Сокращение дробей. Что значит сократить дробь?
Сокращение дробей нужно для того, чтобы привести дробь к более простому виду, например, в ответе полученном в результате решения выражения.
Сокращение дробей, определение и формула.
Что такое сокращение дробей? Что значит сократить дробь?
Определение:
Сокращение дробей – это разделение у дроби числитель и знаменатель на одно и то же положительное число не равное нулю и единице. В итоге сокращения получается дробь с меньшим числителем и знаменателем, равная предыдущей дроби согласно основному свойству рациональных чисел.
Формула сокращения дробей основного свойства рациональных чисел.
Рассмотрим пример:
Сократите дробь \(\frac<9><15>\)
Решение:
Мы можем разложить дробь на простые множители и сократить общие множители.
Ответ: после сокращения получили дробь \(\frac<3><5>\). По основному свойству рациональных чисел первоначальная и получившееся дробь равны.
Как сокращать дроби? Сокращение дроби до несократимого вида.
Чтобы нам получить в результате несократимую дробь, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя дроби.
Есть несколько способов найти НОД мы воспользуемся в примере разложением чисел на простые множители.
Получите несократимую дробь \(\frac<48><136>\).
Решение:
Найдем НОД(48, 136). Распишем числа 48 и 136 на простые множители.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
НОД(48, 136)= 2⋅2⋅2=6
Правило сокращения дроби до несократимого вида.
Пример:
Сократите дробь \(\frac<152><168>\).
Решение:
Найдем НОД(152, 168). Распишем числа 152 и 168 на простые множители.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
НОД(152, 168)= 2⋅2⋅2=6
Ответ: \(\frac<19><21>\) несократимая дробь.
Сокращение неправильной дроби.
Как сократить неправильную дробь?
Правила сокращения дробей для правильных и неправильных дробей одинаковы.
Рассмотрим пример:
Сократите неправильную дробь \(\frac<44><32>\).
Решение:
Распишем на простые множители числитель и знаменатель. А потом общие множители сократим.
Сокращение смешанных дробей.
Смешанные дроби по тем же правилам что и обыкновенные дроби. Разница лишь в том, что мы можем целую часть не трогать, а дробную часть сократить или смешанную дробь перевести в неправильную дробь, сократить и перевести обратно в правильную дробь.
Рассмотрим пример:
Сократите смешанную дробь \(2\frac<30><45>\).
Решение:
Решим двумя способами:
Первый способ:
Распишем дробную часть на простые множители, а целую часть не будем трогать.
Второй способ:
Переведем сначала в неправильную дробь, а потом распишем на простые множители и сократим. Полученную неправильную дробь переведем в правильную.
Вопросы по теме:
Можно ли сокращать дроби при сложении или вычитании?
Ответ: нет, нужно сначала сложить или вычесть дроби по правилам, а только потом сокращать. Рассмотрим пример:
Решение:
Часто допускают ошибку сокращая одинаковые числа в числителе и знаменателе в нашем случаем число 20, но их сокращать нельзя пока не выполните сложение и вычитание.
На какие числа можно сокращать дробь?
Ответ: можно сокращать дробь на наибольший общий делитель или обычный делитель числителя и знаменателя. Например, дробь \(\frac<100><150>\).
Распишем на простые множители числа 100 и 150.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Наибольшим общим делителем будет число НОД(100, 150)= 2⋅5⋅5=50
Получили несократимую дробь \(\frac<2><3>\).
Но необязательно всегда делить на НОД не всегда нужна несократимая дробь, можно сократить дробь на простой делитель числителя и знаменателя. Например, у числа 100 и 150 общий делитель 2. Сократим дробь \(\frac<100><150>\) на 2.
Получили сократимую дробь \(\frac<50><75>\).
Какие дроби можно сокращать?
Ответ: сокращать можно дроби у которых числитель и знаменатель имеют общий делитель. Например, дробь \(\frac<4><8>\). У числа 4 и 8 есть число, на которое они оба делятся это число 2. Поэтому такую дробь можно сократить на число 2.
Пример:
Сравните две дроби \(\frac<2><3>\) и \(\frac<8><12>\).
Эти две дроби равны. Рассмотрим подробно дробь \(\frac<8><12>\):
Две дроби равны тогда и только тогда, когда одна из них получена путем сокращения другой дроби на общий множитель числителя и знаменателя.
Пример:
Сократите если возможно следующие дроби: а) \(\frac<90><65>\) б) \(\frac<27><63>\) в) \(\frac<17><100>\) г) \(\frac<100><250>\)
Сокращение дроби.
Мы уже познакомились с основным свойством дроби (см. статью здесь). И знаем, как получить дробь, равную данной. Но сегодня мы поговорим о ДЕЛЕНИИ дроби на одно и то же число.
Деление числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число называется СОКРАЩЕНИЕМ ДРОБИ. Но при этом – дроби остаются РАВНЫМИ.
Как сокращать дроби? Будем разбираться.
Итак, сокращение дроби – это действие перехода к новой дроби, равной заданной, но с меньшими числителем и знаменателем. Сокращение дроби выполняют для того, чтобы ее упростить.
Чтобы сократить дробь, нужно разделить числитель и знаменатель дроби на одно и то же натуральное число, которое будет называться общим делителем.
Например, дана дробь 2/6.
На какие числа можно разделить 2? 2 делится на 1, 2. На какие числа можно разделить 6? 6 делится на 1, 2, 3, 6.
Но, мы знаем, что если дробь разделить на 1, то будет та же самая дробь. Поэтому на 1 не сокращают!
Теперь посмотрим на делители чисел 2 и 6. Сравним их:
Найдем одинаковые делители – это только число 2. Значит, мы можем разделить числитель и знаменатель нашей дроби только на 2.
Дробь 1/3 сократить нельзя.
Посмотрим на дробь 16/44. 16 делится на 2, 4, 8, 16. 44 делится на 2, 4, 11, 44. Одинаковые делители – 2, 4.
Разделим дробь на 2 — 16:2/44:2 = 8/22. Эту дробь можно еще сократить на 2. 8/22 = 8:2/22:2 = 4/11. Это очень долго, поэтому будем сокращать сразу на 4.
Дробь 4/11 сократить нельзя.
Рассмотрим дробь с большими числами: 210/315.
210 делится на 2, 3, 5, 7, 10, 30, 70, 105, 210.
315 делится на 3, 5, 7, 9, 15, 21, 63, 105, 315.
Общие делители: 3, 5, 7, 105. Будем сокращать дробь постепенно:
Мы видим, что если сокращать поочереди на все общие числители, начиная с меньшего, очень долго. Поэтому для удобства принято сокращать дробь сразу на больший числитель. Т.е. 210/315 = 210:105 / 315:105 = 2/3 Полученную дробь 2/3 сократить нельзя.
Наибольший общий делитель называют сокращенно — НОД.
Бывают случаи, когда общего делителя нет. Например, у дробей 3/59, 6/31, 11/23 и т.д. Тогда говорят о том, что эти дроби не подлежат сокращению.
Дроби, которые сократить НЕЛЬЗЯ называются НЕСОКРАТИМЫМИ, а числитель и знаменатель называют ВЗАИМНО-ПРОСТЫМИ.
Т.е. наша задача превратить любую дробь в несократимую. Итак, мы познакомились в двумя способами сокращения дробей:
Проверка: 28/36 – наибольший общий делитель (НОД) = 4, значит 28:4/36:4 = 7/9;
56/28 – НОД = 28, значит, 56:28/28:28 = 2/1 = 2;
114/171 – НОД = 57, значит, 114:57/171:57 = 2/3;
102/153 – НОД = 51, значит, 102:51/153:51 = 2/3.
Насколько публикация полезна?
Нажмите на звезду, чтобы оценить!
Средняя оценка 5 / 5. Количество оценок: 67
Сокращение дробей: правила и примеры
Разберемся в том, что такое сокращение дробей, зачем и как сокращать дроби, приведем правило сокращения дробей и примеры его использования.
Что такое «сокращение дробей»
В результате такого действия получится дробь с новым числителем и знаменателем, равная исходной дроби.
Приведение дробей к несократимому виду
Это можно сделать, если сократить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Тогда, по свойству наибольшего общего делителя, в числителе и в знаменателе будут взаимно простые числа, и дробь окажется несократимой.
Приведение дроби к несократимому виду
Чтобы привести дробь к несократимому виду нужно ее числитель и знаменатель разделить на их НОД.
6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4
Сокращение дробей удобно применять, чтобы не работать с большими цифрами. Вообще, в математике существует негласное правило: если можно упростить какое-либо выражение, то нужно это делать. Под сокращением дроби чаще всего подразумевают ее приведение к несократимому виду, а не просто сокращение на общий делитель числителя и знаменателя.
Правило сокращения дробей
Чтобы сокращать дроби достаточно запомнить правило, которое состоит из двух шагов.
Правило сокращения дробей
Чтобы сократить дробь нужно:
Рассмотрим практические примеры.
Пример 1. Сократим дробь.
Найдем НОД числителя и знаменателя. Для этого в данном случае удобнее всего воспользоваться алгоритмом Евклида.
182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15
Готово. Мы получили несократимую дробь, которая равна исходной дроби.
Как еще можно сокращать дроби? В некоторых случаях удобно разложить числитель и знаменатель на простые множители, а потом из верхней и нижней частей дроби убрать все общие множители.
Пример 2. Сократим дробь
Для этого представим исходную дробь в виде:
360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7
Избавимся от общих множителей в числителе и знаменателе, в результате чего получим:
360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7 = 2 · 3 7 · 7 = 6 49
Наконец, рассмотрим еще один способ сокращения дробей. Это так называемое последовательное сокращение. С использованием этого способа сокращение производится в несколько этапов, на каждом из которых дробь сокращается на какой-то очевидный общий делитель.
Пример 3. Сократим дробь
2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44
20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22
Получившийся результат снова сокращаем на 2 и получаем уже несократимую дробь:
Сокращение обыкновенных дробей
Что такое «сокращение дробей»
Математика любит точность и краткость: лохматыми громоздкими числами ее расположение не заслужить. Поэтому, следуя негласному правилу, сокращайте все, что можно сократить.
Сократить дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на их общий делитель. Общий делитель должен быть положительным и не равен нулю и единице.
В результате сокращения вы получаете новую дробь, равную исходной дроби. Такие дроби равны по основному свойству:
Основное свойство дроби
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число — получится дробь, равная данной.
С основным свойством дроби знакомятся в 5 классе, но встречаться оно будет до самого окончания школы. Поэтому запоминаем, как выглядит основное свойство дроби в виде буквенных выражений:
= 
= 
где a, b, m — натуральные числа.
Графически сокращение дробей обычно записывается вот так:
Числитель и знаменатель зачеркиваются черточками. В этом примере числитель — 8, знаменатель — 36. Справа над ними записывают результаты деления числителя и знаменателя на их общий делитель. Общий делить 8 и 36 — 4. Это число не нужно записывать.
Пример 1. Сократим обыкновенную дробь 
Разделим числитель и знаменатель на общий делитель 3.
= 
= 
Сокращение выполнено: =
Пример 2. Сократим обыкновенную дробь 
Разделим числитель и знаменатель на общий делитель 2.
= 
= 
Сокращение выполнено: =
Приведение дробей к несократимому виду
Смысл сокращения дробей в том, чтобы в результате сокращения в числителе и знаменателе оказались наименьшие из возможных чисел.
Так, в результате сокращения в примере 2, мы из дроби получили дробь
Выходит, что дробь выдержит еще одно сокращение и придет к виду 
Сокращая дробь, стремитесь в итоге получить несократимую дробь.
Разделите числитель и знаменатель дроби на их НОД (наибольший общий делитель). Так вы приведете дробь к несократимому виду.
— несократимая дробь, так как по свойствам НОД мы знаем, что:
a : НОД(a, b) и b : НОД(a, b) — взаимно простые числа.
Два целых числа a и b называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице, НОД(a, b) = 1.
Пример 3. Приведите обыкновенную дробь к несократимому виду 
Найдем НОД числителя и знаменателя. НОД = 12
Найдем частное: 12 : 12 = 1
= 
= 
Сокращение выполнено: =
Пример 4. Приведите обыкновенную дробь к несократимому виду 
Найдем НОД числителя и знаменателя. НОД = 5
Найдем частное: 15 : 5 = 3
= 
= 
Сокращение выполнено: =
Правило сокращения дробей
Чтобы без труда сокращать любую обыкновенную дробь, запомните правило.
Выполняйте сокращение дробей по следующему алгоритму:
В 6 классе каждая вторая задачка — с дробями. Чтобы легко управляться с ними и уметь сокращать любые числа, нужно хорошо потренироваться. Давайте разберем еще несколько примеров сокращения обыкновенных дробей.
Чтобы легко сокращать дроби, нужно уметь быстро находить НОД числителя и знаменателя. Для этого неплохо бы знать таблицу умножения и уметь раскладывать числа на простые множители.
Чтобы найти НОД числителя и знаменателя, разложим числа на простые множители.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
84 = 2 * 2 * 3 * 7
Перемножаем все общие множители между собой 2 * 2 * 3 = 12.
НОД 36 и 84 = 12.
Пример 5. Сократите дробь 
Разложим числа в числителе и знаменателе на множители.
135 = 9 * 3 * 5
180 = 9 * 2 * 2 * 5
Мысленно убираем все общие множители и перемножаем оставшиеся.
= 
= 
Сокращение выполнено: =
Пример 6. Сократите обыкновенную дробь 
Найдем НОД числителя и знаменателя. НОД = 9
= 
= 
Сокращение выполнено: =
Дробь можно сократить, последовательно сокращая числитель и знаменатель на общий делитель. Такой способ подходит, если в числителе и знаменателе стоят крупные числа, и вы не уверены в подобранном НОД.
Пример 6. Сократите дробь: 
= 
= 
= 
Сокращение выполнено: =
Пример 7. Сократите дробь 
Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.
168 = 2 * 2 * 2 * 3 * 7
240 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 5
Перемножаем все общие множители между собой 2 * 2 * 2 * 3 = 24
НОД 168 и 240 равен 24
Следующим шагом разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: 168 : 24 = 7
= 
= 
Сокращение выполнено: =
Пример 8. Сократите дробь 
Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.
360 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5
540 = 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 5
Перемножаем все общие множители между собой 2 * 2 * 3 * 3 * 5 = 180
НОД 360 и 540 равен 180
Следующим шагом разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: 360 : 180 = 2
= 
= 
Сокращение выполнено: =
Пример 8. Сократите дробь 
Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.
420 = 2 * 2 * 3 * 5 * 7
2520 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5 * 7
Перемножаем все общие множители между собой 2 * 2 * 3 * 5 * 7 = 420
НОД 420 и 2520 равен 420
Следующим шагом разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: 420 : 420 = 1
= 
= 
Сокращение выполнено. Дробь приведена к несократимому виду: =
Пример 9. Сократите дробь 
Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.
1575 = 3 * 3 * 5 * 5 * 7
3450 = 2 * 3 * 5 * 5 * 23
Перемножаем все общие множители между собой 3 * 5 * 5 = 75
НОД 1575 и 3450 равен 72
Следующим шагом разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: 1575 : 75 = 21
= 
= 
Сокращение выполнено. Дробь приведена к несократимому виду: =
Иногда разложение на простые множители занимает немало времени, особенно если раскладываемые числа большие, как в двух предыдущих примерах. Чтобы быстро разложить любое число на простые множители, можно обратиться к онлайн-калькулятору — в интернете их много. Воспользуйтесь одним из них.
Если времени совсем не хватает — можно использовать онлайн-калькулятор и для нахождения НОД. Однако не стоит постоянно прибегать к калькулятору для решения задач, пока вы не научитесь уверенно и быстро вычислять сами.
