqref равносильно следующему:
$$
(A-\frac<\varepsilon><2>)(1+\beta(x)) A-\frac<\varepsilon><2>-\frac<\varepsilon><2>=A-\varepsilon.\nonumber
$$
Аналогично находим
$$
\left(A+\frac<\varepsilon><2>\right)(1+\beta(x)) \leq A+\frac<\varepsilon><2>+\left(|A|+\frac<\varepsilon><2>\right)|\beta(x)| \delta\) выполняется неравенство \eqref. это означает, что справедливо утверждение \eqref. \(\bullet\)

Теорема 2 остается в силе и в случае, когда \(A=+\infty\) или \(A=-\infty\). Теорема справедлива и для случая \(x\rightarrow a\ (x\rightarrow a-0,\ x\rightarrow a+0)\), где \(a\) — конечная точка.

Согласно теореме 1 и теореме 2 правило Лопиталя служит для раскрытия неопределенностей вида \(\displaystyle \frac<0><0>\) или \(\displaystyle \frac<\infty><\infty>\). Неопределенности видов \(0\cdot \infty,\ \infty-\infty,\ 0^<0>,\ \infty^<0>,\ 1^<\infty>\) часто удается свести к неопределенностям типа \(\displaystyle \frac<0><0>\) или \(\displaystyle \frac<\infty><\infty>\) с помощью различных преобразовании.

Источник