можно ли число 2020 представить в виде суммы 99 натуральных чисел с одинаковыми суммами цифр

— обоснованное решение п. б;

— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);

Источник

Можно ли число 2020 представить в виде суммы 99 натуральных чисел с одинаковыми суммами цифр

а) Можно ли число 2016 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

б) Можно ли число 197 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы четырех различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.

а) Да, можно. Это верно, например, для чисел 2007 и 9, их сумма равна 2016, а сумма цифр в каждом числе равна 9.

б) Да, можно. Это верно, например, для чисел 139 и 58, их сумма равна 197, а сумма цифр в каждом числе равна 13. Другие примеры: 139+58 или 148 + 49.

в) Наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы четырёх различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр, равно сумме четырёх наименьших чисел с этой суммой цифр.

Для сумм 1, 2, 3 и 4 имеем соответственно:

Если сумма цифр равна 5 или больше, обозначим её через a. Тогда наименьшее из таких чисел − как минимум a. Числа с одинаковой суммой цифр дают одинаковые остатки при делении на 9, поэтому идут минимум через 9. Значит, их сумма не меньше чем

Источник

Можно ли число 2020 представить в виде суммы 99 натуральных чисел с одинаковыми суммами цифр

а) Можно ли число 2016 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

б) Можно ли число 197 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы четырех различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.

а) Да, можно. Это верно, например, для чисел 2007 и 9, их сумма равна 2016, а сумма цифр в каждом числе равна 9.

б) Да, можно. Это верно, например, для чисел 139 и 58, их сумма равна 197, а сумма цифр в каждом числе равна 13. Другие примеры: 139+58 или 148 + 49.

в) Наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы четырёх различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр, равно сумме четырёх наименьших чисел с этой суммой цифр.

Для сумм 1, 2, 3 и 4 имеем соответственно:

Если сумма цифр равна 5 или больше, обозначим её через a. Тогда наименьшее из таких чисел − как минимум a. Числа с одинаковой суммой цифр дают одинаковые остатки при делении на 9, поэтому идут минимум через 9. Значит, их сумма не меньше чем

Источник

Можно ли число 2020 представить в виде суммы 99 натуральных чисел с одинаковыми суммами цифр

а) Можно ли число 2014 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

б) Можно ли число 199 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы пяти различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.

а) Да, можно это верно, например, для чисел 2006 и 8, их сумма равна 2014, а сумма цифр в каждом числе равна 8.

б) Попробуем представить число 199 в виде суммы двух чисел, начиная с суммы 198 + 1. Видим, что суммы цифр данных чисел не равны. Теперь будем отнимать от первого числа по единице и прибавлять единицу ко второму, чтобы сумма сохранялась. Увидим, что как бы мы ни разбивали 199 на два целых числа сумма цифр этих чисел всегда будет равняться 19. Пусть в одном из чисел суммы сумма цифр равна m, тогда сумма цифр втрого числа 19 − m. Они равны, если m = 19 − m, откуда получаем, что m = 9,5. Но m целое, следовательно, получили противоречие. Таким образом, 199 нельзя представить в виде суммы двух чисел с одинаковой суммой цифр.

в) Необходимо суммировать как можно меньшие числа, тогда и получим наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы пяти натуральных чисел с одинаковой суммой цифр. Примем во внимание, что наименьшая сумма цифр, при которой можно получить 5 различных чисел с одинаковой суммой цифр, равна 4. получим числа 4, 13, 22, 31, 40, их сумма будет наименьшей, и будет равна 110.

Источник

• ← когда можно подкапывать молодой картофель на еду
• куда можно поступить после окончания художественной школы и 9 класса →