Дробь и натуральное число
Любое натуральное число можно представить в виде дроби – это дробь со знаменателем 1, потому что в знаменателе может стоять любое число.
Поэтому, можно говорить, что какой-то предмет (величина) неделимый, т.е. целый.
Числитель указывает, какое количество предметов мы берем, т.е. дробь вида а/1 — это натурального числа а. Значит, а/1 = а или а = а/1.
К примеру, число 32 – это обыкновенная дробь вида 32/1; а 15/1 = 15, 69 = 69/1.
Когда нам нужно сравнить обыкновенную дробь с натуральным числом, то можно: 1) сравнить две дроби, причем вторая имеет в знаменателе 1.
Затем нужно привести к общему знаменателю. А это очень долго и неэффективно!
2) мы знаем, что если торт разрежем на несколько кусков, например, на 8
и возьмем 3 таких куска, то это будет 3/8 от торта. А это меньше, чем целый торт.
Значит, любая обыкновенная дробь всегда будет меньше целого, т.е. меньше 1.
Это правило можно использовать для сравнения двух разных дробей (см. статью здесь).
Например, 3/4 и 5/6.
Каждую из данных дробей сравниваем с единицей.
3/4 меньше единицы на 1/4, а 5/6 меньше на 1/6.
А 1/6 меньше, чем 1/4.
Т.е. у второй дроби меньше не хватает до единицы, чем у первой, значит, у первой больше не хватает до 1.
Поэтому 3/4
Средняя оценка 4.9 / 5. Количество оценок: 71
Что такое Рациональные числа?
Определение рациональных чисел
Рациональное число — это число, которое можно представить в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби или числа ноль. Если число можно получить делением двух целых чисел, то это число рациональное.
Рациональные числа — это те, которые можно представить в виде
где числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число.
Рациональные числа – это все натуральные, целые числа, обыкновенные дроби, бесконечные периодические дроби и конечные десятичные дроби.
Множество рациональных чисел принято обозначать латинской буквой Q.
Примеры рациональных чисел:
Свойства рациональных чисел
У рациональных чисел есть определенные законы и ряд свойств — рассмотрим каждый их них. Пусть а, b и c — любые рациональные числа.
Кроме основных перечисленных есть еще ряд свойств:
Мы знаем, что 0 = d + (-d) для любого рационального d, значит a * 0 = a * (d + (-d)).
Распределительный закон позволяет переписать выражение:
Так получилась сумма двух противоположных чисел, которая в результате дает нуль, что доказывает равенство a * 0 = 0.
Определение иррационального числа
Иррациональное число — это действительное число, которое невозможно выразить в форме деления двух целых чисел, то есть в рациональной дроби
Оно может быть выражено в форме бесконечной непериодической десятичной дроби.
Бесконечная периодическая десятичная дробь — это такая дробь, десятичные знаки которой повторяются в виде группы цифр или одного и того же числа.
Обозначение множества иррациональных чисел: латинская буква I.
Действительные или вещественные числа — это все рациональные и иррациональные числа: положительные, отрицательные и нуль.
Свойства иррациональных чисел:
Различие между целыми, натуральными и рациональными числами
Натуральные числа — это числа, которые мы используем, чтобы посчитать что-то конкретное, осязаемое: один банан, две тетрадки, десять стульев.
А вот, что точно не является натуральным числом:
Целые числа — это натуральные числа, противоположные им и нуль.
Какие числа называются рациональными мы уже знаем из первой части статьи. Повторим еще раз.
Рациональные числа — это конечные дроби и бесконечные периодические дроби.
Например: 
Любое рациональное число можно представить в виде дроби, у которой числитель принадлежит целым числам, а знаменатель — натуральным. Поэтому во множество рациональных чисел входит множество целых и натуральных чисел.
Но не все числа можно назвать рациональными. Например, бесконечные непериодические дроби не принадлежат множеству рациональных чисел. Так √3 или 𝜋 (число пи) нельзя назвать рациональными числами.
Деление и дроби
Не всегда можно одно натуральное число разделить на другое, так, например, 2 нельзя разделить на 3, в таком случае деление можно заменить дробью 
, т.е. 2 : 3 = .
Пример:
= 3 : 5; 
= 5 : 3.
| В результате деления двух натуральных чисел может получится натуральное число или дробное число. |
Пример:
20 : 4 = 
= 5; 13 : 25 = 
; 45 : 4 = 
.
| Всякое натуральное число может быть записано в виде дроби, причем натуральное число можно представить в виде дроби с каким угодно знаменателем. |
Пример:
Получаем, что число 1 можно представить в виде дроби, у которой числитель и знаменатель равны.
Свойство деления суммы на число
Чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и сложить полученные частные.
Пример:
(64 + 72) : 8 = 64 : 8 + 72 : 8 = 8 + 9 = 17.
Дробные выражения
| Частное двух чисел или выражений, в котором знак деления обозначен чертой, называют дробным выражением. |
К дробным выражениям относятся:
Обратите внимание, в числителе и в знаменателе дробного выражения могут стоять любые числа (натуральные числа, обыкновенные дроби, десятичные дроби и т.д.), а также числовые или буквенные выражения (смотри примеры выше).
Если числитель и знаменатель дробного выражения разделить или умножить на одно и то же число отличное от нуля, то получим дробное выражение, равное данному. Данное свойство часто используют, когда преобразуют дробное выражение с десятичными дробями в обыкновенную дробь.
Пример:
, обычно запись упрощают, и пишут так: 
.
То есть, получается, что мы переносим запятую в числителе и знаменателе дробного выражения на одинаковое количество цифр вправо, при этом если в одном числе цифр после запятой больше, чем в другом, то переносим запятую на большее количество цифр, а там где цифр после запятой меньше дописываем нули.
Пример:
.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Алгебра. 7 класс
Конспект урока
Обыкновенные дроби. Конечные десятичные дроби
Перечень рассматриваемых вопросов:
где p и q – натуральные числа.
Положительное рациональное число называют ещё обыкновенной положительной дробью, или просто дробью.
Любая обыкновенная дробь, знаменатель которой есть некоторая степень числа 10, может быть записана в виде конечной десятичной дроби.
Любая конечная десятичная дробь, может быть записана в виде обыкновенной дроби, знаменатель которой есть некоторая степень числа 10.
Любое натуральное число можно записать в виде конечной десятичной дроби.
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Вы изучили множество натуральных чисел, сегодня на уроке расширим наши знания и будем рассматривать множество рациональных чисел. Сформулируем определение.
где p и q – натуральные числа.
Положительное рациональное число называют ещё обыкновенной положительной дробью, или просто дробью.
Для любого натурального числа p верно равенство:
Таким образом, любое натуральное число является рациональным числом.
Любое положительное число a является рациональным, так как его можно записать в виде
Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное, не равное нулю число, то получится равная ей дробь:
где p, q, n – натуральные числа.
Если числитель и знаменатель дроби не имеют общих делителей, то дробь называют несократимой.
Смешанные числа
Так можно записать любую неправильную дробь, у которой числитель не делится на знаменатель.
Дробная часть смешанного числа − это правильная дробь.
Научимся записывать неправильную дробь в виде смешанного числа, т.е. выделять (находить) его целую и дробные части.
Заметим, что число 4 и есть ццелая часть смешанного числа, а число 2 − числитель его дробной части.
Чтобы неправильную дробь, числитель которой нацело не делится на знаменатель, преобразовать в смешанное число, надо числитель разделить на знаменатель; полученное неполное частное записать как целую часть смешанного числа, а остаток − как числитель его дробной части.
Любую неправильную дробь, у которой числитель нацело делится на знаемнатель, можно представить в виде смешанного числа.
Решение. Разделим числитель дроби на знаменатель:
Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, надо целую часьт числа умножить на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавить числитель дробной части; эту сумму записать как числитель неправильной дроби, а в ее знаемнатель записать знаменатель дробной части смешанного числа.
Отметим, что свойства сложения натуральных чисел выполняются и для дробных чисел:
a + b = b + a − переместительное свойство сложения,
(a + b) + c = a + (b + c) − сочетательное свойство сложения.
Чтобы сложить два смешанных числа, надо отдельно сложить их целые и дробные части.
Научимся вычитать смешанные числа, дробные части котрых имеют равные знаменатели. Если дробная часть уменьшаемого больше или равна дробной части вычитаемого, то можно восспользоваться следующим правилом.
Чтобы найти разность двух смешанных чисел, надо из целой и дробной частей уменьшаемого вычесть соответственно целую и дробную части вычитаемого.
