Можно ли число 1 10 представить в виде произведения десяти положительных правильных дробей
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конечная десятичная дробь. Дробную часть от целой отделяйте десятичной запятой. Единицы измерений писать не нужно.
Если вариант задан учителем, вы можете вписать ответы на задания части С или загрузить их в систему в одном из графических форматов. Учитель увидит результаты выполнения заданий части В и сможет оценить загруженные ответы к части С. Выставленные учителем баллы отобразятся в вашей статистике.
Задание. Можно ли число 
представить в виде произведения десяти положительных правильных дробей? (То есть выражений вида 
где p и — натуральные числа и 
)
Задание. Внутри выпуклого четырехугольника 
нашлась такая точка C, что треугольники 
и 
правильные. Точки 
и 
симметричны точке C относительно прямых 
и 
соответственно. Докажите, что треугольники 
и 
подобны.
Волжский класс
Боковая колонка
Рубрики
Видео
Книжная полка
Малина для Админа
Боковая колонка
Опросы
Календарь
| Пн | Вт | Ср | Чт | Пт | Сб | Вс |
|---|---|---|---|---|---|---|
| « Окт | ||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
| 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |
| 29 | 30 | |||||
6 класс. Математика. Никольский. Учебник. Ответы к стр. 92
Рациональные числа
Рациональные числа
Ответы к стр. 92
451. Какое число называют рациональным? Назовите несколько рациональных чисел.
452. Является ли натуральное число рациональным?
Является — любое натуральное число α можно представить в виде α /1.
453. Является ли целое число рациональным?
Является — любое целое число α можно представить в виде α /1.
454. Является ли положительная дробь рациональным числом?
Является, как и отрицательная дробь.
455. Сформулируйте основное свойство дроби. Приведите пример использования основного свойства дроби для приведения дроби к новому знаменателю.
Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и тоже целое, не равное нулю число, то получится равная ей дробь: p /q = p • n /q•n. Например: 1 /3 = 1•4 /3•4 = 4 /12.
456. В каком случае дробь можно сократить? На основании какого свойства сокращают дроби? Приведите примеры.
Если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель n — целое, не равное нулю, число, то дробь можно сократить на n. Дробь сокращают на основании основного свойства дроби.
8 /10 = 4•2 /5•2 = 4 /5
457. В каком случае дробь положительна? отрицательна? Приведите примеры.
Дробь p /q отрицательна, если числа p и q разных знаков.
Дробь p /q положительна, если числа p и q одного знака.
-1 /3, 1 /-4 − отрицательные дроби.
-2 /-3, 10 /11 − положительные дроби.
458. Любую ли дробь можно привести к положительному знаменателю?
Пользуясь основным свойством дроби, можно любую дробь привести к положительному знаменателю.
35 /36 — дробь сократить нельзя;
Десятичные дроби
Понятие десятичной дроби
Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.
Дробь — это запись числа в математика, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которое можно представить число. Есть два формата записи:
В обыкновенной дроби над чертой принято писать делимое, которое становится числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.
В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. По сути, десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Десятичную дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:
Конечная десятичная дробь — это дробь, в которой количество цифр после запятой точно определено.
Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой.
Свойства десятичных дробей
Главное свойство десятичной дроби звучит так: если к десятичной дроби справа приписать один или несколько нулей — ее величина не изменится. Это значит, что если в вашей дроби куча нулей — их можно просто отбросить. Например:
Обыкновенная и десятичная дробь — давние друзья. Вот, как они связаны:
Как записать десятичную дробь
Давайте разберем на примерах, как записывается десятичная дробь. Небольшая напоминалка: сначала пишем целую часть, ставим запятую и после записываем числитель дробной части.
Пример 1. Перевести обыкновенную дробь 16/10 в десятичную.
Пример 2. Перевести 37/1000 в десятичную дробь.
Ответ: 37/1000 = 0,037.
Как читать десятичную дробь
Чтобы учитель вас правильно понял, важно читать десятичные дроби грамотно. Сначала произносим целую часть с добавлением слова «целых», а потом дробную с обозначением разряда — он зависит от количества цифр после запятой:
| Сколько цифр после запятой? | Читается, как |
|---|---|
| одна цифра — десятых; | 1,3 — одна целая, три десятых; |
| две цифры — сотых | 2,22 — две целых, двадцать две сотых; |
| три цифры — тысячных; | 23,885 — двадцать три целых, восемьсот восемьдесят пять тысячных; |
| четыре цифры — десятитысячных; | 0,5712 — ноль целых пять тысяч семьсот двенадцать десятитысячных; |
| и т.д. |
Сохраняй наглядную картинку, чтобы быстрее запомнить.
Преобразование десятичных дробей
Чтобы ни одна задача не смутила вас своей формулировкой, важно знать, как преобразовывать десятичные дроби в другие виды. Сейчас научимся!
Как перевести десятичную дробь в проценты
Уже в пятом классе задачки по математике намекают, что дроби как-то связаны с процентами. И это правда: процент — это одна сотая часть от любого числа, обозначают его значком %.
Чтобы узнать, как перевести проценты в дробь, нужно убрать знак % и разделить наше число на 100, как в примере выше.
А чтобы перевести десятичную дробь в проценты — умножаем дробь на 100 и добавляем знак %. Давайте на примере:
Выразить дробь в процентах просто: сначала превратим её в десятичную дробь, а потом применим предыдущее правило.
2/5 = 0,4
0,4 · 100% = 40%
8/25 = 0,32
0,32 · 100% = 32%
Чтобы разрезать торт на равные кусочки и не обижать гостей, нужно всего-то запомнить соотношения частей и целого. Наглядная табличка — наш друг-помощник:
Преобразование десятичных дробей
Десятичная дробь — это число с остатком, где остаток стоит после целой части и разделяется запятой.
Смешанная дробь — это тоже число с остатком, но остаток записывают в виде простой дроби (с черточкой).
Чтобы переводить десятичные дроби в смешанные, не нужно запоминать особые алгоритмы. Достаточно понимать определения и правильно читать заданную дробь — этим школьники и занимаются в 5 классе. А теперь давайте потренируемся!
Пример 1. Перевести 5,4 в смешанное число.
Пример 2. Перевести 4,005 в смешанное число.
Ответ: 4,005 = 4 1/200.
Пример 3. Перевести 5,60 в смешанное число.
Как перевести десятичную дробь в обыкновенную
Не будем придумывать велосипед и рассмотрим самый простой способ превращения десятичной дроби в обыкновенную. Вот, как это сделать:
Не забывайте про минус в ответе, если пример был про отрицательное число. Очень обидная ошибка!
Действия с десятичными дробями
С десятичными дробями можно производить те же действия, что и с любыми другими числами. Рассмотрим самые распространенные на простых примерах.
Как разделить десятичную дробь на натуральное число
Пример 2. Разделить 183,06 на 45.
Ответ: 183,06 : 45 = 4,068.
Как разделить десятичную дробь на обыкновенную
Чтобы разделить десятичную дробь на обыкновенную или смешанную, нужно представить десятичную дробь в виде обыкновенной, а смешанное число записать, как неправильную дробь.
Пример 1. Разделить 0,25 на 3/4.
Пример 2. Разделить 2,55 на 1 1/3.
Ответ: 2,55 : 1 1/3 = 1 73/80.
Как умножить десятичную дробь на обыкновенную
Чтобы умножить десятичную дробь на обыкновенную или смешанную, используют два правила за 6 класс. При первом приводим десятичную дробь к виду обыкновенной и потом умножаем на нужное число. Во втором случае приводим обыкновенную или смешанную дробь в десятичную и потом умножаем.
Пример 1. Умножить 2/5 на 0,8.
Пример 2. Умножить 0,28 на 6 1/4.
Ответ: 0,28 ∗ 6 1/4 = 0,8.
Можно ли число 1 10 представить в виде произведения десяти положительных правильных дробей
Будем называть дробь «простой», если её числитель равен 1, а знаменатель — натуральное число.
а) Запишите число 1 в виде суммы трёх различных простых дробей.
б) Можно ли записать число 1 в виде суммы двух различных простых дробей?
в) Какие действительные числа, меньшие 1, можно записать в виде суммы некоторого числа различных простых дробей?
а) Требуемое представление: 
б) Пусть 
причем 
Тогда 
противоречие. Если же 
то 
и подобрать нужное y все равно нельзя.
в) Очевидно, любая конечная сумма таких дробей рациональна. Докажем, что любое рациональное число можно записать в таком виде. Будем выбирать наибольшую дробь вида 
не большую имеющегося в данный момент числа. Тогда 
то есть 
Тогда 
то есть с каждым вычитанием соответствующей дроби числитель оставшейся дроби уменьшается. Рано или поздно он станет равен 0, в этот момент сумма всех вычтенных чисел будет равна исходному числу.
Ответ: a) 
б) нет в) любое положительное рациональное число, меньшее 1.
Можно ли число 1 10 представить в виде произведения десяти положительных правильных дробей
Ранее мы убедились в том, что, кроме рациональных чисел, существуют числа другой природы — к ним часто приводит операция извлечения квадратного корня (и не только она, просто мы с вами этого пока не знаем). Значит, нам нужно более обстоятельно познакомиться с новыми числами. Но сначала попробуем систематизировать наши знания о «старых», т. е. о рациональных, числах.
1. Некоторые символы математического языка
Вам хорошо известны натуральные числа:
1,2, 3, 4.
Множество всех натуральных чисел обычно обозначают буквой N.
Используя введенные обозначения N, Z, Q, условимся о следующем:
1. Вместо фразы «n — натуральное число» можно писать n ∈ N (читается: «элемент n принадлежит множеству N»). Математический символ ∈ называют знаком принадлежности.
2. Вместо фразы «m — целое число» можно писать m ∈ Z,
3. Вместо фразы «r — рациональное число» можно писать r ∈ Q.
Понятно, что N — часть множества Z, а Z — часть множества Q. Для описания этой ситуации в математике также имеется специальное обозначение:
Математический символ ⊂ называют знаком включения (одного множества в другое).
Вообще, в математике запись х ∈ X означает, что х — один из элементов множества X. Запись А ⊂ В означает, что множество А представляет собой часть множества В. Математики чаще говорят так: А — подмножество множества В.
Обратите внимание: множества в математике обычно обозначают прописными буквами, а элементы множества — строчными буквами.
И еще на один момент обратите внимание: знаки принадлежности (элемент принадлежит множеству) и включения (одно множество содержится в другом) — различные, соответственно ∈ и ⊂.
Приведем несколько примеров использования введенных математических символов для сокращения записи верных математических утверждений — их называют также истинными высказываниями.
2. Рациональные числа как бесконечные десятичные периодические дроби
К рациональным числам, как мы уже не раз подчеркивали, относятся все те числа, с которыми вы успешно оперировали до тех пор, пока не встретились с квадратными корнями. Это были целые числа, обыкновенные дроби, десятичные дроби. Для всех этих чисел можно использовать один и тот же способ записи, который мы сейчас и обсудим.
Рассмотрим, например, целое число 5, обыкновенную дробь и десятичную дробь 8,377. Целое число 5 можно записать в виде бесконечной десятичной дроби: 5,0000. Десятичную дробь 8,377 также можно записать в виде бесконечной десятичной дроби: 8,377000... Для числа воспользуемся методом
«деления углом»:
Между прочим, и число 5 можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Для этого надо в периоде записать число 0:
Так же обстоит дело и с числом 8,377:
Чтобы все было аккуратно, говорят так: 8,377 — конечная десятичная дробь, а 8,377000. — бесконечная десятичная дробь.
Вообще, любое рациональное число можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби.
Замечание. Этот вывод удобен для теории, но не очень удобен для практики. Ведь если дана конечная десятичная дробь 8,377, то зачем нужна ее запись в виде 8,377(0)? Поэтому обычно говорят так:
любое рациональное число можно записать в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби.
Выше мы показали, как обыкновенную дробь представляют в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Верно и обратное: любую бесконечную десятичную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби. Это значит, что любая бесконечная десятичная периодическая дробь есть рациональное число.
Покажем на примере, как бесконечную десятичную периодическую дробь превращают в обыкновенную дробь.
Пример. Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь: а) 1,(23); б) 1,5(23).
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
которые не являются рациональными?
Прежде всего заметим, что в математике не принято говорить «нерациональное число», обычно используют термин иррациональное число. Термины «рациональное число», «иррациональное число» происходят от латинского слова ratio — «разум» (буквальный перевод: «рациональное число — разумное число», «иррациональное число — неразумное число»; впрочем, так говорят и в реальной жизни: «он поступил рационально» — это значит, что он поступил разумно; «так действовать нерационально» — это значит, что так действовать неразумно).
В ранее мы отмечали, что оно заключено между числами 2 и 3; если точнее, то между числами 2,2 и 2,3; если еще точнее, — то между числами 2,23 и 2,24. Можно продолжить уточнения оценок числа и определить границы для третьего десятичного знака после запятой. Имеем 2,236 2 = 4,999696, что меньше 5; 2,237 2 = = 5,004167, что больше 5. Итак, 2,236 МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Если множество рациональных чисел дополнить множеством иррациональных чисел, то вместе они составят множество действительных чисел. Множество действительных чисел обычно обозначают буквой R; используют также символическую запись (-∞, +∞) или (-∞, ∞).
Множество действительных чисел можно описать так: это множество конечных и бесконечных десятичных дробей, конечные десятичные дроби и бесконечные десятичные периодические дроби — рациональные числа, а бесконечные десятичные непериодические дроби — иррациональные числа.
Каждое действительное число можно изобразить точкой на координатной прямой. Верно и обратное: каждая точка координатной прямой имеет действительную координату. Математики обычно говорят так: между множеством R действительных чисел и множеством точек координатной прямой установлено взаимно однозначное соответствие. Координатная прямая есть геометрическая модель множества действительных чисел; по этой причине для координатной прямой часто используют термин числовая прямая.
Вдумайтесь в этот термин: не кажется ли он вам противоестественным? Ведь число — объект алгебры, а прямая объект геометрии. Нет ли тут «смешения жанров»? Нет, все логично, все продумано. Этот термин в очередной раз подчеркивает единство различных областей математики, дает возможность отождествления понятий «действительное число» и «точка на координатной (числовой) прямой».
Обратите внимание: координатной прямой вы пользовались начиная с 5-го класса. Но, оказывается, в ваших знаниях был вполне оправданный пробел: не для любой точки координатной прямой вы сумели бы найти координату — просто учитель оберегал вас от такой неприятности.
Рассмотрим пример. Дана координатная прямая, на ее единичном отрезке построен квадрат (рис. 100), диагональ квадрата ОВ отложена на координатной прямой от точки О вправо, получилась точка D. Чему равна координата точки D? Она равна длине диагонали
Заметим, что был еще один оправданный пробел в ваших знаниях по алгебре. Рассматривая выражения с переменными, мы всегда подразумевали, что переменные могут принимать любые допустимые значения, но только рациональные, ведь других-то не было. На самом деле переменные могут принимать любые допустимые действительные значения. Например, в тождестве
в роли а и b могут выступать любые числа, не обязательно рациональные. Для действительных чисел а, b, с выполняются привычные законы:
Выполняются и привычные правила:
произведение (частное) двух положительных чисел положительное число;
произведение (частное) двух отрицательных чисел положительное число;
произведение (частное) положительного и отрицательного числа — отрицательное число.
Действительные числа можно сравнивать друг с другом, используя следующее определение.
Определение. Говорят, что действительное число а больше (меньше) действительного числа Ъ, если их разность а — Ъ положительное (отрицательное) число. Пишут а > b (а
