Когда около трапеции можно описать окружность
Напомним свойства трапеции, которые часто используются при решении задач. Некоторые из этих свойств были доказаны в заданиях для 9-го класса, другие попробуйте доказать самостоятельно. Приведённые рисунки напоминают ход доказательства.
$$ 4.<2>^<○>$$. В любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжении боковых сторон, лежат на одной прямой (на рис. 21 точки `M`, `N`, `O` и `K`).
$$ 4.<3>^<○>$$. В равнобокой трапеции углы при основании равны (рис. 22).
$$ 4.<4>^<○>$$. В равнобокой трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции (рис. 23).
$$ 4.<5>^<○>$$. В равнобокой трапеции диагонали равны (рис. 24).
$$ 4.<6>^<○>$$. В равнобокой трапеции высота, опущенная на большее основание из конца меньшего основания, делит его на два отрезка, один из которых равен полуразности оснований, а другой – их полусумме
(рис. 25, основания равны `a` и `b`, `a>b`).
$$ 4.<7>^<○>$$. Во всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой (рис. 26).
$$ 4.<8>^<○>$$. Во всякой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основаниям и равен полуразности оснований (рис. 27).
Во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон и удвоенного произведения оснований, т. е. `d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2*ab`.
$$ 4.<10>^<○>$$. Во всякой трапеции с основаниями `a` и `b` отрезок с концами на боковых сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равен `(2ab)/(a+b)` (на рис. 28 отрезок `MN`).
$$ 4.<11>^<○>$$. Трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.
Применяем теорему косинусов (см. рис. 29а и б):
`ul(DeltaACD):` `d_1^2=a^2+c_2^2-2a*c_2*cos varphi`,
`ul(DeltaBCD):` `d_2^2=b^2+c_2^2+2b*c_2*cos varphi` (т. к. `cos(180^@-varphi)=-cos varphi`).
Проводим `CK«|\|«BA` (рис. 29в), рассматриваем треугольник `ul(KCD):` `c_1^2=c_2^2+(a-b)^2-2c_2*(a-b)*cos varphi`. Используя последнее равенство, заменяем выражение в скобках в (2), получаем:
| `d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2ab`. |
В случае равнобокой трапеции `d_1=d_2`, `c_1=c_2=c`, поэтому получаем
Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен `5`, одна из диагоналей равна `6`. Найти площадь трапеции, если её диагонали перпендикулярны.
Прямоугольный треугольник `ul(BDK)` с гипотенузой `BK=BC+AD=2MN=10` и катетом `DK=6` имеет площадь `S=1/2DK*BD=1/2DKsqrt(BK^2-DK^2)=24`. Но площадь треугольника `BDK` равна площади трапеции, т. к. если `DP_|_BK`, то
Диагонали трапеции, пересекаясь, разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной. Найти площадь трапеции, если площади треугольников, прилежащих к основаниям, равны `S_1` и `S_2`.
Далее, треугольники `BOC` и `DOA` подобны, площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон, значит, `(S_1)/(S_2)=(a/b)^2`. Таким образом, `(S_0+S_1)/(S_0+S_2)=sqrt((S_1)/(S_2))`.Отсюда находим `S_0=sqrt(S_1S_2)`, и поэтому площадь трапеции будет равна
Основания равнобокой трапеции равны `8` и `10`, высота трапеции равна `3` (рис. 32).
Найти радиус окружности, описанной около этой трапеции.
Из прямоугольного треугольника `ABK` находим `AB=sqrt(1+9)=sqrt(10)` и `sinA=(BK)/(AB)=3/(sqrt10)`. Окружность, описанная около трапеции `ABCD`, описана и около треугольника `ABD`, значит (формула (1), § 1), `R=(BD)/(2sinA)`. Отрезок `BD` находим из прямоугольного треугольника `KDB:` `BD=sqrt(BK^2+KD^2)=3sqrt(10)` (или по формуле `d^2=c^2+ab`), тогда
$$ 4.<12>^<○>$$. Площадь трапеции равна площади треугольника, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а третья равна сумме оснований.
Трапеция. Свойства трапеции
Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).
Свойства трапеции
1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.
3. Треугольники 
и 
, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.
Коэффициент подобия – 
Отношение площадей этих треугольников есть 
.
4. Треугольники 
и 
, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.
5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.
6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.
7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
Свойства и признаки равнобедренной трапеции
1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.
4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
Вписанная окружность
Если в трапецию вписана окружность с радиусом 
и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — 
и 
, то 
Площадь
или 
где 
– средняя линия
Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
трапеция АВСД, ВС – 6, АД – 9, диагонали перетинаються в точке О. Найти ОД и ОВ, якщо ОД-ВО=2.
Помогите пожалуйста в решении такой задачи.Найдите радиус окружности вписанной в равнобедренную трапецию если основание 8,2 см. Заранее спасибо!
Виталий, чего-то не хватает в условии. Дайте точную формулировку.
Помогите пожалуйста решить задачу. Найти площадь равнобедренной трапеции если диагональ делит острый угол пополам и среднюю линию на отрезки 23 и 13.Большое спасибо.
Пусть 
– меньшее и большее основания соответственно. 
, так как отрезок средней линии трапеции, равный 13, является средней линией треугольника с основанием 
. Аналогично 
Далее замечаем, что треугольник 
– равнобедренный, тогда 
Опускаем из 
и 
высоты к 
. Из одного из образовавшихся прямоугольных треугольников находим высоту 
по теореме Пифагора: 
Наконец, 
Помогите пожалуйста решить задачку. Дана равнобедренная трапеция АВСD (AD параллельна BC). Известно,что AD>BC. На её описанной окружности отмечена точка Е, такая, что BE перпендикулярна AD. Докажите, что АЕ+ВС>DE.
прошу подсказать решение:
Дана трапеция АВСД (не равнобедренная!). Диагонали АС и ВД перпендикулярны, причем АС=48см. Средняя линия MN=25см.
Высота ВН опущена на основание АД(перпендикулярна ему)
Найти Высоту ВН
Перенесите диагональ 
параллельно самой себе в точку . У полученного прямоугольного треугольника 
( 
– точка на ) известна гипотенуза (50) и катет (48). Находим второй катет (14) – это ( или 
).
Теперь вам просто надо найти высоту прямоугольного треугольника , проведенную к гипотенузе. Все для этого есть!
спасибо большое, оказывается все очень просто!
Елена Юрьевна,добрый вечер.Поздравляю Вас с профессиональным
праздником! Помогите пожалуйста разобраться в задаче для 8 класса. В учебнике мало информации. Заранее благодарю Вас.
Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренной трапеции, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости.
Виктория,спасибо!
Можно положить плитки друг к другу так, чтобы боковые стороны совпали, при этом меньшее основание одной плитки лежало бы на одной прямой с большим основанием другой плитки (а такое совпадение обязательно произойдет, так как сумма соседних углов при разных основаниях равна 180 градусам по свойству трапеции). Так можно покрыть полосу, а такими полосами покрыть и плоскость.
Трапеции
Основные определения и свойства трапеций
| Тип утверждения | Фигура | Рисунок | Формулировка |
| Определение | Трапеция |  | |
| Определение | Диагонали трапеции |  | Диагоналями трапеции называют отрезки, соединяющие противоположные вершины трапеции |
| Определение | Высота трапеции |  | Высотой трапеции называют перпендикуляр, опущенный из любой точки одного оснований трапеции на другое основание или его продолжение |
| Свойство | Точка пересечения диагоналей |  | |
| Определение | Средняя линия трапеции |  | Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции |
| Свойство | |||
| Свойство | Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции |  | Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции перпендикулярны |
Трапецией называют четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – не параллельны.
Параллельные стороны трапеции называют основаниями, а непараллельные стороны – боковыми сторонами трапеции
Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой
Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме
Определение: Трапецией называют четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – не параллельны.
Параллельные стороны трапеции называют основаниями, а непараллельные стороны – боковыми сторонами трапеции
Определение: Диагоналями трапеции называют отрезки, соединяющие противоположные вершины трапеции
Определение: Высотой трапеции называют перпендикуляр, опущенный из любой точки одного оснований трапеции на другое основание или его продолжение
Свойство: Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой
Определение: Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции
Свойство: Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме
Свойство: Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции перпендикулярны
Подробнее со свойствами средней линии трапеции можно ознакомиться в разделе нашего справочника «Средняя линия трапеции».
В разделе нашего справочника «Типы четырёхугольников» представлена схема классификации трапеций. В том же разделе представлена таблица, в которой описаны всевозможные типы трапеций.
Свойства и признаки равнобедренных трапеций
| Тип утверждения | Фигура | Рисунок | Формулировка |
| Определение | Равнобедренная трапеция |  | Равнобедренной трапецией называют трапецию, у которой боковые стороны равны. |
| Свойство | Равенство углов при основании |  | Если трапеция является равнобедренной, то углы при каждом из её оснований равны. |
| Признак | Если у трапеции углы при одном из оснований равны, то углы равны и при другом основании, а трапеция является равнобедренной. | ||
| Свойство | Равенство диагоналей |  | Если трапеция является равнобедренной, то её диагонали равны. |
| Признак | Если у трапеции диагонали равны, то она является равнобедренной | ||
| Свойство | Углы, которые диагонали образуют с основаниями |  | Если трапеция является равнобедренной, то её диагонали образуют равные углы с каждым из её оснований. |
| Признак | Если диагонали трапеции образуют равные углы с одним из оснований, то диагонали образуют равные углы и с другим основанием, а трапеция является равнобедренной. | ||
| Свойство | Описанная окружность |  | Если трапеция является равнобедренной, то около неё можно описать окружность. |
| Признак | Если около трапеции можно описать окружность, то она является равнобедренной. | ||
| Свойство | Высоты трапеции |  | Основания высот равнобедренной трапеции, опущенных из вершин меньшего основания, делят большее основание на отрезки, один из которых равен меньшему основанию, а два других – полуразности оснований |
| Определение: Равнобедренная трапеция | |
| Равнобедренной трапецией называют трапецию, у которой боковые стороны равны. |
| Свойство: равенство углов при основании | |
| Если трапеция является равнобедренной, то углы при каждом из её оснований равны. |
| Признак: равенство углов при основании | |
| Если у трапеции углы при одном из оснований равны, то углы равны и при другом основании, а трапеция является равнобедренной. |
| Свойство: равенство диагоналей | |
| Если трапеция является равнобедренной, то её диагонали равны. |
| Признак: равенство диагоналей | |
| Если у трапеции диагонали равны, то она является равнобедренной |
| Свойство: углы, которые диагонали образуют с основаниями | |
| Если трапеция является равнобедренной, то её диагонали образуют равные углы с каждым из её оснований. |
| Признак: углы, которые диагонали образуют с основаниями | |
| Если диагонали трапеции образуют равные углы с одним из оснований, то диагонали образуют равные углы и с другим основанием, а трапеция является равнобедренной. |
| Свойство: описанная окружность | |
| Если трапеция является равнобедренной, то около неё можно описать окружность. |
| Признак: описанная окружность | |
| Если около трапеции можно описать окружность, то она является равнобедренной. |
| Свойство: высоты трапеции | |
| Основания высот равнобедренной трапеции, опущенных из вершин меньшего основания, делят большее основание на отрезки, один из которых равен меньшему основанию, а два других – полуразности оснований |
Определение: Равнобедренной трапецией называют трапецию, у которой боковые стороны равны.
Свойство: Если трапеция является равнобедренной, то углы при каждом из её оснований равны.
Признак: Если у трапеции углы при одном из оснований равны, то углы равны и при другом основании, а трапеция является равнобедренной.
Свойство: Если трапеция является равнобедренной, то её диагонали равны.
Признак: Если у трапеции диагонали равны, то она является равнобедренной.
Свойство: Если трапеция является равнобедренной, то её диагонали образуют равные углы с каждым из её оснований.
Признак: Если диагонали трапеции образуют равные углы с одним из оснований, то диагонали образуют равные углы и с другим основанием, а трапеция является равнобедренной.
Свойство: Если трапеция является равнобедренной, то около неё можно описать окружность.
Признак: Если около трапеции можно описать окружность, то она является равнобедренной.
Свойство: Основания высот равнобедренной трапеции, опущенных из вершин меньшего основания, делят большее основание на отрезки, один из которых равен меньшему основанию, а два других – полуразности оснований
