Линейная функция. Прямая пропорциональность
Содержание
Из прошлого урока вы узнали многое о функциях, но далеко не все. Вспомним основные знания, которые нам будут нужны для понимания линейной функции:
Вот о функциях, график которых выглядит как прямая линия, и пойдет речь в данном уроке.
Примеры линейных функций
| $x$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ |
| $y$ | $700$ | $750$ | $800$ | $850$ |
Что такое линейная функция
Прямая пропорциональность и другие особые случаи
Давайте посмотрим, какие функции также будут линейными:
Вспомнить, что такое прямая зависимость
Если при увеличении одной величины, увеличивается другая, то величины называют прямо пропорциональными, у них прямая зависимость.
Чем больше денег – тем больше можно купить мороженого
График линейной функции, его свойства и формулы
Понятие функции
Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.
Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:
График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.
Понятие линейной функции
Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.
Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.
Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.
Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.
Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:
Графиком линейной функции является прямая линия. Для его построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.
Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.
Буквенные множители «k» и «b» — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.
Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты «k» и «b».
| Функция | Коэффициент «k» | Коэффициент «b» |
|---|---|---|
| y = 2x + 8 | k = 2 | b = 8 |
| y = −x + 3 | k = −1 | b = 3 |
| y = 1/8x − 1 | k = 1/8 | b = −1 |
| y = 0,2x | k = 0,2 | b = 0 |
Может показаться, что в функции «y = 0,2x» нет числового коэффициента «b», но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа «y = kx + b» есть коэффициенты «k» и «b».
Свойства линейной функции
Построение линейной функции
В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида «у = kx + b», достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.
Например, чтобы построить график функции y = 1 /3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:
В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:
Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.
В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).
В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая.
Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3).
Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые.
При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты.
Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.
Если k 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>
Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>
Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:
Решение задач на линейную функцию
Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!
Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).
Линейная функция, ее свойства и график
теория по математике 📈 функции
Функция, заданная формулой y=kx+b, где х – переменная, k и b – некоторые числа, называется линейной функцией. Переменную х называют независимой переменной, переменную у – зависимой переменной.
Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно взять два значения х, чтобы получить два значения у и, соответственно, две точки, через которые проходит единственная прямая.
Число k называется угловым коэффициентом прямой.
Свойства линейной функции
Рассмотрим на примерах расположение прямых в координатной плоскости в зависимости от значения чисел k и b.
Пример №1
Построить график функции у=2х – 1. Для того, чтобы удобнее было выполнять вычисления, построение и т.д. сделаем таблицу для значений х и у:
Для построения графика подбираем два значения х, одно из них желательно брать равное нулю, второе, например 3 (подбираем небольшие числа).
Теперь подставляем значения х в формулу и вычисляем соответствующие значения у:
Вписываем в таблицу значения у:
Теперь строим систему координат, отмечаем в ней точки с координатами А(0; –1) и В(3;5), проводим через эти две точки прямую.
Итак, по формуле мы видим, что угловой коэффициент — положительный, значит, график – возрастает, что мы и видим на нашем графике.
Пример №2.
Построить график функции у= –3х+4. Итак, делаем таблицу на два значения, например, возьмем 0 и 2.
По формуле видим, что угловой коэффициент отрицательный, значит, прямая будет убывать. Строим убывающую прямую в системе координат через две точки А(0;4) и В(2; –2).
Пример №3
Построить график функции у=4. Видим, что в данном случае число х=0, значит, прямая будет проходить через точку с координатой (0;4) параллельно оси х. На графике это выглядит следующим образом:
Построить график функции у=3х. Данная функция является частным случаем, когда прямая проходит через начало координат. Поэтому в данном случае можно взять устно одно значение х, например 2, тогда у получим равный 6. Таким образом, имеем две точки (2;6) и (0;0). Строим их в системе координат и проводим через них прямую, которая будет возрастать, так как угловой коэффициент равен 3, т.е. положительный.
На рисунках изображены графики функций вида y=kx+b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
ассмотрим коэффициенты под №3. Если k 90 0 ) угол с положит.направлением оси абсцисс (Ох). Если b 0. Это соответствует оставшимся графикам А и Б, т.к. они оба наклонены к положительно направлению оси Оx под острым углом ( 0 ). Следовательно, выбор соответствия должен быть выполнен по коэффициенту b.
В 1-й паре коэффициентов b 0, что соответствует графику А, который пересекает ось Оу выше начала координат. Это подтверждает, что и оставшаяся пара А–2 тоже верна.
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Установите соответствие между функциями и их графиками.
Функция представляет собой линейную зависимость, а именно уравнение первого порядка вида:
График данной функции зависит от k и b.
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Линейной функцией называют функцию которую можно задать формулой вида
Линейная функция
Линейная функция – это функция, которую можно задать формулой y = kx + b,
где x – независимая переменная, k и b – некоторые числа.
Графиком линейной функции является прямая.
Число k называют угловым коэффициентом прямой – графика функции y = kx + b.
Прямая пропорциональность.
Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой y = kx, где х – независимая переменная, k – не равное нулю число. Число k называют коэффициентом прямой пропорциональности.
График прямой пропорциональности представляет собой прямую, проходящую через начало координат (см.рисунок).
Прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции.
Свойства функции y = kx:
2. Это нечетная функция.
Обратная пропорциональность
Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой:
k
y = —
x
где x – независимая переменная, а k – не равное нулю число.
Графиком обратной пропорциональности является кривая, которую называют гиперболой (см.рисунок).
Для кривой, которая является графиком этой функции, оси x и y выступают в роли асимптот. Асимптота – это прямая, к которой приближаются точки кривой по мере их удаления в бесконечность.
k
Свойства функции y = —:
x
2. Это нечетная функция.
Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемАлла Шлоссман
Похожие презентации
Презентация на тему: » Функции их графики и свойства. Линейная функция Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой у = kх + b где х – независимая переменная,» — Транскрипт:
1 Функции их графики и свойства
2 Линейная функция Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой у = kх + b где х – независимая переменная, k и b – некоторые числа. Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой у = kх + b где х – независимая переменная, k и b – некоторые числа. Ее областью определения называют множество всех действительных чисел. Ее областью определения называют множество всех действительных чисел. График – прямая. График – прямая. Число k – угловой коэффициент прямой. Число k – угловой коэффициент прямой.
3 Расположение графика в зависимости от чисел k и b K не равно 0, то график функции у = kх + b пересекает ось х. K не равно 0, то график функции у = kх + b пересекает ось х. при K = 0 и b не равном нулю график функции параллелен оси х. при K = 0 и b не равном нулю график функции параллелен оси х.
0, то функция возрастает. k>0, то функция возрастает. k 0, то функция возрастает. k>0, то функция возрастает. k 4 Расположение графика в зависимости от чисел k и b k>0, то функция возрастает. k>0, то функция возрастает. k 0, то функция возрастает. k>0, то функция возрастает. k 0, то функция возрастает. k>0, то функция возрастает. k 0, то функция возрастает. k>0, то функция возрастает. k 0, то функция возрастает. k>0, то функция возрастает. k
5 Прямая пропорциональность Линейную функцию, задаваемою формулой у = kх при k не равном нулю, называют прямой пропорциональностью Линейную функцию, задаваемою формулой у = kх при k не равном нулю, называют прямой пропорциональностью График – прямая, проходящая через начало координат График – прямая, проходящая через начало координат
6 Обратная пропорциональность Функция, которую можно задать формулой у = k/X, где х – независимая переменная, k – не равное нулю число. Функция, которую можно задать формулой у = k/X, где х – независимая переменная, k – не равное нулю число. Область определения – множество всех действительных чисел, отличных от нуля. Область определения – множество всех действительных чисел, отличных от нуля. График – гипербола. График – гипербола.
0 график расположен в первой и третьей координатных четвертях, при к 0 график расположен в первой и третьей координатных четвертях, при к 0 график расположен в первой и третьей координатных четвертях, при к 0 график расположен в первой и третьей координатных четвертях, при к 7 При к>0 график расположен в первой и третьей координатных четвертях, при к 0 график расположен в первой и третьей координатных четвертях, при к 0 график расположен в первой и третьей координатных четвертях, при к 0 график расположен в первой и третьей координатных четвертях, при к 0 график расположен в первой и третьей координатных четвертях, при к 0 график расположен в первой и третьей координатных четвертях, при к 0 график расположен в первой и третьей координатных четвертях, при к 0 график расположен в первой и третьей координатных четвертях, при к 0 график расположен в первой и третьей координатных четвертях, при к 0 график расположен в первой и третьей координатных четвертях, при к
10 Функция у = х³ Область определения – множество всех действительных чисел. Область определения – множество всех действительных чисел. Функция обращается в нуль при х=0, принимает отрицательные значения, если х 0. Функция обращается в нуль при х=0, принимает отрицательные значения, если х 0. График функции проходит через начало координат и расположен в первой и третьей координатных четвертях. График функции проходит через начало координат и расположен в первой и третьей координатных четвертях. График симметричен относительно начала координат. График симметричен относительно начала координат.
0 функция принимае» title=»Функция квадратного корня из х. Область определения – множество всех неотрицательных чисел. Область определения – множество всех неотрицательных чисел. Функция обращается в нуль про х = 0. Функция обращается в нуль про х = 0. При х>0 функция принимае» > 12 Функция квадратного корня из х. Область определения – множество всех неотрицательных чисел. Область определения – множество всех неотрицательных чисел. Функция обращается в нуль про х = 0. Функция обращается в нуль про х = 0. При х>0 функция принимает положительные значения. При х>0 функция принимает положительные значения. График функции расположен в первой координатной четверти, он представляет собой ветвь параболы. График функции расположен в первой координатной четверти, он представляет собой ветвь параболы. 0 функция принимае»> 0 функция принимает положительные значения. При х>0 функция принимает положительные значения. График функции расположен в первой координатной четверти, он представляет собой ветвь параболы. График функции расположен в первой координатной четверти, он представляет собой ветвь параболы.»> 0 функция принимае» title=»Функция квадратного корня из х. Область определения – множество всех неотрицательных чисел. Область определения – множество всех неотрицательных чисел. Функция обращается в нуль про х = 0. Функция обращается в нуль про х = 0. При х>0 функция принимае»>
