Закон всемирного тяготения. Примеры силы тяготения в повседневной жизни и в космосе
При изучении школьного курса физики важной темой раздела механики является Закон всемирного тяготения. В данной статье подробнее рассмотрим, что он собой представляет, и с помощью какой математической формулы описывается, а также приведем примеры силы тяготения в повседневной жизни человека и космических масштабах.
Кто открыл Закон всемирного тяготения
Прежде чем приводить примеры силы всемирного тяготения, расскажем кратко, кому приписывают ее открытие.
С давних времен люди наблюдали за звездами и планетами и знали, что они движутся по определенным траекториям. Кроме того, любой человек, не обладающий специальными знаниями, понимал, что как бы далеко и высоко он не бросал камень или другой предмет, тот всегда падал на землю. Но ни один из людей даже не догадывался, что процессами на Земле и небесными телами управляет один и тот же природный закон.
В 1687 году сэр Исаак Ньютон опубликовал научный труд, в котором впервые изложил математическую формулировку Закона всемирного тяготения. Конечно же, Ньютон не самостоятельно пришел к этой формулировке, что признавал лично. Он использовал некоторые идеи своих современников (например, существование обратной пропорциональности от квадрата расстояния силы притяжения между телами), а также накопленный экспериментальный опыт о траекториях движения планет (три закона Кеплера). Гений Ньютона проявил себя в том, что проанализировав весь имеющийся опыт, ученый смог его оформить в виде стройной и практически пригодной теории.
Формула силы тяготения
Кратко сформулировать Закон всемирного тяготения можно так: между всеми телами во Вселенной существует сила притяжения, которая обратно пропорциональна квадрату дистанции между их центрами масс и прямо пропорциональна произведению самих масс тел. Для двух тел с массами m1 и m2, которые друг от друга находятся на расстоянии r, изучаемый закон запишется в виде:
Проявление силы тяготения: примеры из повседневной жизни
Во-первых, в качестве таких примеров можно назвать любые падения тел с некоторой высоты. Например, листа или знаменитого яблока с дерева, падение камня, капель дождя, явления горных обвалов и оползней. Во всех этих случаях тела стремятся к центру нашей планеты.
Если формулу из предыдущего пункта использовать для земных условий (подставить в нее массу планеты и ее радиус), то можно получить следующее выражение:
Тяготение во Вселенной
Каждый знает, что Земля вместе с другими планетами вращается вокруг Солнца. В свою очередь, Солнце, находясь в одном из рукавов спиральной галактики Млечный путь, вращается вместе с сотнями миллионов звезд вокруг ее центра. Сами галактики также приближаются друг к другу в так называемых местных скоплениях. Если вернуться назад в масштабах, то следует вспомнить спутники, которые вращаются вокруг своих планет, астероиды, которые на эти планеты падают или пролетают рядом. Все перечисленные случаи можно вспомнить, если учитель просит школьников: «Приведите примеры силы тяготения».
Отметим, что в последние десятилетия вопрос главной силы в космическом масштабе поставлен под сомнение. В локальном космосе ею без сомнения является сила гравитации. Однако, рассматривая вопрос на уровне галактики, в игру вступает иная, пока еще неизвестная сила, связанная с темной материей. Последняя проявляет себя в виде антигравитации.
Закон всемирного тяготения
Гравитационное взаимодействие
Земля — это большой магнит. Причем на самом деле магнит, с настоящим магнитным полем. Но сейчас речь пойдет о другом явлении, которое притягивает к Земле тела — от прыгающего с дерева котика до летящего мимо астероида. Называется это явление гравитацией.Земля — это большой магнит. Причем на самом деле магнит, с настоящим магнитным полем. Но сейчас речь пойдет о другом явлении, которое притягивает к Земле тела — от прыгающего с дерева котика до летящего мимо астероида. Называется это явление гравитацией.
Возьмем два тела — одно с большой массой, другое с маленькой. Натянем гигантское полотно ткани и положим на него тело с большей массой. После чего положим туда тело с массой поменьше. Мы будем наблюдать примерно такую картину:
Маленькое тело начнет притягиваться к тому, что больше, — это и есть гравитация. По сути, Земля — это большой шарик, а все остальные предметы — маленький (даже если это вовсе не шарики).
Гравитационное взаимодействие универсально. Оно справедливо для всех видов материи. Гравитация проявляется только в притяжении — отталкивание тел гравитация не предусматривает.
Из всех фундаментальных взаимодействий гравитационное — самое слабое. Хотя гравитация действует между всеми элементарными частицами, она настолько слаба, что ее принято не учитывать. Все дело в том, что гравитационное взаимодействие зависит от массы объекта, а у частиц она крайне мала. Эту зависимость впервые сформулировал Исаак Ньютон.
Закон всемирного тяготения
В 1682 году Исаак Ньютон открыл закон всемирного тяготения. Он звучит так: все тела притягиваются друг к другу, сила всемирного тяготения прямо пропорциональна произведению масс тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
Формула силы тяготения согласно этому закону выглядит так:
Закон всемирного тяготения
F — сила тяготения [Н]
M — масса первого тела (часто планеты) [кг]
m — масса второго тела [кг]
R — расстояние между телами [м]
G — гравитационная постоянная
Когда мы встаем на весы, стрелка отклоняется. Это происходит потому, что масса Земли очень большая, и сила тяготения буквально придавливает нас к поверхности. На более легкой Луне человек весит меньше в шесть раз.
Закон всемирного тяготения используют, чтобы вычислить силы взаимодействия между телами любой формы, если размеры тел значительно меньше расстояния между ними.
Если мы возьмем два шара, то для них можно использовать этот закон вне зависимости от расстояния между ними. За расстояние R между телами в этом случае принимается расстояние между центрами шаров.
Приливы и отливы существуют благодаря закону всемирного тяготения. В этом видео я рассказываю, что общего у приливов и прыщей.
Задачка раз
Две планеты с одинаковыми массами обращаются по круговым орбитам вокруг звезды. У первой из них радиус орбиты вдвое больше, чем у второй. Каково отношение сил притяжения первой и второй планеты к звезде?
Решение
По закону всемирного тяготения сила притяжения планеты к звезде обратно пропорциональна квадрату радиуса орбиты. Таким образом, в силу равенства масс отношение сил притяжения к звезде первой и второй планет обратно пропорционально отношению квадратов радиусов орбит:
По условию, у первой планеты радиус орбиты вдвое больше, чем у второй, то есть R1=2R2.
Ответ: отношение сил притяжения первой и второй планет к звезде равно 0,25.
Задачка два
У поверхности Луны на космонавта действует сила тяготения 144 Н. Какая сила тяготения действует со стороны Луны на того же космонавта в космическом корабле, движущемся по круговой орбите вокруг Луны на расстоянии трех лунных радиусов от ее центра?
Решение
По закону всемирного тяготения сила притяжения космонавта со стороны Луны обратно пропорциональна квадрату расстояния между ним и центром Луны. У поверхности Луны это расстояние совпадает с радиусом спутника. На космическом корабле, по условию, оно в три раза больше. Таким образом, сила тяготения со стороны Луны, действующая на космонавта на космическом корабле, в 9 раз меньше, чем у поверхности Луны, то есть:
Ответ: на расстоянии трех лунных радиусов от центра сила притяжения космонавта будет равна 16 Н.
Правильно говорить не «на тело действует сила тяготения», а «Земля притягивает тело с силой тяготения».
Ускорение свободного падения
Чтобы математически верно и красиво прийти к ускорению свободного падения, нам необходимо сначала ввести понятие силы тяжести.
Сила тяжести — сила, с которой Земля притягивает все тела.
Сила тяжести
F — сила тяжести [Н]
m — масса тела [кг]
g — ускорение свободного падения [м/с 2 ]
На первый взгляд сила тяжести очень похожа на вес тела. Действительно, в состоянии покоя на поверхности Земли формулы силы тяжести и веса идентичны. Вес тела в состоянии покоя численно равен массе тела, умноженной на ускорение свободного падения, разница состоит лишь в точке приложения силы.
Сила тяжести — это сила, с которой Земля действует на тело, а вес — сила, с которой тело действует на опору. Это значит, что у них будут разные точки приложения: у силы тяжести к центру масс тела, а у веса — к опоре.
Также важно понимать, что сила тяжести зависит исключительно от массы и планеты, на которой тело находится. А вес зависит еще и от ускорения, с которым движется тело или опора.
Например, в лифте вес зависит от того, куда и с каким ускорением двигаются его пассажиры. А силе тяжести все равно, куда и что движется — она не зависит от внешних факторов.
На второй взгляд сила тяжести очень похожа на силу тяготения. В обоих случаях мы имеем дело с притяжением — значит, можем сказать, что это одно и то же. Практически.
Мы можем сказать, что это одно и то же, если речь идет о Земле и каком-то предмете, который к этой планете притягивается. Тогда мы можем даже приравнять эти силы и выразить формулу для ускорения свободного падения:
Приравниваем правые части:
Делим на массу левую и правую части:
Это и будет формула ускорения свободного падения. Ускорение свободного падения для каждой планеты уникально.
Закон всемирного тяготения
g — ускорение свободного падения [м/с 2 ]
M — масса планеты [кг]
R — расстояние между телами [м]
G — гравитационная постоянная
Ускорение свободного падения характеризует то, как быстро увеличивается скорость тела при свободном падении.
Свободное падение — это ускоренное движение тела в безвоздушном пространстве, при котором на тело действует только сила тяжести.
Но разве это не зависит еще и от массы предмета?
Нет, не зависит. На самом деле все тела падают одинаково вне зависимости от массы. Если мы возьмем перо и мяч, то перо, конечно, будет падать медленнее, но не из-за ускорения свободного падения. Просто из-за небольшой массы пера сопротивление воздуха оказывает на него большее воздействие, чем на мяч. А вот если бы мы поместили перо и мяч в вакуум, они бы упали одновременно.
Третий закон Ньютона
Третий закон Ньютона обобщает огромное количество опытов, которые показывают, что силы — результат взаимодействия тел.
Он звучит так: тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению.
Если попроще — сила действия равна силе противодействия.
Если вам вдруг придется объяснять физику во дворе, то можно сказать и так: на каждую силу найдется другая сила. 🙈
Третий закон Ньютона
F1 — сила, с которой первое тело действует на второе [Н]
F2 — сила, с которой второе тело действует на первое [Н]
Так вот, для силы тяготения третий закон Ньютона тоже справедлив. С какой силой Земля притягивает тело, с той же силой тело притягивает Землю.
Задачка для практики
Земля притягивает к себе подброшенный мяч с силой 5 Н. С какой силой этот мяч притягивает к себе Землю?
Решение
Согласно третьему закону Ньютона, сила, с которой Земля притягивает мяч, равна силе, с которой мяч притягивает Землю.
Ответ: мяч притягивает Землю с силой 5 Н.
Поначалу это кажется странным, потому что мы ассоциируем силу с перемещением: мол, если сила такая же, то на то же расстояние подвинется Земля. Формально это так, но у мяча масса намного меньше, чем у Земли. И Земля смещается на такое крошечное расстояние, притягиваясь к мячу, что мы его не видим, в отличие от падения мяча.
Если каждый брошенный мяч смещает Землю на какое-то расстояние, пусть даже крошечное, возникает вопрос — как она еще не слетела с орбиты из-за всех этих смещений. Но тут как в перетягивании каната: если его будут тянуть две равные по силе команды, канат никуда не сдвинется. Так же и с нашей планетой.
Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)
Записаться на марафон
Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)
Закон всемирного тяготения. Сила тяжести
1. Силы, с которыми все тела притягиваются друг к другу, называют силами всемирного тяготения или гравитационными силами.
Закон всемирного тяготения был установлен Ньютоном, и он утверждает, что тела притягиваются друг к другу с силой, модуль которой прямо пропорционален произведению их масс и обратно пропорционален квадрату расстояния между ними.
где \( m_1 \) и \( m_2 \) — массы тел, \( r \) — расстояние между телами, \( G \) — постоянная всемирного тяготения или гравитационная постоянная.
Значение гравитационной постоянной свидетельствует о том, что силы тяготения между телами малы. Они становятся заметными при больших значениях масс взаимодействующих тел. Например, притяжение шарика к Земле можно наблюдать без специальных приборов, а притяжение Земли к такому же шарику мы не можем наблюдать непосредственно.
Закон всемирного тяготения справедлив для тел, размерами которых можно пренебречь по сравнению с расстоянием между ними (для материальных точек). Закон применим также к шарам, в этом случае расстоянием между телами является расстояние между центрами шаров.
2. Все тела притягиваются к Земле. Силу притяжения тела к Земле называют силой тяжести \( (F_т) \) .
По второму закону Ньютона сила равна произведению массы тела и ускорения, с которым оно движется под действием этой силы. Ускорение, с которым движется тело под действием силы тяжести, называется ускорением свободного падения и обозначается буквой \( g \) . Ускорение свободного падения не зависит от массы тела. Соответственно, сила тяжести рассчитывается но формуле: \( F_т=mg \) .
Полученная формула позволяет вычислить ускорение свободного падения тела, находящегося на поверхности Земли. Она наглядно показывает, что значение ускорения свободного падения зависит от расстояния тела до центра Земли. Именно поэтому оно на экваторе больше, чем на полюсах.
По этой формуле можно вычислить ускорение свободного падения на любой планете, подставив вместо массы Земли массу соответствующей планеты, а вместо радиуса
Земли радиус планеты.
5. Пользуясь законом всемирного тяготения, можно вычислить скорость, которую необходимо сообщить телу для того, чтобы оно стало спутником Земли. Эта скорость
называется первой космической скоростью.
Центростремительное ускорение \( a \) спутнику массой \( m \) обеспечивает сила тяготения \( F_т \) , которая по второму закону Ньютона равна \( F_т=ma \) . Сила тяготения \( F_т=G\frac
ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ
Часть 1
1. Сила тяготения между двумя телами уменьшится в 2 раза, если массу каждого тела
1) увеличить в √2 раз
2) уменьшить в √2 раз
3) увеличить в 2 раза
4) уменьшить в 2 раза
2. Массу каждого из двух однородных шаров увеличили в 4 раза. Расстояние между ними тоже увеличили в 4 раза. Сила тяготения между ними
1) увеличилась в 64 раза
2) увеличилась в 16 раз
3) увеличилась в 4 раза
4) не изменилась
3. В вершинах прямоугольника расположены тела одинаковой массы. Со стороны какого тела на тело 1 действует наибольшая сила?
1) со стороны тела 2
2) со стороны тела 3
3) со стороны тела 4
4) со стороны всех тел одинаковая
4. Закон всемирного тяготения справедлив
A. Для всех тел
Б. Для однородных шаров
B. Для материальных точек
1) А
2) только Б
3) только В
4) и А, и Б
5. На ящик массой 5 кг, лежащий на полу лифта, движущегося с ускорением \( a \) вертикально вниз, действует сила тяжести
1) равная 50 Н
2) большая 50 Н
3) меньшая 50 Н
4) равная 5 Н
1) \( F_э=F_м \)
2) \( F_э>F_м \)
3) \( F_э
4) ответ может быть любым в зависимости от массы тел
7. Сила тяжести, действующая на космонавта на поверхности Луны,
1) больше силы тяжести, действующей на него на поверхности Земли
2) меньше силы тяжести, действующей на него на поверхности Земли
3) равна силе тяжести, действующей на него на поверхности Земли
4) больше силы тяжести, действующей на него на поверхности Земли на экваторе, и меньше силы тяжести, действующей на него, на поверхности Земли на полюсе
8. Сила тяжести, действующая на тело, зависит от
А. Географической широты местности
Б. Скорости падения тела на поверхность Земли
1) только А
2) только Б
3) ни А, ни Б
4) и А, и Б
9. Какое(-ие) из утверждений верно(-ы)?
Сила тяжести, действующая на тело у поверхности некоторой планеты, зависит от
А. Массы планеты.
Б. Массы тела.
1) только А
2) только Б
3) ни А, ни Б
4) и А, и Б
10. Первая космическая скорость зависит
A. От радиуса планеты
Б. От массы планеты
B. От массы спутника
1) только А
2) только Б
3) только А и Б
4) А, Б, В
11. Установите соответствие между физической величиной (левый столбец) и формулой, выражающей её взаимосвязь с другими величинами (правый столбец). В ответе запишите подряд номера выбранных ответов
ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА
A. Сила тяжести
Б. Ускорение свободного падения на поверхности Земли
B. Закон всемирного тяготения
12. Среди приведённых утверждений выберите два правильных и запишите их номера в таблицу
1) Гравитационная постоянная показывает, с какой силой притягиваются друг к другу два тела массой 1 кг.
2) Значение силы тяжести, действующей на тело, зависит от скорости его движения.
3) Ускорение свободного падения зависит от массы и радиуса планеты.
4) При увеличении расстояния между телами в 3 раза сила тяготения между ними уменьшается в 9 раз.
5) Изменение массы одного из взаимодействующих тел не влияет на значение силы тяготения.
Часть 2
13. Человек на Земле притягивается к ней с силой 700 Н. С какой силой он притягивался бы к Марсу, находясь на его поверхности, если радиус Марса в 2 раза меньше радиуса Земли, а масса в 10 раз меньше, чем масса Земли?
Закон Всемирного тяготения кратко. История открытия, формула и границы применимости
Каждому школьнику известно, что причиной любого движения тела является некоторая внешняя сила, которая оказывает на него действие. В статье рассмотрим кратко Всемирного тяготения закон, из-за которого происходит движение космических объектов и из-за которого падают вниз тела на нашей планете.
Кто и когда открыл закон?
Как бы там ни было, заслуга Ньютона очевидна. Именно он смог собрать воедино большое количество идей и экспериментальных зависимостей, например, законы Кеплера, провести детальный анализ всех данных и сформулировать красивую и стройную теорию. Поэтому открытие Всемирного тяготения закона принадлежит ему по праву.
В чем состоит универсальный закон гравитации?
Что касается формулы Всемирного тяготения закона, то любители физики могут заметить, что она имеет точно такой же вид, что и формула для кулоновского взаимодействия электрических зарядов. Этот факт побудил ученых ввести в физику понятие гравитационного поля, с помощью которого взаимодействуют массивные объекты по аналогии с электрическим полем, обуславливающим взаимодействие зарядов.
Сила земного тяготения
Как известно, на любые тела, находящиеся на поверхности нашей планеты или недалеко от нее, действует направленная к центру Земли сила тяжести. Она описывается следующей формулой:
Предположим, что тело массой m падает на Землю, имеющую массу M. Радиус R нашей планеты составляет 6371 км. Если даже тело m находится на высоте нескольких километров, то эту дистанцию можно не учитывать по сравнению с расстоянием до центра планеты. В таком случае универсальный гравитационный закон запишется в виде:
Сравнивая эту и предыдущую формулы, получаем выражение для величины g:
Если сюда подставить значения для всех величин, то мы получим значение 9,81 м/с2.
Ускорение g действует на всех планетах и их спутниках, но его величина не является постоянной, так как разными являются массы тел и их радиусы.
Границы применимости
Рассмотрев кратко Всемирного тяготения закон, следует несколько слов сказать о границах его применимости.
Изученной формулой можно пользоваться всегда, когда массы тел и расстояния между ними велики. Так, движение планет в Солнечной системе с хорошей точностью описываются с помощью этого закона. Исключение составляет лишь Меркурий, который очень близко находится к Солнцу, поэтому для точного описания его движения следует пользоваться теорией относительности общей Эйнштейна.
Проблемы применения универсального закона также возникают при описании взаимодействия электромагнитных волн с сильными полями гравитации.
Определение и вывод закона всемирного тяготения
Тяготение – привычное явление для каждого живого существа на Земле, на первый взгляд, не требующее объяснений. Описывает это явление закон всемирного тяготения. Однако стоит углубиться в данную тему чуть больше, так сразу возникает ряд вопросов, для ответа на которые потребуются постулаты классической механики Ньютона, а также теории относительности и базирующейся на ней теории квантовой гравитации.
Что такое всемирное тяготение
Земля — это большой магнит, который притягивает к себе всё, что находится рядом: и карандаш, случайно выскользнувший из пальцев рук, и астероид, пролетающий мимо. С начала развития науки учёные давали своё видение и определение явлению всемирного тяготения, но только в 1687 году в фундаментальной работе Исаака Ньютона «Математические начала натуральной философии» было доказано его существование и воздействие на окружающие объекты.
Основываясь на известные к тому времени эмпирические соотношения Иоганна Кеплера, описывающие гелиоцентрическую картину мира, Ньютон определил закон, согласно которому все тела притягиваются друг к другу.
Причём сила взаимодействия растёт с увеличением массы и в то же время связана с расстоянием между объектами обратной квадратичной зависимостью, т.е.:
Несмотря на то, что объектами относительно небольшой массы данное явление практически не воспринимается, именно гравитация управляет движением астрономических тел, а формулировка закона позволяет объяснить, почему планеты движутся вокруг Солнца, а Луна – вокруг Земли.
Природа силы всемирного тяготения
Если важная роль гравитации в работе Вселенной понятна и неоспорима, то дать чёткий ответ на вопрос, откуда эта сила появляется, гораздо сложнее. В первой половине XX века Альберт Эйнштейн предложил специальную и общую теории относительности, в которых раскрыл своё видение природы всемирного тяготения. Согласно учёному, пространство и время представляют собой пространственно-временной континуум – четырёхмерное пространство, одно из измерений которого – время. Но так как люди воспринимают окружающее их пространство и течение времени в отдельности друг от друга, то они видят лишь проекцию континуума. Эйнштейн предположил, что гравитация возникает вследствие того, что тела, обладающие массой, вызывают деформацию пространства при проецировании на него четырёхмерного континуума.
Более понятной идея учёного будет выглядеть, если проиллюстрировать её с помощью двух шаров разной массы и обычного листа бумаги. Допустим, что лист держат за края в горизонтальном положении, а в его центр помещают один из шаров, более тяжёлый. Естественно, бумага прогнётся. Покатив по прямой линии лёгкий шарик, наблюдатель обнаружит, что его траектория является дугообразной, стремящейся к первому, более тяжёлому шару. Причём, с позиции шара меньшей массы, его движение продолжает быть прямолинейным. В этой иллюстрации и заключено упрощённое видение возникновения гравитации как явления.
История открытия закона всемирного тяготения
Существует легенда, согласно которой Ньютон, прогуливаясь по саду и наблюдая за луной, увидел, как падает на землю яблоко (в другой версии, это яблоко упало на голову учёного). В этот же момент он подумал, что, есть вероятность, что одна и та же сила удерживает спутник на небе и заставляет фрукты падать с веток деревьев. Эта догадка и послужила началом работы над законом притяжения.
Сегодня историки сомневаются в этом мифе, что вполне объяснимо, однако главным фактом в истории остаётся то, что Ньютон был первым учёным, который осознал, что тела на Земле и в космосе испытывают на себе воздействие одной и той же силы. До этого момента люди делили гравитацию на два типа: первый отвечал за земное, несовершенное взаимодействие, второй – за небесное, заставляющее планеты двигаться по круговым, совершенным, траекториям.
Ньютон математически связал гравитацию и соотношения движения планет, выведенные Кеплером, прекращая тем самым ложное разделение физических устоев Земли и остальной Вселенной.
Вывод закона всемирного тяготения
Исаак Ньютон описал свою математическую модель гравитационного воздействия, рассматривая движение Луны вокруг Земли.
Притяжение тел к земле
Притяжение Земли и Луны
Известно, что Луна вращается вокруг Земли, двигаясь по круговой орбите радиусом RЛ = 384000 километров, период обращения при этом равен T = 27,3 суток. Для того чтобы численно прикинуть, насколько орбита Луны больше радиуса Земли, требуется разделить имеющиеся величины друг на друга, то есть:
По полученным результатам очевидно, что путь от планеты до спутника включает в себя 60 радиусов Земли.
Ускорение в формуле всемирного тяготения
Луна притягивается к ней с ускорением, которое называют центростремительным. Известно, что центростремительное ускорение находят по формуле:
где ω – угловая скорость движения;
R – радиус окружности, по которой происходит движение.
Угловая скорость ω и период обращения Т связаны между собой соотношением:
Подставляя это равенство в формулу ускорения и преобразуя её путём подстановки индексов к некоторым величинам, получаем:
где aЛ – ускорение Луны;
RЛ – орбита Луны или расстояние от неё до Земли.
Перед тем, как получить численное значение искомого ускорения, требуется перевести размерности всех компонентов в соответствии с Международной системой единиц (СИ):
Таким образом, спутник движется с ускорением:
Сравнивая полученную величину со значением g, получаем:
То есть ускорение, получаемое на орбите Луны, в 60 2 раз меньше ускорения, которое приобретается на поверхности Земли, при этом спутник находится в 60 раз дальше, то есть напрашивается предположение, согласно которому ускорение обратно пропорционально значению расстояния, возведённому в квадрат:
Второй и третий законы Ньютона в выводе формулы тяготения
Второй закон Ньютона утверждает, что ускорение a, которое получает тело, прямо пропорционально зависит от равнодействующей сил F, которые приложены к этому телу, и находится в обратной зависимости от его массы m:
Исходя из этого, напрашивается утверждение, что характер приращения силы идентичен характеру приращения ускорения, то есть:
А так как уже было выдвинуто предположение, что ускорение имеет обратно пропорциональную зависимость от квадрата расстояния, то у силы, действующей на тело, такой же характер, то есть:
В это же время известно, что по третьему закону Ньютона взаимодействие тел между собой становится причиной возникновения сил, направленных в противоположные стороны, но одинаковых по модулю:
где F12 – сила, с которой первое тело воздействует на второе;
F21 – сила, действия второго тела на первое.
Таким образом, не только Земля притягивает к себе свой спутник, но и наоборот. А так как по второму закону Ньютона приращение силы прямо зависит не только от приращения ускорения, но и массы, то можно утверждать, что притяжение между Луной и Землёй соответствует записи:
где mЛ – масса Луны;
Знак умножения здесь получен в результате конъюнкции – логической операции, синонимами которой являются «логическое умножение» и «И» (потому что на притяжение влияет и масса Луны, и масса Земли).
Формула всемирного тяготения
Суммируя полученные вычисления и предположения, можно вывести запись:
Но так как данное соотношение действует не только на нашу планету и её спутник, а на все объекты, то полученный вид следует слегка преобразовать:
где F – сила притяжения, возникающая при взаимодействии двух тел;
m1,2 – масса первого и второго тела;
Для того чтобы пропорциональность стала равенством, требуется специальный коэффициент G, называемый гравитационной постоянной. После его введения итог совершённых преобразований получает название формулы закона всемирного тяготения:
В чём измеряется сила притяжения
Гравитационная постоянная
Значение постоянной G приравнивается силе притяжения двух точечных тел, обладающих массой один килограмм и расположенных в одном метре. Согласно СИ,
Опыт Кавендиша
Чтобы определить гравитационную постоянную, был проведён эксперимент, где главную роль играли крутильные весы – устройства, представляющего собой прочную стальную проволоку, на которой расположено горизонтальное коромысло, утяжелённое по краям двумя одинаковыми шарами из свинца. Масса каждого составляла 730 грамм.
В ходе эксперимента Кавендиш приближал к маленьким шарикам большие, весом 158 килограмм, подвешенные также на коромысле. При подведении тяжёлых шаров возникала сила взаимного притяжения, поворачивающая коромысло и закручивающая проволоку, что вызывало появление силы упругости, противодействующей притяжению шаров. В определённый момент сила гравитационного взаимодействия уравновешивалась с силой упругости закрученной проволоки. Регистрируя оптическими устройствами отклонения шаров и сравнивая силы, действующие на систему, Кавендиш вычислил значение коэффициента.
Инфографика-вывод закона всемирного тяготения
Сила тяжести как частный случай закона всемирного тяготения
Создав математическую модель притяжения, Ньютон установил, что сила тяжести, чьё влияние видел и испытывал на себе каждый, является лишь одним из проявлений всемирного тяготения, которое утверждает, что все тела во Вселенной, включая планеты, звёзды, астероиды и т.д., воздействуют друг на друга с определённой силой.
Чтобы узнать значение этой силы, исходящей от Земли, нужно воспользоваться формулой, выражающей прямо пропорциональную зависимость воздействия и массы объекта:
где h – расстояние до земли.
Таким образом, действие силы тяжести на тело уменьшается с увеличением высоты.
Интересный факт: если принять силу тяжести, действующую на Земле, за единицу, то можно проанализировать значение притяжения на поверхности других небесных тел. Так, самое большое воздествие тяготения испытает на себе тело на поверхности Юпитера – 2,442, а самое маленькое – на Луне (0,165).
В каких случаях справедлив закон всемирного тяготения
Выявленная Ньютоном зависимость имеет ограничения в области применения. Так, закон справедлив только в случаях, когда:
Соотношение неприменимо, если требуется описать взаимодействие шара и стержня бесконечной длины. В этом случае сила притяжения будет пропорциональна не квадрату расстоянию, а его модулю. А если существует потребность определить тяготение между бесконечной плоскостью и телом, расстояние вообще не будет иметь влияния.
Применение закона всемирного тяготения
Закон всемирного тяготения – это фундаментальный закон механики, после формулировки которого стало возможно объяснение и предсказание множества природных явлений. К ним относятся:
Открытие планет с использованием закона всемирного тяготения
После открытия явления притяжения астрономы и физики могли, опираясь на закон Ньютона и соотношения Кеплера, определять траектории движения наблюдаемых планет Солнечной системы и указывать их координаты в любой момент времени, причём правильность вычислений подтверждалась эмпирически – результатами астрономических наблюдений.
В 1781 году Уильямом Гершелем была открыта седьмая планета Солнечной системы – Уран. Следуя отработанному алгоритму, астроном рассчитал траекторию своего открытия и его орбиту, однако в первой половине XIX века учёные обнаружили несоответствие вычисленных и реальных координат. Возникло предположение, что, помимо Солнца и шести других планет, на Уран воздействует ещё одна планета, находящаяся за ним.
В 1846 году ночью 23 сентября на основании теоретических расчётов, выполненных по имеющимся отклонениям Урана от рассчитанной траектории, молодым сотрудником Британской обсерватории Иоганном Галле была обнаружена предсказанная планета, названная Нептуном.
Интересный факт: расчёты, после проведения которых стало возможно открытие, в одно и то же время совершили два учёных, независимо друг от друга – Джон Адамс и Урбен Леверье.
Спустя практически 100 лет, 18 февраля 1930 года, подобным образом была открыта девятая планета – Плутон, которая из-за относительно небольших размеров и массы считается карликовой.
Закон всемирного тяготения. Примеры из жизни
Притяжение испытывает на себе любой объект во Вселенной. В обычной жизни действие этого закона можно наблюдать в каждом явлении падения тел с высоты, будь то листок с дерева, камень, капли дождя, горные обвалы и оползни.
Кроме этого, тяготение проявляется в наличии веса у каждого объекта – силы, с которой тело воздействует на опору, препятствующую его дальнейшему падению к центру Земли.
Границы применимости
Несмотря на то, что закон всемирного тяготения Ньютона объясняет работу множества явлений, в конце XIX века было выявлено несоответствие наблюдаемого и рассчитанного смещения перигелия Меркурия. Эта особенность движения планеты не объяснялась известным законом, что потребовало новое понимание гравитации.
Кроме того, на рубеже веков применимость классической механики, основанной на законах Ньютона, подверглась ограничениям. Получение точных результатов с её помощью возможно только в случаях, когда:
Дальнейшее развитие
С момента создания теории притяжения многие учёные, не разделявшие научных взглядов Ньютона, стремились усовершенствовать его закон. А возникновение трудностей XIX века, подвергших сомнению основы, потребовало внесение коррективов, которые могли бы объяснить расхождение наблюдаемого и рассчитанного. В 1915 году Альберт Эйнштейн создал общую теорию относительности (ОТО), которая объяснила смещение перигелия Меркурия и сегодня является самой перспективной теорией гравитации, доказанной множеством экспериментов.
ОТО имеет чётко выраженные границы применимости, что выражается, например, в невозможности её применения при рассмотрении квантовых эффектов. Поэтому потребовалась новая теория, в которой уже сегодня стремятся объединить теорию относительности Эйнштейна и квантовую механику. Две указанные теории основываются на различных наборах постулатов, но, несмотря на это, квантовая гравитация – одно из основных и перспективных направлений для физических исследований.
Выводы
Все тела во Вселенной взаимно притягиваются, это явление называется гравитацией. Сила притяжения, которая действует между двумя объектами, тем больше, чем больше их массы, в то же время тяготение уменьшается с увеличением расстояния.
После прочтения данной статьи ответ на вопрос, как формулируется закон всемирного тяготения, обязательно будет быстрым и правильным. Однако важно не забывать, что формула, описанная Ньютоном, справедлива только для конкретно описанных случаев.
Более того, несмотря на существование и подтверждение новых гипотез, ньютоновская механика, включая закон всемирного тяготения, является наиболее простой из существующих теорий и верно описывает природные явления в своих границах.
