Можно ли число 2020 представить в виде суммы 99 натуральных чисел с одинаковыми суммами цифр
а) Можно ли число 2014 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
б) Можно ли число 199 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы пяти различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.
а) Например числа 2006 и 8 имеют одинаковую сумму цифр и в сумме дают 2014.
б) Предположим, что число 199 можно представить в виде суммы двух натуральных чисел с одинаковой суммой цифр. Пусть одно из этих чисел состоит из a сотен, b десятков и c единиц. Тогда другое число состоит из 1 − a сотен, 9 − b десятков и 9 − c единиц. Суммы цифр этих чисел равны a + b + c и 19 − a − b − c соответственно. Они имеют разную чётность и не могут быть одинаковыми.
в) Наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы пяти различных натуральных чисел с одинаковой фиксированной суммой цифр, равно сумме пяти наименьших чисел с этой суммой цифр.
Для сумм 1, 2, 3 и 4 имеем соответственно:
Если сумма цифр равна 5 или больше, обозначим её через a. Тогда наименьшее из таких чисел − как минимум a. Числа с одинаковой суммой цифр дают одинаковые остатки при делении на 9, поэтому идут минимум через 9. Значит, их сумма не меньше чем
Можно ли число 2020 представить в виде суммы 99 натуральных чисел с одинаковыми суммами цифр
а) Можно ли число 2016 представить в виде суммы семи последовательных натуральных чисел?
б) Можно ли число 2016 представить в виде суммы шести последовательных натуральных чисел?
в) Представьте число 2016 в виде суммы наибольшего количества последовательных чётных натуральных чисел.
а) Да, 
б) Нет. Среди шести подряд идущих натуральных чисел всегда ровно три нечетных, поэтому сумма окажется нечетной.
в) Пусть это числа от 2k до 
(тем самым их n штук).
Получаем 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — обоснованное решение п. б; — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); Можно ли число 2020 представить в виде суммы 99 натуральных чисел с одинаковыми суммами цифра) Можно ли число 2016 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр? б) Можно ли число 197 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр? в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы четырех различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр. а) Да, можно. Это верно, например, для чисел 2007 и 9, их сумма равна 2016, а сумма цифр в каждом числе равна 9. б) Да, можно. Это верно, например, для чисел 139 и 58, их сумма равна 197, а сумма цифр в каждом числе равна 13. Другие примеры: 139+58 или 148 + 49. в) Наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы четырёх различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр, равно сумме четырёх наименьших чисел с этой суммой цифр. Для сумм 1, 2, 3 и 4 имеем соответственно:
Если сумма цифр равна 5 или больше, обозначим её через a. Тогда наименьшее из таких чисел − как минимум a. Числа с одинаковой суммой цифр дают одинаковые остатки при делении на 9, поэтому идут минимум через 9. Значит, их сумма не меньше чем Можно ли число 2020 представить в виде суммы 99 натуральных чисел с одинаковыми суммами цифра) Можно ли число 2016 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр? б) Можно ли число 197 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр? в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы четырех различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр. а) Да, можно. Это верно, например, для чисел 2007 и 9, их сумма равна 2016, а сумма цифр в каждом числе равна 9. б) Да, можно. Это верно, например, для чисел 139 и 58, их сумма равна 197, а сумма цифр в каждом числе равна 13. Другие примеры: 139+58 или 148 + 49. в) Наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы четырёх различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр, равно сумме четырёх наименьших чисел с этой суммой цифр. Для сумм 1, 2, 3 и 4 имеем соответственно:
Если сумма цифр равна 5 или больше, обозначим её через a. Тогда наименьшее из таких чисел − как минимум a. Числа с одинаковой суммой цифр дают одинаковые остатки при делении на 9, поэтому идут минимум через 9. Значит, их сумма не меньше чем Можно ли число 2020 представить в виде суммы 99 натуральных чисел с одинаковыми суммами цифра) Можно ли число 2014 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр? б) Можно ли число 199 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр? в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы пяти различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр. а) Да, можно это верно, например, для чисел 2006 и 8, их сумма равна 2014, а сумма цифр в каждом числе равна 8. б) Попробуем представить число 199 в виде суммы двух чисел, начиная с суммы 198 + 1. Видим, что суммы цифр данных чисел не равны. Теперь будем отнимать от первого числа по единице и прибавлять единицу ко второму, чтобы сумма сохранялась. Увидим, что как бы мы ни разбивали 199 на два целых числа сумма цифр этих чисел всегда будет равняться 19. Пусть в одном из чисел суммы сумма цифр равна m, тогда сумма цифр втрого числа 19 − m. Они равны, если m = 19 − m, откуда получаем, что m = 9,5. Но m целое, следовательно, получили противоречие. Таким образом, 199 нельзя представить в виде суммы двух чисел с одинаковой суммой цифр. в) Необходимо суммировать как можно меньшие числа, тогда и получим наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы пяти натуральных чисел с одинаковой суммой цифр. Примем во внимание, что наименьшая сумма цифр, при которой можно получить 5 различных чисел с одинаковой суммой цифр, равна 4. получим числа 4, 13, 22, 31, 40, их сумма будет наименьшей, и будет равна 110.  Привет, друзья! Сегодня я хочу рассказать вам о волшебных  Привет, друзья! Сегодня я хочу рассказать вам о важных  Привет, друзья! Сегодня я хочу рассказать вам о чем-то  Привет, дорогие дети! Сегодня я хочу рассказать вам |
