Почленное интегрирование и почленное дифференцирование
Условие
1) ряд 
сходится хотя бы в одной точке с ∈ [a, b] ;
Утверждение
1) ряд 
сходится равномерно на [a, b] к некоторой функции S(x) ;
2) 
Замечание
Приведённые свойства равномерно сходящихся рядов говорят о том, что такие ряды очень удобны в обращении: с ними можно почленно выполнять самые важные операции: переход к пределу, интегрирование и дифференцирование, поэтому если удастся найти класс рядов, которые сходятся равномерно, то этот класс становится удобным инструментом математического исследования. Такие классы (степенные ряды (и, в частности, ряд Тейлора) и ряды Фурье) мы опишем в следующих параграфах.
Замечание
Теоремы о свойствах равномерно сходящихся рядов переписываются с соответствующими изменениями для равномерно сходящихся функциональных последовательностей.
Когда можно почленно дифференцировать ряд
Теперь можем, наконец, вернуться к теореме 3. Пусть имеет место равенство (15), причем радиус сходимости R ряда, стоящего в правой части (15), положителен, R > 0. Дифференцируя этот ряд почленно, приходим к ряду (26), имеющему тот же радиус сходимости R. Обозначим сумму этого ряда через φ(x). По теореме 1 это есть функция, непрерывная в (-R, +R). Закрепим какую-либо точку z этого интервала и рассмотрим замкнутый промежуток * [0, z].
Этот промежуток содержится в (-R, +R) и (на основании теоремы 2) можно почленно проинтегрировать равенство
по промежутку [0, z]. Таким образом,
Сравнивая это равенство с (15), находим
По теореме о дифференцировании определенного интеграла по верхнему пределу правая часть последнего равенства имеет производную, равную φ(z). Но тогда ту же производную имеет и его левая часть. Стало быть, f‘(z) существует и f‘(z) = φ(z). Заменяя букву z на x и вспоминая, что φ(x) есть сумма ряда (26), завершаем доказательство.
Так как мы можем применить доказанную теорему и к продифференцированному ряду, а затем снова применить ее же и т. д., то справедлива
Теорема 4. Степенной ряд можно дифференцировать почленно внутри его промежутка сходимости любое число раз.
Эту же теорему можно формулировать и так: если ряд, стоящий в равенстве
имеет радиус сходимости R > 0, то f(x) имеет производные всех порядков, причем для всех 
будет
и все написанные здесь ряды имеют тот же радиус сходимости R.
