Так сокращать дроби нельзя!
Работая с дробями, многие ученики допускают одни и те же ошибки. А все потому, что они забывают элементарные правила арифметики. Сегодня мы повторим эти правила на конкретных задачах, которые я даю на своих занятиях.
Вот задача, которую я предлагаю каждому, кто готовится к ЕГЭ по математике:
Задача. Морская свинья ест 150 грамм корма в день. Но она выросла и стала есть на 20% больше. Сколько грамм корма теперь ест свинья?
Неправильное решение. Это задача на проценты, которая сводится к уравнению:
Многие (очень многие) сокращают число 100 в числителе и знаменателе дроби:
Вот такую ошибку допустила моя ученица прямо в день написания этой статьи. Красным отмечены числа, которые были сокращены.
Излишне говорить, что ответ получился неправильный. Судите сами: свинья ела 150 грамм, а стала есть 3150 грамм. Увеличение не на 20%, а в 21 раз, т.е. на 2000%.
Чтобы не допускать подобных недоразумений, помните основное правило:
Сокращать можно только множители. Слагаемые сокращать нельзя!
Таким образом, правильное решение предыдущей задачи выглядит так:
Красным отмечены цифры, которые сокращаются в числителе и знаменателе. Как видите, в числителе стоит произведение, знаменателе — обыкновенное число. Поэтому сокращение вполне законно.
Работа с пропорциями
Еще одно проблемное место — пропорции. Особенно когда переменная стоит с обеих сторон. Например:
Неправильное решение — у некоторых буквально руки чешутся сократить все на m :
Сокращаемые переменные показаны красным. Получается выражение 1/4 = 1/5 — полный бред, эти числа никогда не равны.
А теперь — правильное решение. По существу, это обыкновенное линейное уравнение. Решается либо переносом всех элементов в одну сторону, либо по основному свойству пропорции:
Многие читатели возразят: «Где ошибка в первом решении?» Что ж, давайте разбираться. Вспомним правило работы с уравнениями:
Любое уравнение можно делить и умножать на любое число, отличное от нуля.
Выводы: собираем все вместе
Итак, для решения дробно-рациональных уравнений помните три правила:
Помните эти правила и не допускайте ошибок.
Сокращение дробей: правила и примеры
Разберемся в том, что такое сокращение дробей, зачем и как сокращать дроби, приведем правило сокращения дробей и примеры его использования.
Что такое «сокращение дробей»
В результате такого действия получится дробь с новым числителем и знаменателем, равная исходной дроби.
Приведение дробей к несократимому виду
Это можно сделать, если сократить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Тогда, по свойству наибольшего общего делителя, в числителе и в знаменателе будут взаимно простые числа, и дробь окажется несократимой.
Приведение дроби к несократимому виду
Чтобы привести дробь к несократимому виду нужно ее числитель и знаменатель разделить на их НОД.
6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4
Сокращение дробей удобно применять, чтобы не работать с большими цифрами. Вообще, в математике существует негласное правило: если можно упростить какое-либо выражение, то нужно это делать. Под сокращением дроби чаще всего подразумевают ее приведение к несократимому виду, а не просто сокращение на общий делитель числителя и знаменателя.
Правило сокращения дробей
Чтобы сокращать дроби достаточно запомнить правило, которое состоит из двух шагов.
Правило сокращения дробей
Чтобы сократить дробь нужно:
Рассмотрим практические примеры.
Пример 1. Сократим дробь.
Найдем НОД числителя и знаменателя. Для этого в данном случае удобнее всего воспользоваться алгоритмом Евклида.
182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15
Готово. Мы получили несократимую дробь, которая равна исходной дроби.
Как еще можно сокращать дроби? В некоторых случаях удобно разложить числитель и знаменатель на простые множители, а потом из верхней и нижней частей дроби убрать все общие множители.
Пример 2. Сократим дробь
Для этого представим исходную дробь в виде:
360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7
Избавимся от общих множителей в числителе и знаменателе, в результате чего получим:
360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7 = 2 · 3 7 · 7 = 6 49
Наконец, рассмотрим еще один способ сокращения дробей. Это так называемое последовательное сокращение. С использованием этого способа сокращение производится в несколько этапов, на каждом из которых дробь сокращается на какой-то очевидный общий делитель.
Пример 3. Сократим дробь
2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44
20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22
Получившийся результат снова сокращаем на 2 и получаем уже несократимую дробь:
Дроби. Сокращение дробей.
Сократить дробь — значит, используя основное свойство дроби, уменьшить числитель и знаменатель так,
что бы величина дроби при этом не изменилась.
Для сокращения дробей достаточно использовать основное свойство дроби, уменьшая числитель и
знаменатель в одинаковое число раз.
Правило. Сократить дробь — значит, числитель и знаменатель дроби разделить на одинаковый множитель,
отличный от 1, в результате деления дробь записывается числами, величина которых меньше во столько
раз, какова величина делителя.
Внимание! Если числитель и знаменатель представлены числовыми или буквенными выражениями,
то на слагаемое сокращать нельзя. Сумму (разность), если возможно, надо преобразовать в произведение
и сократить на общий множитель числителя и знаменателя дроби.
Числитель и знаменатель преобразовали в произведение. Множитель в скобках (1+2а) числителя и
знаменателя общий, значит, на него можно сократить. Для записи сокращения необходимо одинаковые
множители числителя и знаменателя перечеркнуть (как показано на примере выше).
Множители 2 и 6 имеют кратное им число 2, на которое тоже можно сократить дробь.
На сумму и разность сокращать нельзя, поэтому в числителе и знаменателе выполнили действия.
Полученные сумма и разность имеют общий множитель 3, на который дробь можно сократить.
Сокращение дроби.
Мы уже познакомились с основным свойством дроби (см. статью здесь). И знаем, как получить дробь, равную данной. Но сегодня мы поговорим о ДЕЛЕНИИ дроби на одно и то же число.
Деление числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число называется СОКРАЩЕНИЕМ ДРОБИ. Но при этом – дроби остаются РАВНЫМИ.
Как сокращать дроби? Будем разбираться.
Итак, сокращение дроби – это действие перехода к новой дроби, равной заданной, но с меньшими числителем и знаменателем. Сокращение дроби выполняют для того, чтобы ее упростить.
Чтобы сократить дробь, нужно разделить числитель и знаменатель дроби на одно и то же натуральное число, которое будет называться общим делителем.
Например, дана дробь 2/6.
На какие числа можно разделить 2? 2 делится на 1, 2. На какие числа можно разделить 6? 6 делится на 1, 2, 3, 6.
Но, мы знаем, что если дробь разделить на 1, то будет та же самая дробь. Поэтому на 1 не сокращают!
Теперь посмотрим на делители чисел 2 и 6. Сравним их:
Найдем одинаковые делители – это только число 2. Значит, мы можем разделить числитель и знаменатель нашей дроби только на 2.
Дробь 1/3 сократить нельзя.
Посмотрим на дробь 16/44. 16 делится на 2, 4, 8, 16. 44 делится на 2, 4, 11, 44. Одинаковые делители – 2, 4.
Разделим дробь на 2 — 16:2/44:2 = 8/22. Эту дробь можно еще сократить на 2. 8/22 = 8:2/22:2 = 4/11. Это очень долго, поэтому будем сокращать сразу на 4.
Дробь 4/11 сократить нельзя.
Рассмотрим дробь с большими числами: 210/315.
210 делится на 2, 3, 5, 7, 10, 30, 70, 105, 210.
315 делится на 3, 5, 7, 9, 15, 21, 63, 105, 315.
Общие делители: 3, 5, 7, 105. Будем сокращать дробь постепенно:
Мы видим, что если сокращать поочереди на все общие числители, начиная с меньшего, очень долго. Поэтому для удобства принято сокращать дробь сразу на больший числитель. Т.е. 210/315 = 210:105 / 315:105 = 2/3 Полученную дробь 2/3 сократить нельзя.
Наибольший общий делитель называют сокращенно — НОД.
Бывают случаи, когда общего делителя нет. Например, у дробей 3/59, 6/31, 11/23 и т.д. Тогда говорят о том, что эти дроби не подлежат сокращению.
Дроби, которые сократить НЕЛЬЗЯ называются НЕСОКРАТИМЫМИ, а числитель и знаменатель называют ВЗАИМНО-ПРОСТЫМИ.
Т.е. наша задача превратить любую дробь в несократимую. Итак, мы познакомились в двумя способами сокращения дробей:
Проверка: 28/36 – наибольший общий делитель (НОД) = 4, значит 28:4/36:4 = 7/9;
56/28 – НОД = 28, значит, 56:28/28:28 = 2/1 = 2;
114/171 – НОД = 57, значит, 114:57/171:57 = 2/3;
102/153 – НОД = 51, значит, 102:51/153:51 = 2/3.
Насколько публикация полезна?
Нажмите на звезду, чтобы оценить!
Средняя оценка 5 / 5. Количество оценок: 67
Сокращение дробей
Урок 9. Математика 6 класс
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Сокращение дробей»
Повторим формулировку основного свойства дроби.
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
Обратите внимание, с помощью основного свойства дроби можно упрощать дроби, заменяя одну дробь другой, равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем.
Такое преобразование называется сокращением дроби.
Деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же, не равное нулю, число, называется сокращением дроби.
Либо можно сократить дробь сразу на 6.
Не всякую дробь можно сократить!
Значит, сокращение дроби можно провести тогда и только тогда, когда её числитель и знаменатель не являются взаимно простыми числами.
Если же числитель и знаменатель дроби взаимно просты, то дробь сократить нельзя.
Такие дроби называются несократимыми дробями.
Сократить дробь 
.
Кроме того, сокращение дробей можно упростить с помощью нахождения НОДа числителя и знаменателя дроби.
Значит, дробь 
можно сократить на 18. Получим
Отметим на координатном луче точку А с координатой 
.
Деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же, не равное нулю, число, называется сокращением дроби.
Если же числитель и знаменатель взаимно просты, то дробь сократить нельзя. Такие дроби называются несократимыми дробями.
