Методическая разработка «Решение логарифмических неравенств»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
1. Область определения: 
;
2. Область значений: 
;
3. При 
монотонно возрастает, т.е. если t 2 > t 1 , то log a t 2 > log a t 1 При 
монотонно убывает, т.е. если t 2 > t 1 то log a t 2 log a t 1 .
Рассмотрим решение логарифмического неравенства, когда основание логарифма а > 1.
Неравенство необходимо решать, применяя равносильные преобразования. Вот схема. 
Как эта система получилась? По условию log a f ( x ) > log a g ( x ) Мы знаем что, при а > 1 функция монотонно возрастает. Отсюда: f ( x ) > g ( x ). (1- ая строка системы )
При этом необходимо не забыть про ОДЗ, т. к. под логарифмом могут стоять строго положительные выражения. ОДЗ представляется системой:
Итак вместо логарифмического неравенства будем решать простое неравенство (линейное, квадратное и т. д.), т.е. освободились от знака log a .
Ответ: 
Рассмотрим логарифмическое неравенство, когда основание логарифма 0 a , т.е. 
При этом необходимо не забыть про ОДЗ, т. к. под логарифмом могут стоять строго положительные выражения. ОДЗ представляется системой 
Все остальные более сложные логарифмические неравенства сводятся к простейшим.
1. Уравнять основания логарифмов;
2. Сравнить подлогарифмические выражения:
— при сохранить знак неравенства;
— при изменить знак неравенства на противоположный;
Решение. Основания логарифмов равны и меньше единицы, По схеме (2) получаем: первый аргумент меньше второго, по ОДЗ оба они больше нуля. Для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее из них. Имеем систему 
применили
Итак, имеем неравенство: 
Ответ: 
Логарифмические неравенства, сводящиеся к простейшим
Более сложные логарифмические неравенства сводятся к простейшим методами, аналогичными используемым при решении логарифмических уравнений.
Пример 1 . Решить неравенство: 
Согласно свойству логарифма преобразуем в левой части сумму логарифмов с одинаковым основанием в логарифм произведения:
Пример 2 . Решить неравенство: 
Решение : ОДЗ: х > 0. Видим два логарифма, но с разными основаниями. Приведем второй член к основанию 5. Получили неравенство:
Очевидна замена: 
Вернемся к исходным переменным:
Решение . Преобразуем к простейшему логарифмическому неравенству. Видим два логарифма, основания разные; и в левой и в правой части есть числа. Перейдем к основанию 2 в выражении, стоящем в правой части данного неравенства, а числа запишем в виде логарифма: 
Основания одинаковые и больше 1.Функция log 2 t – возрастающая, поэтому первый аргумент больше второго, по ОДЗ оба они больше нуля. Для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее. Теперь перейдем к равносильной системе:
Если в неравенстве встречается логарифмическая функция, содержащая неизвестное в основании, то, как правило, следует рассматривать два случая: 1) когда основание больше 1, 2) когда основание положительно, но меньше 1.
Решение. Преобразуем правую часть в логарифм с требуемым основанием: =Имеем неравенство:
Совмещаем промежутки и видим, что данная система не имеет решений.
Рассмотрим второй случай, если 0 . Функция log ( x -3) t – убывающая, поэтому, знак неравенства меняется. Для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее из аргументов. В этом случае получаем систему:
Решение. ОДЗ: х >0. Так как выражения, стоящие в левой и правой частях неравенства положительны, то для решения прологарифмируем обе части по основанию 10. Получим равносильное исходному неравенство:
, пользуясь свойствами логарифмов lgx * lgx > 1
Учитывая ОДЗ х > 0 
Ответ: (0; 0,1) (10;+ ).
Пример 6 . Решить неравенство 
Пример 7. Решите неравенство
Рассмотрим функцию y = (3 x + 7)
Находим нули функции:
Второе неравенство дает
Ответ:
Пример 8. Решите неравенство
Решение. В этом случае применим метод равносильных преобразований. Это неравенство равносильно совокупности двух систем:
Первая система равносильно совокупности двух систем:
Итак решением первой системы будет промежуток (3 ; 
).
Также вторая система равносильно совокупности двух систем:
Решением второй системы будет промежуток 
Таким образом, решением исходного неравенства ; x > 3.
Ответ. (2,5; 2,6 ]; (3; )
Неравенства. Метод замены множителя (метод рационализации)
Полезный прием для решения сложных неравенств на ЕГЭ по математике – метод рационализации неравенства. Другое название — метод замены множителя. Это один из тех секретов, о которых ученику рассказывает репетитор. В учебниках о таком не написано.
Суть метода в том, чтобы от неравенства, содержащего в качестве множителей сложные показательные или логарифмические выражения, перейти к равносильному ему более простому рациональному неравенству.
Давайте для начала вспомним, что такое равносильные уравнения (или неравенства) В школьной программе этот важный вопрос почти не обсуждается. Поэтому запишем определение.
Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают.
Заметим, что внешне уравнения могут быть и не похожи друг на друга.
Например, уравнения ( x − 3) 2 = 0 и x − 3 = 0 равносильны. Число 3 является единственным решением и того, и другого.
Уравнения 
и также равносильны. Оба они не имеют решений. Другими словами, множество решений каждого из них – пусто.
Уравнения и не являются равносильными. Решением первого уравнения является только x = 5. Решения второго – два числа: x = 5 и x = 1. Получается, что возведение обеих частей уравнения в квадрат в общем случае приводит к уравнению, неравносильному исходному.
Аналогичное определение – для неравенств.
Равносильными называются неравенства, множества решений которых совпадают.
Например, неравенства 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(x-1)(x-3)%3E0″/> и 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?%5Cfrac%3Cx-1%3E%3Cx-3%3E%3E0″/> равносильны – ведь множества их решений совпадают. В этом легко убедиться с помощью метода интервалов.
Неравенства log_<2>5″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?log_%3C2%3Ex%3Elog_%3C2%3E5″/> и 5″ src=»https://latex.codecogs.com/gif.latex?x%3E&space;5″/> также равносильны при 0″ src=»https://latex.codecogs.com/gif.latex?x%3E&space;0″/>. Заметим, что внешне эти неравенства не похожи – одно из них логарифмическое, другое алгебраическое.
Другими словами, при x > 0 неравенства 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?log_%3C2%3Ex-log_%3C2%3E5%3E0″/> и 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?x-5%3E0″/> имеют одинаковые решения. Если какое-либо число x > 0 является решением одного из них, то оно будет и решением второго.
А это значит, что при любом x > 0 выражение будет иметь такой же знак, как и выражение x − 5. Следовательно, если в какое-либо сложное неравенство входит в качестве множителя выражение то при выполнении условия x > 0 его можно заменить на более простое x − 5 и получить неравенство, равносильное исходному.
Вот ключевой момент. На этом и основан метод рационализации – замены множителей, содержащих сложные логарифмические или показательные выражения, на более простые алгебраические множители.
Например, выражение вида , где f и g – функции от x, a – число, можно заменить на более простое ( f − g) ( a − 1) – конечно, при условии, что f(x) > 0 и g(x) > 0. Доказательство легко провести самостоятельно.
А сейчас – самое главное: волшебная таблица, позволяющая заменять сложные логарифмические (или показательные) множители в неравенствах на более простые. Эта таблица является ключом к задаче С3. Вот увидите, она выручит вас на ЕГЭ по математике:
| Сложный множитель | На что заменить |
| log h f − log h g | ( h − 1) ( f − g) |
| log h f − 1 | ( h − 1) ( f − h) |
| log h f | ( h − 1) ( f − 1) |
| h f − h g | ( h − 1) ( f − g) |
| h f − 1 | ( h − 1) · f |
| f h − g h | ( f − g) · h |
| f, g — функции от x. h — функция или число. | |
Конечно же, все выражения, которые содержат логарифмы, существуют при f, g, h > 0 и h ≠ 1.
Обратите внимание, что мы говорим о замене множителя в неравенствах вида 
Знак здесь может быть любой: >, ≥, ≤. Правая часть обязательно должна быть равна нулю. И заменяем мы именно множитель (а не слагаемое, например). Иначе ничего не получится.
Перейдем к практике – к решению задач из вариантов ЕГЭ по математике Профильного уровня.
1.
ОДЗ неравенства:
Применим метод рационализации. В соответствии с нашей таблицей, множитель заменим на (2 − x − 1)( x + 2 − 1). Множитель вида заменим на ( x + 3 − 1)(3 − x − 1). Таким образом, от логарифмического неравенства мы перешли к рациональному:
Решим его методом интервалов:
Ответ:
2.
Заметим, что выражение положительно при x ∈ ОДЗ. Умножим обе части неравенства на это выражение.
Упростим числитель правой части неравенства:
Поделим обе части неравенства на 5 x > 0:
Неравенство уже намного проще, чем исходное. Но основания степеней разные! Чтобы применить метод рационализации, нам придется представить 2 x − 1 в виде степени с основанием 3.
Неравенство примет вид:
Воспользуемся методом замены множителя. Множитель вида h f −h g можно заменить на ( h − 1) ( f − g). Да и логарифм в знаменателе можно заменить на выражение x + 1.
Оценим . Это необходимо сделать, чтобы правильно расставить точки на числовой прямой.
Ответ:
3.
Постараемся упростить это неравенство. Область допустимых значений
0;\\ x+1\neq 0. \end
Преобразуем числители выражений в левой и правой части и сделаем замену log2 x = t
Теперь обе части неравенства можно сократить на 5 t > 0.
Поскольку , выражение 2 t−1 можно записать как 3 ( t−1)·log32
Заметим, что log32 − 2 t. Решим его:
Итак, t ≥ 1 или t ≤ log32 − 2.
Вернемся к переменной x:
или
Ответ:
4. Еще одна задача из той же серии.
Запишем ОДЗ:
Умножим обе части неравенства на 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?log%5E%3C2%3E_%3C2%3E32x%3E0″/>. Постараемся упростить числители выражений в левой и правой части.
Поделим обе части неравенства на 0.» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?2%5E%3Clog_%3C2%3E(4x)%3E%3E0.»/>
Хорошо бы сделать замену. Пусть log2(4 x) = t. Тогда:
Неравенство примет вид:
Мы уже знаем, как представить число 7 в виде степени числа 2:
Применим метод рационализации.
Оценим
Применим в левой части неравенства формулу перехода к другому основанию
Поскольку 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(x+5)%5E%3C2%3E%3E0″/> при x ∈ ОДЗ, а 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?2x%5E%3C2%3E+10x+14%3E0″/> > 0 при всех x, получим:
Посмотрим, чем поможет метод замены множителя в решении сложного показательного неравенства.
6. Решите неравенство:
Числитель дроби в левой части — однородное выражение, где каждое слагаемое имеет степень 2х. Поделим обе части неравенства на
Применяя метод рационализации, множитель вида заменяем на
Что больше? Давайте представим как логарифм с основанием
7. Теперь логарифмическое неравенство. Обратите внимание, что здесь лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов. И само неравенство, которое мы упрощаем, и область его допустимых значений мы записываем в одну систему. И решаем ее.
Мы объединили в систему и область допустимых значений, и само неравенство. Применим формулу логарифма частного, учитывая, что
Используем также условия
Обратите внимание, как мы применили формулу для логарифма степени. Строго говоря,
Согласно методу замены множителя, выражение заменим
8. А теперь неравенство с ловушкой. Мы надеемся, что вы помните — нельзя извлекать корень из неравенства.
Извлекать корень из неравенства нельзя! Можно перенести все в левую часть неравенства и разложить на множители как разность квадратов:
Применим формулы разности и суммы логарифмов, следя за областью допустимых значений. Все выражения под логарифмами в исходном неравенстве должны быть положительны.
Посмотрим на второе и третье неравенства системы. Поскольку х+5 положительно, то и выражение должно быть положительно.
Заметим, что решения неравенства — это все числа, кроме
По методу рационализации, каждый из множителей вида заменяем на
Просто равносильные преобразования. Выражение положительно всегда — так как в уравнении дискриминант отрицателен. Осталось применить метод интервалов.
