конус и полная пирамида условие при котором одно геометрическое тело можно вписать в другое

02.10.202329.06.2023 admin 0 Comments

Конус и полная пирамида условие при котором одно геометрическое тело можно вписать в другое

@ Тела вращения и многогранники могут быть вписаны одно в другое при некоторых ограничениях.

В цилиндр можно вписать только такую прямую призму, основания которой можно вписать в окружность.

Около цилиндра можно описать только такую прямую призму, основания которой – многоугольники, которые можно описать около окружности.

Очевидно, что у таких цилиндров и призм высоты равны.

В конус можно вписать только такую прямую призму, вокруг основания которой можно описать окружность.

Очевидно, что высота вписанной призмы меньше высоты конуса.

Конус можно вписать только в такую призму, в основание которой можно вписать окружность.

Очевидно, что в этом случае высота конуса и высота призмы равны.

Попробуйте доказать утверждение

Для того, чтобы в конус можно было вписать пирамиду, необходимо и достаточно, чтобы у нее были равные боковые ребра.

В пирамиду можно вписать конус тогда и только тогда, когда все апофемы боковых граней пирамиды равны.

Очевидно, что у таких конусов и пирамид высоты равны.

В цилиндр можно вписать пирамиду, основание которой можно вписать в окружность.

Очевидно, что высота вписанной пирамиды равна высоте цилиндра.

В сечении пирамиды плоскостью, параллельной основанию, получается многоугольник, подобный основанию пирамиды. Следовательно, в пирамиду можно вписать цилиндр только в том случае, если в основании пирамиды – многоугольник, в который можно вписать окружность.

Очевидно, что высота вписанного цилиндра меньше высоты пирамиды.

1. Для того, чтобы около пирамиды можно было описать сферу, необходимо и достаточно, чтобы около основания пирамиды можно было описать окружность.

2. Около любой правильной пирамиды можно описать сферу.

3. Для того, чтобы около призмы можно было описать сферу, необходимо и достаточно, чтобы призма была прямая и около ее основания можно было описать окружность.

4. Около любой правильной призмы можно описать сферу.

Сфера называется вписанной в многогранник (а многогранник – описанным около сферы), если она касается всех его граней.

Полезно уметь доказывать следующие утверждения

1. В любую правильную пирамиду можно вписать сферу (шар).

2. Для того, чтобы в призму можно было вписать сферу, необходимо и достаточно, чтобы в перпендикулярное сечение призмы можно было вписать окружность и чтобы высота призмы была равна диаметру этой окружности.

3. В правильную призму можно вписать сферу тогда и только тогда, когда ее высота равна диаметру окружности, вписанной в основание.

Очевидно, такой же ответ будет для правильной пирамиды, вписанной в конус.

Пример 7.7.2. (КубГУ, матем., 1971 г.).

И из формулы находим объем пирамиды

Пример 7.7.3. (КубГУ, матем., 1979 г.)

Пример 7.7.4. (КубГУ, матем., 1991 г.)

В силу равноудаленности точки О от вершин S, A, B, C, D следует, что OABCD – правильная четырехугольная пирамида.

Из треугольника SON находим искомый радиус SO

Источник

Пирамида, вписанная в конус

Пирамида, вписанная в конус. Свойства пирамиды, вписанной в конус

Определение 1. Пирамидой, вписанной в конус, называют такую пирамиду, у которой основание вписано в основание конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса (рис. 1).

Определение 2. Если пирамида вписана в конус, то конус называют описанным около пирамиды.

Замечание. Если пирамида вписана в конус, ее боковые ребра равны и являются образующими конуса, вершина пирамиды лежит на оси конуса, а высота пирамиды равна высоте конуса.

Теорема 1. Около пирамиды можно описать конус тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

Доказательство. Поскольку перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость его основания, проходит через центр основания конуса, то для пирамиды, вписанной в конус, справедливость обоих условий теоремы вытекает из определения конуса, описанного около пирамиды.

Поскольку около любого правильного многоугольника можно описать окружность, то из доказанной теоремы 1 непосредственно вытекает

Следствие 1. Около любой правильной пирамиды можно описать конус.

Теорема 2. Около пирамиды можно описать конус тогда и только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны.

Доказательство. Действительно, если пирамида вписана в конус, то ее боковые ребра являюся образующими конуса, и, значит, равны между собой.

и докажем, что около ее основания можно описать окружность. Пусть точка O – основание перпендикуляра, опущенного из вершины S на плоскость основания пирамиды (рис. 3).

По теореме 1 около такой пирамиды можно описать конус.

Доказательство теоремы 2 завершено.

Решение. Поскольку и объем конуса, и объем пирамиды вычисляются по формуле

то справедливо равенство

Ответ.

Следствие 2. Отношение объема правильной треугольной пирамиды к объему конуса, описанного около данной пирамиды, равно

Следствие 3. Отношение объема правильного тетраэдра к объему конуса, описанного около данного тетраэдра, равно

Следствие 4. Отношение объема правильной четырехугольной пирамиды к объему конуса, описанного около данной пирамиды, равно

Следствие 5. Отношение объема правильной шестиугольной пирамиды к объему конуса, описанного около данной пирамиды, равно

Источник

Комбинация тел вращения с пирамидой и призмой.

Содержимое разработки

Цели и задачи урока:

Учащиеся должны знать:

Какие условия нужны, чтобы одна геометрическая фигура была вписана в другую геометрическую фигуру стереометрии;

Что такое высота и апофема;

Теорему Пифагора для решения задач;

Учащиеся должны уметь:

Вычислять нужную величину с помощью теоремы Пифагора;

Сделать необходимый чертёж к решению задачи;

Применять свойства геометрических фигур к условиям задачи;

развивать интерес к предмету;

усвоить материал по теме урока;

развивать у учащихся умение концентрироваться, слушать, а так же логическое мышление, речь, внимание, воображение.

воспитывать системность, самостоятельность, этику взаимоотношений.

Тип урока: комбинированный.

Актуализация знаний учащихся. Подготовка к активной учебно-познавательной деятельности на основном этапе урока.

Рис. 1

Вопрос 2. А что значит « основание конуса вписано в основание пирамиды?»

Ответ: Это значит, что стороны основания пирамиды должны быть касательными к окружности основания конуса.

Рис. 2

Задание к рис. 2 : Назовите апофемы и высоту пирамиды.

Ответ: Апофемами являются отрезки SK и SM, а высотой пирамиды является

Рис 3.

Вопрос к рис.3 : А как можно описать конус вокруг пирамиды?

Ответ: Нужно условие совпадение вершин и теперь основание пирамиды должно быть вписано в основание конуса – то есть все вершины основания пирамиды должны лежать на окружности основания конуса.

В случае треугольной и шестиугольной пирамиды эти условия так же выполняются.(Смотреть ответ на вопрос к рис.3)

Разбор домашнего задания.

Решение задачи из учебника № 630.

Новая тема урока: Комбинация цилиндра и призмы.

Цилиндр вписан в призму (или призма описана около цилиндра), если основания цилиндра вписаны в соответствующие основания призмы. Очевидно, что их высоты совпадут.

Вывод: цилиндр можно вписать в призму, если призма прямая, а в ее основание можно вписать окружность. И призму можно вписать в цилиндр с теми же условиями.

Следующая задача:

Сегодня на уроке мы разобрали комбинации призмы и цилиндра, а также решили задачи по теме: цилиндр, описанный вокруг шестиугольной призмы и цилиндр, описанный вокруг прямой четырёхугольной призмы.

Домашнее задание : учебник стр. 146 задача № 634.

Источник

Геометрия. 11 класс

Конспект урока

Геометрия, 11 класс

Урок №10. Комбинации тел вращения

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Цилиндр вписан в конус, если одно основание цилиндра лежит в плоскости основания конуса, а окружность другого основания — на боковой поверхности конуса. Конус, соответственно, в этом случае называется описанным около цилиндра.

Конус вписан в цилиндр, если основание конуса совпадает с основанием цилиндра, а вершина совпадает с центром другого основания цилиндра. Цилиндр, соответственно, в этом случае называется описанным около конуса.

Конус вписан в другой конус, если его вершина лежит в центре основания второго конуса, а основание лежит на боковой поверхности.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255, сс. 136-147.

Шарыгин И.Ф., Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 77-84.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Комбинации цилиндра и конуса

В любой конус можно вписать цилиндр.

Оси конуса и вписанного в него цилиндра совпадают. Верхнее основание цилиндра совпадает с сечением конуса плоскостью, параллельной основанию.

SO=H — высота конуса

OA=OB=R — радиус конуса

OF=OM=r — радиус цилиндра

OO₁=h — высота цилиндра

SA=SB=L — образующие конуса

NF=KM=h (l)— образующие цилиндра.

∆SOB∆KMB (по общему острому углу B)

, то есть: .

Отношение боковой поверхности конуса к боковой поверхности вписанного цилиндра (через радиусы основания и образующие)

, то есть .

В любой цилиндр можно вписать конус.

∆SOA=∆SCA, ∆SDB = ∆SOB, поэтому 2S_∆ASB=2S_ACDB.

Отношение боковой поверхности конуса к боковой поверхности описанного около него цилиндра (через радиус основания и высоту)

, то есть .

2. Комбинация двух конусов

В дне кашпо, имеющего форму конуса с площадью боковой поверхности 15π дм и радиусом основания 3 дм, сделано отверстие для того чтобы в него можно было вставить горшок для цветов, имеющий форму цилиндра. Определите радиус этого отверстия так, чтобы горшок для цветов был вписан в конус и имел форму равностороннего цилиндра.

Цилиндр вписан в конус

AO=R – радиус основания конуса

Рассмотрим подобные треугольники AKC и AOS.

В них: .

OS=4 (из прямоугольного треугольника AOS с катетом 3 и гипотенузой 5.

KC=2r

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. В конус, осевым сечением которого является прямоугольный треугольник, вписан равносторонний цилиндр. Найдите отношение площадей полных поверхностей конуса и цилиндра.

Сделаем чертеж осевого сечения

Обозначим радиус цилиндра ЕО= r. Выразим через него все остальные элементы тел вращения.

Так как цилиндр равносторонний, то высота цилиндра равна h=СЕ=2r.

Образующая конуса равна L=SA=R .

Радиус конуса R=OB=OK+KB.

Поэтому R=3r, образующая конуса равна SA=3r .

Выразим площади полных поверхностей конуса и цилиндра.

S_п.п.к. =πR(R+L)= π3r(3r+3r)=9πr 2 (1+ )

Теперь найдем отношение: .

Ответ: .

2. Усеченный конус вписан в цилиндр. Найдите площадь полной поверхности усеченного конуса, если радиус цилиндра равен 16, высота равна 6 а радиус меньшего основания усеченного конуса в два раза меньше радиуса цилиндра.

Сделаем чертеж осевого сечения:

OC- радиус большего основания усеченного конуса и радиус цилиндра.

По условию OC=2O₁B, ОС=16, BH=6.

Так как OC=2O₁B и ОС=16, то O₁B=8.

Рассмотрим треугольник BHC.

В нем HC=OC-OH=8, BH=6. По теореме Пифагора BC=10.

Теперь нам известен радиус меньшего основания усеченного конуса: он равен 8, радиус большего основания усеченного конуса: он равен 16, образующая усеченного конуса: она равна 10.

Найдем площадь боковой поверхности:

Площадь полной поверхности найдем, прибавив две площади оснований:

Источник

Конус, вписанный в пирамиду

Конус, вписанный в пирамиду. Свойства пирамиды, описанной около конуса

Определение 1. Конусом, вписанным в пирамиду, называют такой конус, у которого основание вписано в основание пирамиды, а вершина совпадает с вершиной пирамиды (рис. 1).

Определение 2. Если конус вписан в пирамиду, то пирамиду называют описанной около конуса.

Замечание. Высота конуса равна высоте пирамиды, описанной около него.

Теорема 1. В пирамиду можно вписать конус тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

Доказательство. Поскольку перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость его основания, проходит через центр основания конуса, то для пирамиды, описанной около конуса, справедливость обоих условий теоремы вытекает из определения конуса, вписанного в пирамиду.