может ли частица обладающая энергией меньшей чем потенциальная энергия барьера

Может ли частица обладающая энергией меньшей чем потенциальная энергия барьера

Рассмотрим простейший потенциальный барьер прямоугольной формы (рис. 5.4) для одномерного (по оси х) движения частицы.

Для потенциального барьера прямоугольной формы высоты U и ширины l можно записать:

При данных условиях задачи классическая частица, обладая энергией Е, либо беспрепятственно пройдет над барьером при E > U, либо отразится от него (E U имеется также отличная от нуля вероятность, что частица окажется в области x > l, т.е. проникнет сквозь барьер. Такой вывод следует непосредственно из решения уравнения Шредингера, описывающего движение микрочастицы при данных условиях задачи.

Уравнение Шредингера для состояний каждой из выделенных областей имеет вид:

Общее решение этих дифференциальных уравнений:

В данном случае, согласно (5.4.2), – мнимое число, где

Можно показать, что A₁ = 1, B₃ = 0, тогда, учитывая значение q,получим решение уравнения Шредингера для трех областей в следующем виде:

В области 2 функция (5.4.4) уже не соответствует плоским волнам, распространяющимся в обе стороны, поскольку показатели степени не мнимые, а действительные.

Качественный анализ функций Ψ₁(x), Ψ₂(x), Ψ₃(x) показан на рис. 5.4. Из рисунка следует, что волновая функция не равна нулю и внутри барьера, а в области 3, если барьер не очень широк, будет опять иметь вид волн де Бройля с тем же импульсом, т.е. с той же частотой, но с меньшей амплитудой.

Таким образом, квантовая механика приводит к принципиально новому квантовому явлению – туннельному эффекту, в результате которого микрообъект может пройти через барьер.

Коэффициент прозрачности для барьера прямоугольной формы .

Для барьера произвольной формы .

Прохождение частицы сквозь барьер можно пояснить соотношением неопределенностей. Неопределенность импульса на отрезке Δx = l составляет Связанная с этим разбросом кинетическая энергия может оказаться достаточной для того, чтобы полная энергия оказалась больше потенциальной и частица может пройти через барьер.

С классической точки зрения прохождение частицы сквозь потенциальный барьер при E

Источник

Прохождение частицы через потенциальный барьер.

Рассматривая задачу о частице в потенциальной яме, мы считали, что на границах ямы волновая функция становится равной нулю и вероятность обнаружить частицу за пределами ямы также равна нулю. В действительности имеется определенная вероятность обнаружить электрон за пределами потенциальной ямы. Этот результат существенно отличается от выводов классической физики. Частица, подчиняющаяся законам классической физики, может выйти из потенциальной ямы только при условии, что ее полная энергия превышает «глубину» потенциальной ямы. Стенки потенциальной ямы представляют для частицы потенциальный барьер, который она не может преодолеть. Для того чтобы частица могла выйти из потенциальной ямы или проникнуть в нее, согласно классической физике, ей нужно сообщить энергию, большую высоты потенциального барьера.

Квантовая механика приводит к принципиально новому выводу о возможности прохождения частиц сквозь потенциальные барьеры.

Пусть частица, движущаяся по оси x, встречает на своем пути простейший потенциальный барьер прямоугольной формы высотой U₀ и шириной l (см.рис.1).

Систему из 4-х уравнений с 5-ю неизвестными решим, если сведем количество неизвестных к 4

.

Отношение квадратов модулей амплитуд отраженной и падающей волны

определяет вероятность отражения частицы от потенциального барьера и носит название коэффициента отражения.

Отношение квадратов модулей амплитуд прошедшей и падающей волны

определяет вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер и может быть названо коэффициентом прохождения или коэффициентом прозрачности. Он определяет отношение плотности потока прошедших частиц к плотности потока частиц падающих.

Коэффициенты связаны между собой соотношением R + D = 1.

Дальнейшие расчеты приведут нас к следующему выражению для коэффициента прозрачности

.

Из полученного выражения следует, что вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер зависит от ширины барьера и массы частицы. С увеличением массы частицы вероятность прохождения уменьшается. На вероятность прохождения также влияет превышение потенциального барьера над энергией частицы, т.е. U₀ – E.

В случае потенциального барьера произвольной формы

Туннельный эффект.

При преодолении потенциального барьера частица как бы проходит через «туннель» в этом барьере, в связи с чем это явление и получило название туннельного эффекта( рис.3).

С классической точки зрения частица, «находящаяся в туннеле», должна обладать отрицательной кинетической энергией (E

Однако туннельный эффект явление специфически квантовое, не имеющее аналога в классической физике. В квантовой механике деление энергии на кинетическую и потенциальную не имеет смысла, так как противоречит соотношению неопределенности.

Прохождение частиц сквозь потенциальный барьер нашло экспериментальное подтверждение в явлении автоэлектронной эмиссии электронов из металла. Вырывание электронов происходит при напряженностях электрического поля, в сотни раз меньших, чем те которые необходимы для того, чтобы электрон преодолел поверхностную разность потенциалов на границе металл-вакуум и покинул металл. Туннельный эффект играет основную роль в явлениях радиоактивного альфа-распада.

Туннельный эффект уже давно весьма эффективно используется в науке и технике. На нем основан принцип действия многих полупроводниковых приборов (туннельные диоды). Он используется в сверхчувствительных записывающих головках магнитных дисков, сканирующих туннельных микроскопах (1981). В настоящее время пространственная разрешающая способность таких микроскопов

20 нм. Для сравнения, современный оптический микроскоп, конструкция которого была изобретена в 1873 г., имеет разрешающую способность

Источник

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Прохождение частицы через потенциальный барьер.

Туннельный эффект

Рассмотрим движение частицы при прохождении потенциального барьера. Пусть она движется слева направо и встречает на своем пути потенциальный барьер высотой U₀ и шириной l (рис. 6.1). Согласно классической теории, если энергия частицы больше высоты барьера (E > U₀), то она беспрепятственно пройдет над барьером.

Рис. 6.1. Потенциальный барьер

При этом скорость частицы несколько снизится в области II и примет первоначальное значение в области III. Если же энергия частицы меньше высоты барьера (E U₀, существует ненулевая вероятность, что частица отразится от барьера и полетит в обратную сторону. В тоже время частица может проникнуть сквозь барьер независимо от того, превышает ли ее энергия величину потенциального барьера или нет.

Рассмотрим ситуацию, когда E iαx соответствует волне, распространяющейся в положительном направлении оси x, слагаемое же вида е – iαx соответствует волне, распространяющейся в отрицательном направлении оси x.

Сразу отметим, что коэффициент В₃ должен быть равен нулю, так как в области III есть только волна, распространяющаяся в положительном направлении оси x, то есть слева направо. Для нахождения остальных коэффициентов необходимо воспользоваться упомянутыми выше условиями, накладываемыми на волновую функцию – однозначность, непрерывность и конечность.

Чтобы функция была непрерывна, волновые функции на границах рассматриваемых областей должны иметь одинаковое значение:

и (6.3)

чтобы ψ была гладкой (без изломов), ее производные должны быть непрерывны на границах областей:

и (6.4)

Отсюда вытекают уравнения на искомые коэффициенты:

(6.5)

Решение этой системы <А₁, А₂, А₃, В₁ и В₂> позволяет найти две важные величины: вероятность отражения частицы от потенциального барьера: , называемую коэффициентом отражения, а также вероятность прохождения частицы через барьер: , называемую коэффициентом прохождения (или коэффициентом прозрачности). Коэффициенты R и D связаны соотношением: (6.6)

Можно показать, что , где .

Поскольку выражение имеет величину порядка единицы, то коэффициент прозрачности можно считать равным:

(6.7)

Для потенциального барьера произвольной формы (рис. 6.3) формула 6.7 заменяется выражением:

(6.8)

При преодолении барьера частица как бы проходит через «туннель» в барьере (заштрихованная область на рис. 6.3). В связи с этим явление прохождения квантовых частиц сквозь непреодолимые с классической точки зрения препятствия названо туннельным эффектом.

Рис. 6.3. Туннель в потенциальном барьере произвольной формы

Классическая физика не может допустить существования туннельного эффекта. Например, пусть тело без трения скользит и встречает на своем пути горку высотой h (чем выше горка, тем больше потенциальный барьер). Если тело имеет заданную кинетическую энергию, и эта энергия меньше, чем по закону сохранения требуется для преодоления горки, то есть mV 2 /2 ˂ mgh. В этом случае тело поднимется до той высоты, где вся его кинетическая энергия перейдет в потенциальную, остановится, а затем начнет движение в обратном направлении.

Для частиц, имеющих квантовые свойства, туннельный эффект наблюдается очень часто. Например, α-частица, покидающая ядро при α-распаде полония 210 Po, преодолевает потенциальный барьер U = 23 МэВ, величина которого существенно превосходит энергию самой α-частицы E_α = 5.3 МэВ. То есть, не будь возможен в этом случае туннельный эффект, α-излучения бы не существовало. Также не было бы возможным простое протекание тока через окисленный контакт (например, через вилку, вставляемую в розетку), так как тонкий не заметный для глаза слой окисла на поверхности металла создает потенциальный барьер. Большинство электронов имеют энергию гораздо меньше величины этого барьера, что является существенным затруднением для их движения.

Источник

Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер.

Способность квантовых частиц в силу своих волновых свойств заходить за барьер приводит к так называемому туннельному эффекту. Он заключается в следующем. Если частица с энергией Е налетает на некоторый потенциальный барьер , то она с определенной вероятностью может пройти сквозь барьер как бы по туннелю, т.е. пройти пространство, где E l, обл. 3).

При данных условиях задачи классическая частица, обладая энергией Е, либо беспрепятственно пройдет над барьером при E > U, либо отразится от него

(E l, т.е. проникнет сквозь барьер. Такой вывод следует непосредственно из решения уравнения Шредингера, описывающего движение микрочастицы при данных условиях задачи.

Решением уравнения Шредингера для каждой из выделенных областей являются волновые функции , показанные на рис. 6.3.(нижняя часть рисунка). Из рисунка следует, что волновая функция не равна нулю и внутри барьера, а вобласти3, если барьер не очень широк, опять имеет вид волнде Бройля с тем же импульсом, т.е. с той же частотой, но с меньшей амплитудой.

Таким образом, квантовая механика приводит к принципиально новому квантовому явлению – туннельному эффекту, в результатекоторого микрообъект может пройти через барьер.

Коэффициент прозрачности, т.е. вероятность прохождения частицы сквозь барьер прямоугольной формы, определяется выражением

, (6.19а)

где m –масса частицы; E – ее энергия; l – ширина барьера; U – ее высота.

Коэффициент прозрачности барьера произвольной формы (рис. 6.4) имеет вид:

. (6.19б)

Прохождение частицы сквозь барьер можно пояснить соотношением неопределенностей. Неопределенность импульса на отрезкеΔx = l составляет Δp > .Связанная с этим разбросом кинетическая энергия может оказаться достаточной для того, чтобы полная энергия оказалась больше потенциальной и частица может пройти сквозь барьер.

Источник

Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер. Туннельный эффект

Рассмотрим потенциальный барьер про­стейшей прямоугольной формы (рис. 298, а) для одномерного (по оси х)движения частицы. Для потенциального барьера прямоугольной формы высоты

U и ширины l можем записать

При данных условиях задачи классиче­ская частица, обладая энергией Е, либо беспрепятственно пройдет над барьером (при E>U), либо отразится от него (при Е U имеется отличная от нуля вероят­ность, что частица отразится от барьера и будет двигаться в обратную сторону. При E l, т.е. проникает сквозь барьер. Подобные, казалось бы, парадок­сальные выводы следуют непосредственно из решения уравнения Шредингера, опи­сывающего движение микрочастицы при условиях данной задачи.

Уравнение Шредингера (217.5) для стационарных состояний для каждой из выделенных на рис. 298, а области имеет вид

(для области 2q 2 =2m (E-U>/h 2 ).

Общие решения этих дифференциальных уравнений:

В частности, для области 1 полная волновая функция, согласно (217.4), бу-

В этом выражении первый член представ­ляет собой плоскую волну типа (219.3), распространяющуюся в положительном направлении оси х (соответствует части­це, движущейся в сторону барьера), а вто­рой — волну, распространяющуюся в про­тивоположном направлении, т. е. отражен­ную от барьера (соответствует частице, движущейся от барьера налево).

Решение (221.3) содержит также во­лны (после умножения на временной мно­житель), распространяющиеся в обе сто­роны. Однако в области 3 имеется только волна, прошедшая сквозь барьер и рас­пространяющаяся слева направо. Поэтому коэффициент В₃ в формуле (221.3) следу­ет принять равным нулю.

В области 2 решение зависит от со­отношений E>U или E

Учитывая значение q и В₃=0, получим решения уравнения Шредингера для трех областей в следующем виде:

В области 2 функция (221.5) уже не соответствует плоским волнам, распро­страняющимся в обе стороны, поскольку показатели степени экспонент не мнимые, а действительные. Можно показать, что

для частного случая высокого и широкого барьера, когда bl>>1, В₂»0.

Качественный вид функций y₁(x), y₂(х) и y₃(x) показан на рис. 298, б. Из рисунка следует, что волновая функция не равна нулю и внутри барьера, а в области 3, если барьер не очень широк, будет опять иметь вид волн де Бройля с тем же им­пульсом, т. е. с той же частотой, но с мень­шей амплитудой. Следовательно, получи­ли, что частица имеет отличную от нуля вероятность прохождения сквозь потенци­альный барьер конечной ширины.

Таким образом, квантовая механика приводит к принципиально новому специ­фическому квантовому явлению, получив­шему название туннельного эффекта,в ре­зультате которого микрообъект может «пройти» сквозь потенциальный барьер.

Для описания туннельного эффекта используют понятие коэффициента про­зрачностиD потенциального барьера, оп­ределяемого как отношение плотности по­тока прошедших частиц к плотности по­тока падающих. Можно показать, что

Для того чтобы найти отношение |А₃/А₁| 2 , необходимо воспользоваться условиями непрерывности y и y’ на границах барьера х=0и х=l (рис. 298):

Эти четыре условия дают возможность выразить коэффициенты А₂, а₃, В₁и В₂ через А₁. Совместное решение уравнений (221.6) для прямоугольного потенциаль­ного барьера дает (в предположении, что коэффициент прозрачности мал по сравне­нию с единицей)

где U — высота потенциального барьера, Е — энергия частицы, l — ширина барь­ера, Do — постоянный множитель, кото­рый можно приравнять единице. Из выражения (221.7) следует, что D сильно зависит от массы m частицы, шири­ны l барьера и от (U-E); чем шире барь­ер, тем меньше вероятность прохождения сквозь него частицы.

Для потенциального барьера произ­вольной формы (рис.299), удовлетворяю­щей условиям так называемого квазиклас­сического приближения (достаточно глад­кая форма кривой), имеем

С классической точки зрения прохож­дение частицы сквозь потенциальный барьер при E h/l. Связанная с этим разбросом в значениях импульса кинетическая энер­гия (Dp) 2 /(2m) может оказаться достаточ­ной для того, чтобы полная энергия части­цы оказалась больше потенциальной.

Основы теории туннельных переходов заложены работами Л. И. Мандельштама и М. А. Леонтовича (1903—1981). Тун­нельное прохождение сквозь потенциаль­ный барьер лежит в основе многих явле­ний физики твердого тела (например, яв­ления в контактном слое на границе двух

полупроводников), атомной и ядерной фи­зики (например, a-распад, протекание термоядерных реакций).

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник