Алгебраические дроби. Сокращение алгебраических дробей
Прежде чем перейти к изучению алгебраических дробей рекомендуем вспомнить, как работать с обыкновенными дробями.
Любая дробь, в которой есть буквенный множитель, называется алгебраической дробью.
Примеры алгебраических дробей.
Как и у обыкновенной дроби, в алгебраической дроби есть числитель (наверху) и знаменатель (внизу).
Сокращение алгебраической дроби
Алгебраическую дробь можно сокращать. При сокращении пользуются правилами сокращения обыкновенных дробей.
Напоминаем, что при сокращении обыкновенной дроби мы делили и числитель, и знаменатель на одно и тоже число.
Алгебраическую дробь сокращают таким же образом, но только числитель и знаменатель делят на один и тот же многочлен.
Рассмотрим пример сокращения алгебраической дроби.
Разделим, и числитель, и знаменатель на « a 2 ». При делении одночленов используем свойство степени частного.
Напоминаем, что любая буква или число в нулевой степени — это единица.
Нет необходимости каждый раз подробно записывать, на что сокращали алгебраическую дробь. Достаточно держать в уме степень, на которую сокращали, и записывать только результат.
Краткая запись сокращения алгебраической дроби выглядит следующим образом.
Сокращать можно только одинаковые буквенные множители.
Нельзя сокращать
Можно сокращать
Другие примеры сокращения алгебраических дробей.
Как сократить дробь с многочленами
Рассмотрим другой пример алгебраической дроби. Требуется сократить алгебраическую дробь, у которой в числителе стоит многочлен.
Сокращать многочлен в скобках можно только с точно таким же многочленом в скобках!
Ни в коем случае нельзя сокращать часть многочлена внутри скобок!
Неправильно
Правильно
Определить, где заканчивается многочлен, очень просто. Между многочленами может быть только знак умножения. Весь многочлен находится внутри скобок.
После того, как мы определили многочлены алгебраической дроби, сократим многочлен « (m − n) » в числителе с многочленом « (m − n) » в знаменателе.
Примеры сокращения алгебраических дробей с многочленами.
Вынесение общего множителя при сокращении дробей
Чтобы в алгебраических дробях появились одинаковые многочлены иногда нужно вынести общий множитель за скобки.
В таком виде сократить алгебраическую дробь нельзя, так как многочлен
« (3f + k) » можно сократить только со многочленом « (3f + k) ».
Поэтому, чтобы в числителе получить « (3f + k) », вынесем общий множитель « 5 ».
Сокращение дробей с помощью формул сокращенного умножения
В других примерах для сокращения алгебраических дробей требуется
применение формул сокращенного умножения. 
В первоначальном виде сократить алгебраическую дробь нельзя, так как нет одинаковых многочленов.
Но если применить формулу разности квадратов для многочлена « (a 2 − b 2 ) », то одинаковые многочлены появятся.
Другие примеры сокращения алгебраических дробей с помощью формул сокращенного умножения.
Решение неравенств: основные ошибки и полезные лайфхаки
Вы умеете решать неравенства? Уверены?
Вспомним для начала, что вообще можно делать с неравенствами и чего с ними делать нельзя.
При решении неравенств мы можем:
1. Умножать обе части неравенства на число или выражение, не равное нулю.
При умножении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется.
При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
2. Можем возводить обе части неравенства в квадрат при условии, что они неотрицательны
3. Имея дело с показательным или логарифмическим неравенством, мы можем «отбрасывать» основания или логарифмы. Если основание степени или логарифма больше единицы – знак неравенства будет тот же. Если основание степени или логарифма положительно и меньше единицы – знак неравенства меняется на противоположный.
Конечно, мы не просто «отбрасываем» основания степеней или логарифмы. Мы пользуемся свойствами монотонности соответствующих функций. Если основание степени больше единицы, показательная функция монотонно возрастает. Если основание положительно и меньше единицы – показательная функция монотонно убывает. Аналогично ведет себя и логарифмическая функция.
4. При решении показательных или логарифмических неравенств применяется метод рационализации (замены множителя).
5. Общее правило. Если неравенство можно хоть как-то упростить – это необходимо сделать! Иначе его решение может занять восемь страниц и два часа времени.
Чего нельзя делать при решении неравенств? Вот 7 ловушек, в которые часто попадают абитуриенты.
1. Нельзя умножать (или делить) неравенство на выражение, знака которого мы не знаем.
2. Извлекать из неравенства корень тоже нельзя. Такого действия просто нет.
Как, например, решить неравенство
Перенесем все в левую часть неравенства, чтобы в правой остался ноль.
Разложим левую часть на множители.
Запомним: ответы типа « > » абсурдны.
4. Возводить обе части неравенства в квадрат можно только если они неотрицательны.
5. Помним о том, в каких случаях знак показательного или логарифмического неравенства меняется, а в каких – остается тем же. «Отбрасывая» логарифмы, делаем это грамотно.
6. Если в неравенстве есть дроби, корни четной степени или логарифмы – там обязательно будет область допустимых значений.
7. Сложная тем для старшеклассников – задачи с модулем. Проверьте, умеете ли вы их решать.
При решении неравенств большое значение имеет правильное оформление. Рекомендуется оформлять решение как цепочку равносильных переходов: от исходного неравенства к равносильному ему неравенству или системе.
Обратите внимание на приемы, позволяющие решать неравенства легко, быстро и без лишних вычислений.
А теперь – полезный лайфхак для решения дробно-рациональных неравенств.
Продолжаем упрощать левую часть:
Теперь можно и привести дроби к одному знаменателю.
Все, больше ничего не пишем. Решаем неравенство методом интервалов.
math4school.ru
Ошибки в неравенствах
Неравенства по праву считаются одним из самых трудных разделов школьной математики, и при их решении допускается наибольшее количество ошибок. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся из них.
Некоторые общие ошибки
Указать наименьшее целое решение неравенства:
Ошибки в квадратных неравенствах
Квадратные ( квадратичные ) неравенства – неравенства вида
(х + 5) 2 ≤ 0 – решений нет.
Неравенство (х + 5) 2 ≤ 0 выполняется при единственном значении х = –5.
Комментарий. Необходимо помнить, что, вообще говоря, нельзя извлекать корень из обеих частей неравенства.
Ошибки в дробно-рациональных неравенствах
K Упражнение. Решить неравенство \(\large \frac
L Неправильное решение.
J Правильное решение.
K Упражнение 1. Решить неравенство \(\large \frac<2x+3>
L Неправильное решение.
J Правильное решение.
Рассмотрим один из возможных способов решения данного неравенства:
K Упражнение 2. Решить неравенство \(\large \frac
L Неправильное решение.
J Правильное решение.
L Неправильное решение.
J Правильное решение.
Так как обе части неравенства представлены стандартными функциями, то легко использовать графические метод решения неравенства:
Ошибки при использовании метода интервалов
L Неправильное решение.
J Правильное решение.
L Неправильное решение.
J Правильное решение.
Числовая ось с проставленными знаками на промежутках должна выглядеть в данном случае следующим образом:
K Упражнение 3. Решить неравенство
| (х – 8) (х + 7) | ≥ 0. |
| х + 2 |
L Неправильное решение.
J Правильное решение.
L Неправильное решение.
J Правильное решение.
L Неправильное решение.
L Неправильное решение.
J Правильный ответ: х ∈ (–∞; –3]∪<5>.
Ошибки в иррациональных неравенствах
L Неправильное решение.
J Правильное решение.
Нередко учащиеся не учитывают ограничения, которые накладываются на выражения, стоящие вне знака корня четной степени и содержащие неизвестную величину.
L Неправильное решение.
J Правильное решение.
L Неправильное решение.
J Правильное решение.
\(\left[\begin
Ошибки в показательных и логарифмических неравенствах
При решении показательных и логарифмических неравенств возникновение ошибок, как правило, вызвано тем, что учащиеся неверно применяют свойства показательной и логарифмической функции.
Пренебрежение областью допустимых значений неизвестного – еще одна распространенная причина ошибок при решении показательных и, особенно, логарифмических неравенств.
L Неправильное решение.
J Правильное решение.
L Неправильное решение.
\(\begin
J Правильное решение.
\(\left[\begin
L Неправильное решение.
J Правильное решение.
L Неправильное решение.
J Правильное решение.
L Неправильное решение.
\(\left[\begin
Задание 14: решение неравенств
методом интервалов.
Рассмотрим следующую задачу
x 3 − 3x 2 − x + 3 x 2 + 3x + 2 _____________ > 0.
Фактически, здесь мы должны определить знак дробного выражения. То есть при каких значениях переменной результат деления является положительным. Очевидно, это будет в случае, когда знаки числителя и знаменателя совпадают. Таким образом, нужно рассмотреть два случая: И числитель, И знаменатель положительны, ИЛИ И числитель, И знаменатель отрицательны. Это приводит нас к совокупности двух систем неравенств.
Как и прежде, нас интересует знак дроби, поскольку мы сравниваем её возможные значения с нулём. Но теперь мы можем определить его на промежутках числовой оси с помощью графической схемы.
2. Каждый множитель (каждую скобку) приравниваем нулю. Полученные значения переменной отмечаем на числовой оси.
Договоримся пустыми кружочками изображать на оси граничные точки интервалов, которые не войдут в решение неравенства, и заполненными кружочками те из них, которые войдут. Очевидно, нельзя брать в ответ те значения переменной х, которые обращают в нуль знаменатель. Это и будет ОДЗ.
Заданное неравенство является строгим, поэтому не войдут в решение и те точки, которые обращают в нуль числитель нашей дроби. Их тоже обозначим пустыми кружочками.
Далее переходя от интервала к интервалу чередуем знаки «+» и «−», но не меняем знак в точке х = −1, т.к. после сокращения такого множителя в окончательной дроби в явном виде нет, т.е. это значение не влияет на смену знака выражения.
Для наглядности обведем наши интервалы кривой линией, располагающейся выше оси, если знак «+», и ниже, если «−».
Теперь легко записать окончательный ответ для неравенства. Дробь положительна и неравенство выполняется на тех интервалах, которые на схеме отмечены знаком «+».
Ответ: x ∈ (−2;−1) ∪ (−1;1) ∪ (3; +∞).
Решение.
В ответ включаем интервалы отмеченные знаком «−» и граничные точки, отмеченные заполненными кружочками.
Ответ: x ∈ (−∞; −1] ∪ (0;1] ∪ (2;3].
Проверьте себя.
14 − x 6 + x − x 2 ________ ≤ 1 − 2 x − 3 ____.
Так сокращать дроби нельзя!
Работая с дробями, многие ученики допускают одни и те же ошибки. А все потому, что они забывают элементарные правила арифметики. Сегодня мы повторим эти правила на конкретных задачах, которые я даю на своих занятиях.
Вот задача, которую я предлагаю каждому, кто готовится к ЕГЭ по математике:
Задача. Морская свинья ест 150 грамм корма в день. Но она выросла и стала есть на 20% больше. Сколько грамм корма теперь ест свинья?
Неправильное решение. Это задача на проценты, которая сводится к уравнению:
Многие (очень многие) сокращают число 100 в числителе и знаменателе дроби:
Вот такую ошибку допустила моя ученица прямо в день написания этой статьи. Красным отмечены числа, которые были сокращены.
Излишне говорить, что ответ получился неправильный. Судите сами: свинья ела 150 грамм, а стала есть 3150 грамм. Увеличение не на 20%, а в 21 раз, т.е. на 2000%.
Чтобы не допускать подобных недоразумений, помните основное правило:
Сокращать можно только множители. Слагаемые сокращать нельзя!
Таким образом, правильное решение предыдущей задачи выглядит так:
Красным отмечены цифры, которые сокращаются в числителе и знаменателе. Как видите, в числителе стоит произведение, знаменателе — обыкновенное число. Поэтому сокращение вполне законно.
Работа с пропорциями
Еще одно проблемное место — пропорции. Особенно когда переменная стоит с обеих сторон. Например:
Неправильное решение — у некоторых буквально руки чешутся сократить все на m :
Сокращаемые переменные показаны красным. Получается выражение 1/4 = 1/5 — полный бред, эти числа никогда не равны.
А теперь — правильное решение. По существу, это обыкновенное линейное уравнение. Решается либо переносом всех элементов в одну сторону, либо по основному свойству пропорции:
Многие читатели возразят: «Где ошибка в первом решении?» Что ж, давайте разбираться. Вспомним правило работы с уравнениями:
Любое уравнение можно делить и умножать на любое число, отличное от нуля.
Выводы: собираем все вместе
Итак, для решения дробно-рациональных уравнений помните три правила:
Помните эти правила и не допускайте ошибок.
