Об аксиомах планиметрии (продолжение)
Чтобы выяснить этот смысл, заметим, что при наложении фигуры Ф на равную ей фигуру Ф1, как мы представляем его наглядно, каждая точка фигуры Ф накладывается на некоторую точку фигуры Ф1. Иначе говоря, каждая точка фигуры Ф сопоставляется некоторой точке фигуры Ф1. Но мы можем сопоставить каждую точку фигуры Ф некоторой точке фигуры Ф1 и без непосредственного наложения Ф на Ф1 (рис. 374). Такое сопоставление называется отображением фигуры Ф на фигуру Ф1 (при этом подразумевается, что каждая точка фигуры Ф1 оказывается сопоставленной некоторой точке фигуры Ф). Под наложением фигуры Ф на фигуру Ф1 мы понимаем отображение Ф на Ф1. Более того, мы считаем, что при этом не только точки фигуры Ф, но и любая точка плоскости отображается на определённую точку плоскости, т. е. наложение — это отображение плоскости на себя.
Однако не всякое отображение плоскости на себя мы называем наложением. Наложения — это такие отображения плоскости на себя, которые обладают свойствами, выраженными в аксиомах (см. ниже аксиомы 7—13). Чтобы сформулировать эти аксиомы, введём понятие равенства фигур. Пусть Ф и Ф1 — две фигуры. Если существует наложение, при котором фигура Ф отображается на фигуру Ф1, то мы говорим, что фигуру Ф можно совместить наложением с фигурой Ф1, или фигура Ф равна фигуре Ф^1. Сформулируем теперь аксиомы о свойствах наложений.
| 7. Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки. 8. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один. |
Это означает, что если даны какой-то отрезок АВ и какой-то луч h с началом в точке О, то на луче h существует, и притом только одна, точка С, такая, что отрезок АВ равен отрезку ОС.
| 9. От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвёрнутому углу, и притом только один. |
Это означает, что если даны какой-то луч ОА и какой-то неразвёрнутый угол CDE, то в каждой из двух полуплоскостей с границей ОА существует, и притом только один, луч ОВ, такой, что угол CDE равен углу АОВ.
| 10. Любой угол hk можно совместить наложением с равным ему углом h1k1 двумя способами: 1) так, что луч h совместится с лучом h1, а луч k — с лучом k1; 2) так, что луч h совместится с лучом k1, а луч k — с лучом h1. 11. Любая фигура равна самой себе. 12. Если фигура Ф равна фигуре Ф1, то фигура Ф1 равна фигуре Ф. 13. Если фигура Ф1 равна фигуре Ф2, а фигура Ф2 равна фигуре Ф3, то фигура Ф, равна фигуре Ф3. |
Как видно, все приведённые аксиомы соответствуют нашим наглядным представлениям о наложении и равенстве фигур и поэтому не вызывают сомнений.
Следующие две аксиомы связаны с измерением отрезков. Прежде чем их сформулировать, напомним, как измеряются отрезки.
Пусть АВ — измеряемый отрезок, PQ — выбранная единица измерения отрезков. На луче АВ отложим отрезок АА1 = PQ, на луче A1B — отрезок A1A2 = PQ и т. д. до тех пор, пока точка Аn не совпадёт с точкой В либо точка В не окажется лежащей между Аn и Аn + 1. В первом случае говорят, что длина отрезка АВ при единице измерения PQ выражается числом n (или что отрезок PQ укладывается в отрезке АВ n раз). Во втором случае можно сказать, что длина отрезка АВ при единице измерения PQ приближённо выражается числом n. Для более точного измерения отрезок PQ делят на равные части, обычно на 10 равных частей, и с помощью одной из этих частей измеряют описанным способом остаток АnВ. Если при этом десятая часть отрезка PQ не укладывается целое число раз в измеряемом остатке, то её также делят на 10 равных частей и продолжают процесс измерения. Мы предполагаем, что таким способом можно измерить любой отрезок, т. е. выразить его длину при данной единице измерения конечной или бесконечной десятичной дробью. Это утверждение кратко сформулируем так:
Презентация проекта «Аксиомы планеметрии»
Презентация учебного проекта Аксиомы планеметрии, подготовленная учащимся 7 класса к конференции по геометрии.
Просмотр содержимого документа
«Презентация проекта «Аксиомы планеметрии»»
МБОУ средняя школа №1
г.Рославля Смоленской области
Проект по геометрии
Выполнил ученик 7 класса А Киверов Николай.
Учитель Гришкова Е.В.
утверждение о свойствах геометрических фигур принимающиеся в качестве исходных положений, на основе которых доказываются далее теоремы.
Точка С лежит между точками А и В.
Точка К лежит между точками А и С.
это отображение плоскости на себя,
выраженное следующими аксиомами…
Аксиома№15 (аксиома существования отрезка данной длины)
Аксиома№16 (аксиома параллельных прямых)
Аксиомы планиметрии
2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.
3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
4. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
5. Каждая точка О прямой разделяет ее на две части (два луча) так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от точки О, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки О.
6. Каждая прямая а разделяет плоскость на две части (две полуплоскости) так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой а.
7. Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки.
8. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.
9. От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один.
10. Любой угол hk можно совместить наложением с равным ему углом h1k1 двумя способами: 1) так, что луч h совместится с лучом h1, а луч k — с лучом k1;
2) так, что луч h совместится с лучом k1, а луч k — с лучом h1.
11. Любая фигура равна самой себе.
12. Если фигура Ф равна фигуре Ф1, то фигура Ф1 равна фигуре Ф.
13. Если фигура Ф1 равна фигуре Ф2, а фигура Ф2 равна фигуре Ф3, то фигура Ф1 равна фигуре Ф3.
14. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом.
15. При выбранной единице измерения отрезков для любого положительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.
16. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемЯрослав Балкашин
Похожие презентации
Презентация на тему: » Аксиомы планиметрии. 1.Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки.» — Транскрипт:
2 1. Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки.
3 2. Имеются по крайней мере 3 точки, не лежащие на одной прямой.
4 3. Через любые 2 точки проходит прямая, и причем только одна.
5 4. Из 3 х точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
6 5. Каждая точка O прямой разделяет её на две части (два луча) так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от точки О, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки О.
7 6. Каждая прямая а разделяет плоскость на две части (две полуплоскости) так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой а.
8 7. Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки. a b
9 8. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.
10 9. От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один.
11 10. Любой угол hk можно совместить наложением с равным ему углом h 1 k 1 двумя способами:
14 11. Любая фигура равна сама себе. A B C D E ABCDEF=ABCDEF
Ф 1 =Ф» title=»12. Если фигура Ф равна фигуре Ф 1, то фигура Ф 1 равна фигуре Ф. ФФ1Ф1 Ф=Ф 1 => Ф 1 =Ф» > 15 12. Если фигура Ф равна фигуре Ф 1, то фигура Ф 1 равна фигуре Ф. ФФ1Ф1 Ф=Ф 1 => Ф 1 =Ф Ф 1 =Ф»> Ф 1 =Ф»> Ф 1 =Ф» title=»12. Если фигура Ф равна фигуре Ф 1, то фигура Ф 1 равна фигуре Ф. ФФ1Ф1 Ф=Ф 1 => Ф 1 =Ф»>
Ф 3 =Ф 1 Ф1Ф1 Ф2Ф2 Ф3Ф3″ title=»13. Если фигура Ф 1 равна фигуре Ф 2, а фигура Ф 2 рана фигуре Ф 3, то фигура Ф 3 равна фигуре Ф 1. (Ф 1 =Ф 2 ) & (Ф 2 =Ф 3 ) => Ф 3 =Ф 1 Ф1Ф1 Ф2Ф2 Ф3Ф3″ > 16 13. Если фигура Ф 1 равна фигуре Ф 2, а фигура Ф 2 рана фигуре Ф 3, то фигура Ф 3 равна фигуре Ф 1. (Ф 1 =Ф 2 ) & (Ф 2 =Ф 3 ) => Ф 3 =Ф 1 Ф1Ф1 Ф2Ф2 Ф3Ф3 Ф 3 =Ф 1 Ф1Ф1 Ф2Ф2 Ф3Ф3″> Ф 3 =Ф 1 Ф1Ф1 Ф2Ф2 Ф3Ф3″> Ф 3 =Ф 1 Ф1Ф1 Ф2Ф2 Ф3Ф3″ title=»13. Если фигура Ф 1 равна фигуре Ф 2, а фигура Ф 2 рана фигуре Ф 3, то фигура Ф 3 равна фигуре Ф 1. (Ф 1 =Ф 2 ) & (Ф 2 =Ф 3 ) => Ф 3 =Ф 1 Ф1Ф1 Ф2Ф2 Ф3Ф3″>
0 A B» title=»14. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого из них выражается положительным числом. |AB|=x, где x>0 A B» > 17 14. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого из них выражается положительным числом. |AB|=x, где x>0 A B 0 A B»> 0 A B»> 0 A B» title=»14. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого из них выражается положительным числом. |AB|=x, где x>0 A B»>
0, |AB|=x A B» title=»15. При выбранной единице измерения отрезков для любого положительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом. x>0, |AB|=x A B» > 18 15. При выбранной единице измерения отрезков для любого положительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом. x>0, |AB|=x A B 0, |AB|=x A B»> 0, |AB|=x A B»> 0, |AB|=x A B» title=»15. При выбранной единице измерения отрезков для любого положительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом. x>0, |AB|=x A B»>
19 16. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Аксиомы планиметрии. Презентация по геометрии для 7-9 классов.
Описание презентации по отдельным слайдам:
Презентация по геометрии учителя математики МКОУ СОШ №1 Розовой С М пгт. Палана Камчатский край Учебник геометрии 7 – 9. Авторы: Л.С. Атанасян и другие.
Геометрия Евклида Первым систематическим изложением геометрии, дошедшим до нашего времени, являются “Начала” – сочинения александрийского математика Евклида.
В “Началах” был развит аксиоматический подход к построению геометрии, который состоит в том, что сначала формулируются основные положения (аксиомы), а затем на их основе посредством рассуждений доказываются другие утверждения (теоремы). Изложение геометрии Евклидом долгое время служило недосягаемым образцом точности, безукоризненности и строгости. Только в начале 20 века математики смогли улучшить логические основания геометрии. «Начала»
Аксиомами называются те основные положения геометрии, которые принимаются в качестве исходных. Или : Аксиомами называются утверждения, которые принимаются без доказательства.
Основные понятия (фигуры) на плоскости: точка и прямая Используя основные понятия и аксиомы даются определения новых понятий, формулируются и доказываются теоремы о свойствах геометрических фигур.
Аксиомы взаимного расположения точек и прямых: 1.Каждой прямой принадлежит по крайней мере две точки. 2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой. 3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
А В Прямые и отрезки Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну а
Аксиомы расположения точек на прямой: 4. Из трёх точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими. 5. Каждая точка О прямой разделяет её на две части(два луча) так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от точки О, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки О.
Аксиома расположения точек на плоскости: 6. Каждая прямая а разделяет плоскость на две части (две полуплоскости) так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой а.
Аксиомы наложения или равенства фигур. Наложение – это отображение плоскости на себя. Если существует наложение, при котором фигура Ф отображается на фигуру Ф1, то говорят, что фигуру Ф можно совместить наложением с фигурой Ф1, или фигура Ф равна фигуре Ф1.
Аксиомы наложения или равенства фигур: 7. Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки. 8. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному и притом только один. 9. От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвёрнутому углу, и притом только один.
Аксиомы наложения или равенства фигур: 12. Если фигура Ф равна фигуре Ф1, то фигура Ф1 равна фигуре Ф. 13. Если фигура Ф1 равна фигуре Ф2, а фигура Ф2 равна фигуре Ф3, то фигура Ф1 равна фигуре Ф3.
Аксиомы измерения отрезков: 14. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом. Аксиома существования отрезка данной длины: 15. При выбранной единице измерения отрезков для любого положительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.
Аксиома параллельных прямых: 16. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая параллельная данной.
Через каждую точку плоскости, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую параллельную данной а А b p l
Постулаты Евклида 1. Из каждой точки ко всякой другой точке можно провести прямую; 2. Каждую ограниченную прямую можно продолжить неопределённо; 3. Из любого центра можно описать окружность любого радиуса; 4. Все прямые углы равны; 5. И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньше двух прямых, то продолженные эти прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых
О чем говорится в V постулате Евклида? Если две прямые а и в образуют при пересечении с третьей прямой внутренние односторонние углы, сумма величин которых меньше двух прямых углов (т.е. меньше 180°; рис. 1), то эти две прямые обязательно пересекаются, причем именно с той стороны от третьей прямой, по которую расположены углы α и β (составляющие вместе менее 180°).
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Аксиомы планиметрии. Презентация для 7-9 классов.
Номер материала: 390440
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Не нашли то что искали?
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
Попова предложила изменить школьную программу по биологии
Время чтения: 1 минута
Минпросвещения будет стремиться к унификации школьных учебников в России
Время чтения: 1 минута
Рособрнадзор откажется от ОС Windows при проведении ЕГЭ до конца 2024 года
Время чтения: 1 минута
Минобрнауки разработало концепцию преподавания истории российского казачества
Время чтения: 1 минута
В Тюменской области продлили на неделю дистанционный режим для школьников
Время чтения: 1 минута
Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов
Время чтения: 2 минуты
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
