математический маятник совершает свободные гармонические колебания какую величину можно определить

Математический маятник совершает свободные гармонические колебания какую величину можно определить

Математический маятник совершает свободные гармонические колебания. Какую величину можно определить, если известны длина l и период колебаний Т маятника?

1) амплитуду А колебаний маятника

2) ускорение свободного падения g

3) максимальную кинетическую энергию маятника

4) массу m груза маятника

Период колебаний математического маятника зависит от ускорения свободного падения и длины нити маятника Следовательно, если известны длина и период колебаний маятника, можно определить ускорение свободного падения.

Подскажите мне пожалуйста, зачем искать g,

если g итак известная величина?

Вовсе нет. Это просто в задачах обычно кладут эту величину равной или . А так, эта величина бывает разной, она характеризует силу гравитационного поля. В разных точках Земли получаются немного отличающиеся значение (потому что Земля не сферически симметричная). Величина зависит даже от того, какие породы залегают под место измерения. На других планетах тоже есть свое ускорение свободного падения, так там оно вообще свое 🙂

Источник

Математический маятник совершает свободные гармонические колебания какую величину можно определить

1) амплитуду А колебаний маятника

2) ускорение свободного падения g

3) максимальную кинетическую энергию маятника

4) массу m груза маятника

Подскажите мне пожалуйста, зачем искать g,

если g итак известная величина?

Источник

Свободные колебания. Математический маятник

Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела. В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол φ появляется касательная составляющая силы тяжести F_τ = –mg sin φ (рис. 2.3.1). Знак «минус» в этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону, противоположную отклонению маятника.

Математический маятник. φ – угловое отклонение маятника от положения равновесия, x = lφ – смещение маятника по дуге

Если обозначить через x линейное смещение маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса l, то его угловое смещение будет равно φ = x / l. Второй закон Ньютона, записанный для проекций векторов ускорения и силы на направление касательной, дает:

Это соотношение показывает, что математический маятник представляет собой сложную нелинейную систему, так как сила, стремящаяся вернуть маятник в положение равновесия, пропорциональна не смещению x, а

Только в случае малых колебаний, когда приближенно можно заменить на математический маятник является гармоническим осциллятором, т. е. системой, способной совершать гармонические колебания. Практически такое приближение справедливо для углов порядка 15–20°; при этом величина отличается от не более чем на 2 %. Колебания маятника при больших амплитудах не являются гармоническими.

Для малых колебаний математического маятника второй закон Ньютона записывается в виде

Таким образом, тангенциальное ускорение a_τ маятника пропорционально его смещению x, взятому с обратным знаком. Это как раз то условие, при котором система является гармоническим осциллятором. По общему правилу для всех систем, способных совершать свободные гармонические колебания, модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением из положения равновесия равен квадрату круговой частоты:

Эта формула выражает собственную частоту малых колебаний математического маятника.

Любое тело, насаженное на горизонтальную ось вращения, способно совершать в поле тяготения свободные колебания и, следовательно, также является маятником. Такой маятник принято называть физическим (рис. 2.3.2). Он отличается от математического только распределением масс. В положении устойчивого равновесия центр масс C физического маятника находится ниже оси вращения О на вертикали, проходящей через ось. При отклонении маятника на угол φ возникает момент силы тяжести, стремящийся возвратить маятник в положение равновесия:

Здесь d – расстояние между осью вращения и центром масс C.

Знак «минус» в этой формуле, как обычно, означает, что момент сил стремится повернуть маятник в направлении, противоположном его отклонению из положения равновесия. Как и в случае математического маятника, возвращающий момент M пропорционален . Это означает, что только при малых углах, когда, физический маятник способен совершать свободные гармонические колебания. В случае малых колебаний

и второй закон Ньютона для физического маятника принимает вид

где ε – угловое ускорение маятника, I – момент инерции маятника относительно оси вращения O. Модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением равен квадрату круговой частоты:

Здесь ω₀ – собственная частота малых колебаний физического маятника.

Более строгий вывод формул для ω₀ и T можно сделать, если принять во внимание математическую связь между угловым ускорением и угловым смещением: угловое ускорение ε есть вторая производная углового смещения φ по времени:

Поэтому уравнение, выражающее второй закон Ньютона для физического маятника, можно записать в виде

Это уравнение свободных гармонических колебаний.

Коэффициент в этом уравнении имеет смысл квадрата круговой частоты свободных гармонических колебаний физического маятника.

По теореме о параллельном переносе оси вращения (теорема Штейнера) момент инерции I можно выразить через момент инерции IC относительно оси, проходящей через центр масс C маятника и параллельной оси вращения:

Окончательно для круговой частоты ω₀ свободных колебаний физического маятника получается выражение:

Источник

Математический маятник совершает свободные гармонические колебания какую величину можно определить

Маятник совершает вынужденные колебания под действием внешней силы, изменяющейся по гармоническому закону, причём частота изменения этой силы такова, что наблюдается резонанс. Затем частоту изменения внешней силы уменьшают.

Определите, как изменятся через достаточно продолжительное время следующие физические величины: амплитуда колебаний маятника, частота вынужденных колебаний маятника.

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Амплитуда колебаний маятника

Частота вынужденных колебаний маятника

Резонанс — это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты внешней силы с собственной частотой колебательной системы. Другими словами, при резонансе амплитуда колебаний резко возрастает и достигает своего максимального значения. Если мы уменьшим частоту гармонических колебаний внешней силы, то резонанс исчезнет и амплитуда колебаний маятника уменьшится.

Под действием силы, меняющейся с частотой груз на пружине совершает вынужденные гармонические колебания с такой же частотой. Следовательно, уменьшение частоты гармонических колебаний внешней силы приведет к уменьшению частоты вынужденных колебаний маятника.

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Амплитуда колебаний маятника

Частота вынужденных колебаний маятника

Резонанс — это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты внешней силы с собственной частотой колебательной системы. Другими словами, при резонансе амплитуда колебаний резко возрастает и достигает своего максимального значения. Если мы увеличим частоту гармонических колебаний внешней силы, то резонанс исчезнет и амплитуда колебаний маятника уменьшится.

Под действием силы, меняющейся с частотой груз на пружине совершает вынужденные гармонические колебания с такой же частотой. Следовательно, увеличение частоты гармонических колебаний внешней силы приведет к увеличению частоты вынужденных колебаний маятника.

Аналоги к заданию № 10636: 10704 Все

Скорость тела, совершающего гармонические колебания меняется с течением времени в соответствии с уравнением где все величины выражены в СИ. Какова амплитуда колебаний скорости? (Ответ дайте в метрах в секунду.)

Общий вид закона изменения скорости тела со временем, совершающего колебания, имеет вид

где — амплитуда колебаний скорости. Сравнивая с заключаем, что амплитуда колебаний скорости равна

А разве закон не имеет вид:

В частном случае, да (если положить ).

Я совсем запутался.

В одних справочниках закон изменения скорости гармонических колебаний выглядит так:

А у вас на сайте увидел совсем другую формулу без «w» после амплитуды.

Как пользоваться такими формулами? Как тогда выглядят законы для координаты и ускорения?

Мой преподаватель говорил, что можна использовать и 1), и 2).

Все довольно просто. Сейчас я, возможно, скажу несколько сложных слов, но затем постараюсь разъяснить их смысл. Для простоты изложения речь будет идти об одномерном случае, на случай многих степеней свободы все легко обобщается.

Это абсолютно общая ситуация. Вспомните, когда мы говорим о движении тела с постоянным ускорением, чтобы в точности задать движение нам нужно именно два числа, начальная координата и начальная скорость.

Тоже самое справедливо и для колебания. Колебание конкретного маятника (то есть маятника с заданной собственной частотой) определяется также двумя числами. Обычно решение уравнения для маятника, получаемого из второго закона Ньютона, записывают в виде .

Здесь и играют как раз роль произвольных постоянных, которые нужно определять из начальных условий. Посчитаем скорость: . Пусть нам известно, что в нулевой момент времени координата и скорость маятника были равны и . Решив систему обычных уравнений , можно найти конкретные выражения для и через и .

Не буду приводить ответ в общем случае, если Вы захотите, то легко сделаете это сами. Расскажу только о конкретных случая. Пусть, например, известно, что в нулевой момент времени тело находится в положении равновесия (то есть ), а его скорость равна своей максимальной величине (то есть ). Тогда получаем для нашего конкретного случая, что система уравнений приобретает вид: . Из первого уравнения сразу понятно, что (первому уравнению, конечно, удовлетворяет и условие , но тогда наше решение получится нулевым, а нас это не устраивает). Второе тогда приобретает вид: , откуда . Таким образом мы нашли выражения для обеих постоянных. В итоге имеем: . При этом для ускорения получается . Если теперь обозначить через более привычное выражение для амплитуды , получатся более привычные формулы.

Рассмотрим еще один пример. Пусть теперь груз находится в крайнем положении, то есть его скорость равна нулю. Будем считать, что от отклонился в отрицательную сторону оси, то есть его координата равна . Тогда уравнения на начальные условия приобретают вид: . Из второго уравнения . Из первого: . Таким образом, для координаты имеет: (второе равенство при помощи формулы приведения). Для скорости: . Для ускорения: .

Конкретные формулы зависят от начальных данных. С учетом периодичности синусов и косинусов, пользуясь разными формулами приведения, можно из формул убирать знаки добавлять фазы и т.д.

Что касается формулы в задаче, там нет , частоты, так как подставлено ее конкретное значение:

Источник

Математический маятник совершает свободные гармонические колебания какую величину можно определить

Период колебаний потенциальной энергии горизонтального пружинного маятника 1 с. Каким будет период ее колебаний, если массу груза маятника увеличить в 2 раза, а жесткость пружины вдвое уменьшить? (Ответ дайте в секундах.)

Период колебаний потенциальной энергии пружинного маятника пропорционален периоду колебаний груза, который определяется выражением

Следовательно, увеличение массы груза маятника в 2 раза и уменьшение жесткости пружины в 2 раза приведет к увеличению периода колебаний потенциальной энергии пружинного маятника в 2 раза: Он окажется равным

А я думала,что Период колебаний потенциальной энергии пружинного маятника пропорционален половине периода колебаний груза

Период колебаний потенциальной энергии пружинного маятника РАВЕН половине периода колебаний груза.

Пропорциональность не означает равенство, это только утверждение о том, что если одна величина увеличилась в раз, то и вторая изменилась аналогично.

А у математического маятника период колебания потенциальной энергии как определяется?

Аналогично. Это период изменения . Он равен также равен половине периода колебаний математического маятника.

Период колебаний потенциальной энергии пружинного маятника 1 с. Каким будет период ее колебаний, если массу груза маятника и жесткость пружины увеличить в 4 раза? (Ответ дайте в секундах.)

Период колебаний потенциальной энергии пружинного маятника в два раза меньше периода колебаний самого маятника. В свою очередь, период колебаний пружинного маятника зависит только от отношения массы груза и жесткости пружины:

Таким образом, одновременное их увеличение в 4 раза не приведет к изменению периода колебаний потенциальной энергии.

Добрый день! Хочу понять, как соотносятся утверждение «Период колебаний потенциальной энергии пружинного маятника пропорционален периоду колебаний груза» из задачи A6 № 526. с утверждением «Период колебаний потенциальной энергии пружинного маятника в два раза меньше периода колебаний самого маятника» в данной задаче?

По-моему, верное все-таки второе утверждение.

Оба утверждения верны. Так как пропорциональность означает не строгое равенство, а лишь закономерность. Увеличение в раз одной величины приводит к увеличение в раз другой. Этого замечания достаточно для решения задачи 526.

Кстати, обратите внимание, в рамках этого сайта уже обсуждалось, что для вертикального пружинного маятника необходимо различать полную потенциальную энергию, потенциальную энергию груза и потенциальную энергию пружины. Если первая имеет вдвое меньший период, чем период самих колебаний, то период двух последних энергий совпадает с периодом колебаний (см. комментарии к задаче 3104)

Потенциальная энергия маятника равна сумме потенциальной энергии груза в поле тяжести и потенциальной энергии деформации пружины. Эта величина ведет себя независимо от того, как ориентирован маятник. Период ее изменения всегда равен половине периода колебаний груза. В сумме с кинетической энергией груза эта величина дает константу (полную механическую энергию маятника).

На рисунке представлен график зависимости потенциальной энергии математического маятника (относительно положения его равновесия) от времени. Какова полная механическая энергия маятника в момент времени, соответствующий на графике точке D? (Ответ дайте в джоулях.)

При колебании математического маятника выполняется закон сохранения полной механической энергии, так как на маятник не действует никаких внешних сил, совершающих работу. В любой момент времени имеем

Из графика видно, что в моменты времени 0 с и 2 с потенциальная энергия имеет максимум, а значит, в эти моменты времени ее значение совпадает с величиной полной механической энергии. Отсюда

Источник