можно ли стороны и диагонали правильного 13 угольника покрасить в 12 цветов

Можно ли стороны и диагонали правильного 13 угольника покрасить в 12 цветов

Задача 1: Существует ли 25-звенная ломаная, пересекающая каждое свое звено ровно один раз?

Задача 2: Может ли вращаться система из 11 шестеренок, если 1-я сцеплена со 2-й, 2-я – с 3-й и так далее, а 11-я сцеплена с 1-й?

Задача 3: Может ли прямая, не содержащая вершин 1001-угольника, пересекать каждую его сторону?

Задача 4: На клетчатой бумаге нарисован замкнутый путь (по линиям сетки). Доказать, что он имеет четную длину (сторона клетки имеет длину 1)

Задача 5: Улитка ползет по плоскости с постоянной скоростью, поворачивая на 90 градусов каждые 15 минут. Доказать, что она может вернуться в исходную точку только через целое число часов.

Задача 6: Доказать, что любая ось симметрии 45-угольника проходит через его вершину.

Задача 7: Может ли кузнечик за 25 прыжков вернуться в начальную позицию, если он прыгает:

a) по прямой в любую сторону на нечетное расстояние.

b) по плоскости на расстояние 1 в любом из 4 основных направлений (вверх, вниз, вправо, влево)

с) по плоскости ходом коня (т.е. по диагонали прямоугольника 1 × 2).

d) по диагонали прямоугольника a × b (a и b фиксированы).

Задача 8: Кузнечик прыгает по прямой: первый раз – на 1 см, второй раз – на 2 см и так далее. Может ли он через 25 прыжков вернуться на старое место?

Задача 9: Четно или нечетно число 1 + 2 + 3 + … + 1990?

Задача 10: Набор домино выложили в ряд по правилам. На одном конце цепочки – пятерка. Что на другом?

Задача 11: Из набора домино выкинули все кости с пустышками. Можно ли оставшиеся выложить в ряд по правилам?

Задача 12: В выражении 1*2*3* … *9 звездочки заменяют на – или +

a) Может ли получиться 0?

b) Может ли получиться 1?

c) Какие числа могут получиться?

Задача 13: У каждого марсианина три руки. Могут ли 7 марсиан взяться за руки?

Задача 14: Произведение чисел 1 и – 1 равно 1. Доказать, что их сумма не равна нулю.

Задача 15: Может ли 25-звенная ломаная пересекать каждое свое звено по 3 раза?

Задача 16: Можно ли стороны и диагонали правильного 13-угольника раскрасить в 12 цветов так, чтобы в любой вершине сходились все цвета?

Задача 17: На доске 25 × 25 расставлены 25 фишек, причем их расположение симметрично относительно обеих главных диагоналей. Доказать, что одна из фишек стоит в центре.

Задача 18: Доска 9 × 9 раскрашена в 9 цветов, причем раскраска симметрична относительно главной диагонали. Доказать, что на этой диагонали все клетки раскрашены в разные цвета.

Задача 19: На шахматной доске стоят 8 ладей, которые не бьют друг друга. Доказать, что число ладей, стоящих на черных клетках, четно.

Задача 20: Три кузнечика играют в чехарду: каждую секунду один из них прыгает через какого-то другого (но не через двух). Могут ли они через 25 секунд вернуться на свои места?

Задача 21: По окружности стоят 239 точек двух цветов. Доказать, что найдутся две точки одного цвета, разделенные ровно двумя точками.

Задача 22: В вершинах куба написаны числа 1 и – 1. На каждой грани написано произведение чисел в углах этой грани. Может ли сумма всех написанных чисел быть равна нулю?

Задача 23: В таблице 25 × 25 расставлены целые числа так, что в каждом столбце и в каждой строчке встречаются все числа от 1 до 25. При этом таблица симметрична относительно главной диагонали. Доказать, что на главной диагонали все числа от 1 до 25 встречаются по одному разу.

Задача 24: n рыцарей из двух враждующих стран сидят за круглым столом. Число пар соседей-друзей равно числу пар соседей-врагов. Доказать, что n делится на 4.

Задача 25: По кругу написаны 4 единицы и 5 нулей. За ход между двумя одинаковыми цифрами пишется единица, а между разными – ноль (старые цифры стираются). Могут ли через несколько ходов все числа стать одинаковыми?

Задача 26: В квадрате 25 × 25 стоят числа 1 и – 1. Вычислили все произведения этих чисел по строкам и по столбцам. Доказать, что сумма этих произведений не равна нулю.

Задача 27: По кругу расставлены нули и единицы (и те и другие присутствуют). Каждое число, у которого два соседа одинаковы, заменяют на ноль, а остальные числа – на единицы, и такую операцию проделывают несколько раз.

a) могут ли все числа стать нулями, если их 13 штук?

b) могут ли все числа стать единицами, если их 14 штук?

Задача 28: В вершинах n-угольника стоят числа 1 и – 1. На каждой стороне написано произведение чисел на ее концах. Оказалось, что сумма чисел на сторонах равна нулю. Доказать, что a) n четно b) n делится на 4.

Источник

Можно ли стороны и диагонали правильного 13 угольника покрасить в 12 цветов

Задача 1: Существует ли 25-звенная ломаная, пересекающая каждое свое звено ровно один раз?

Решение: Нет. Звенья должны разбиваться на пары пересекающихся

Решение: Нет. Направления вращения шестерёнок должны чередоваться

Задача 3: Может ли прямая, не содержащая вершин 1001-угольника, пересекать каждую его сторону?

Решение: Нет. Любые соседние две вершины 1001-угольника должны лежать по разные стороны от прямой.

Решение: При прохождении пути шагов вверх должно быть столько же, сколько шагов вниз, а шагов вправо – столько же, сколько шагов влево.

Решение: Вправо улитка должна ползти столько же времени, сколько влево, а вверх – столько же, сколько вниз. Значит улитка проползла чётное число вертикальных и чётное число горизонтальных «пятнадцатиминутных» отрезков. К тому же вертикальные и горизонтальные отрезки чередуются, значит общее их число делится на 4.

Задача 6: Доказать, что любая ось симметрии 45-угольника проходит через его вершину.

Задача 7: Может ли кузнечик за 25 прыжков вернуться в начальную позицию, если он прыгает:

a) по прямой в любую сторону на нечетное расстояние.

b) по плоскости на расстояние 1 в любом из 4 основных направлений (вверх, вниз, вправо, влево)

с) по плоскости ходом коня (т.е. по диагонали прямоугольника 1 × 2).

d) по диагонали прямоугольника a × b (a и b фиксированы).

Решение: d) Нет. Если a и b оба нечётны, то каждая координата кузнечика при прыжке меняет чётность. Если же одно из чисел a и b чётно, а другое нечётно, то сумма координат при каждом прыжке меняет чётность. Если же a и b оба чётны, то можно уменьшать их вдвое до тех пор, пока одно из них не станет нечётным, а после этого воспользоваться одним из уже разобранных случаев.

Задача 9: Четно или нечетно число 1 + 2 + 3 + … + 1990?

Задача 10: Набор домино выложили в ряд по правилам. На одном конце цепочки – пятерка. Что на другом?

Решение: Тоже пятёрка. Пятёрки внутри цепочки разбиваются на пары.

Задача 11: Из набора домино выкинули все кости с пустышками. Можно ли оставшиеся выложить в ряд по правилам?

Задача 12: В выражении 1*2*3* … *9 звездочки заменяют на – или +

a) Может ли получиться 0?

b) Может ли получиться 1?

c) Какие числа могут получиться?

Решение: c) Все нечётные числа от – 45 до 45.

Задача 13: У каждого марсианина три руки. Могут ли 7 марсиан взяться за руки?

Задача 14: Произведение чисел 1 и – 1 равно 1. Доказать, что их сумма не равна нулю.

Задача 15: Может ли 25-звенная ломаная пересекать каждое свое звено по 3 раза?

Решение: Нет. Попытайтесь подсчитать количество точек пересечения.

Решение: Проще доказывать, что каждый цвет встречается на диагонали.

Решение: Цвет клетки определяется суммой её координат. Сумма же координат всех ладей чётна (она не зависит от расстановки и равна 2(1 + 2 + … 8)).

Решение: Нет. Чисел всего 14, а их произведение равно 1.

Решение: Число пар соседей-врагов всегда чётно.

Решение: Нет. Из чего могла получиться такая позиция?

a) могут ли все числа стать нулями, если их 13 штук?

b) могут ли все числа стать единицами, если их 14 штук?

Источник

Конкурс ВМШ 2014/2015 уч.г. (для 5 – 9 классов).

Эти задачи (А.К.Ковальджи) были предложены абитуриентам на вступительных зачетах «Устная математика» в лицей «Вторая школа» в 2014 году.
Решения пишите на двойных листках и сдавайте в течение 2 недель, пишите фамилию, имя, класс и номер листа.

1. Нарисуйте, как разделить деревянный кубик четырьмя плоскими разрезами на 12 равных частей.
2. За одно нажатие на кнопку калькулятора можно увеличить число на его дробную часть (например, из 2/7 получить 4/7, а из 3,8 получить 4,6). Начав с положительного числа, меньшего 1, за три нажатия получили число 3. С какого числа начали? Сколько есть решений?
3. Ладья обошла все клетки шахматной доски по одному разу и вернулась в исходную клетку. Соединим центры клеток по порядку, в котором ладья их обошла. Получится замкнутая ломаная. Найдите длину этой ломаной, если сторона клетки равна 1 см.
4. Если к числителю некоторой дроби прибавить 4, а к знаменателю прибавить 10, то значение дроби не изменится. Придумайте такую дробь, у которой числитель и знаменатель больше ста.

1. На доске выписаны все числа от 1 до 2014. Каждую секунду с каждым числом проделывают операцию: если число не делится на 100, то из него вычитают 1, а если делится на 100, то его делят на 100. Найдите наибольшее среди чисел на доске через минуту.
2. Брат сказал сестре: «Когда мне было столько лет, сколько тебе сейчас, я был старше тебя в 2 раза. Во сколько раз брат старше сестры сейчас?
3. Даны 100 предметов и весы с двумя чашами без гирь. Как за 148 взвешиваний найти самый тяжелый и самый легкий предметы?
4. Каждую неделю Витя получает в школе три отметки (целое число от 2 до 5): одну по математике, одну по физике и одну по русскому языку. Родители хвалят его, если по большинству предметов отметки повысились по сравнению с предыдущей неделей. Сможет ли Витя так получать отметки, чтобы его хвалили весь год?

1. По 10-и сундукам разложено 10 монет. На каждом сундуке написано: «Тут ровно одна монета». Известно, что среди этих надписей есть ровно три неверные. Докажите, что в одном из сундуков находятся ровно 3 монеты.
2. Каждый из трёх приятелей либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Им был задан вопрос: «Есть ли хотя бы один лжец среди двух остальных?» Первый ответил: «Нет», второй ответил: «Да». Что ответил третий?
3. Известно, что маляр, будучи в веселом настроении, работает вдвое быстрее, чем в грустном. В первую неделю он покрасил на 300 метров забора больше, чем во вторую, потому что во вторую неделю грустил на 2 дня больше, чем в первую. Сколько метров забора в день красит грустный маляр?
4. Каждая грань куба разделена на 4 равных квадрата, и каждый квадрат окрашен в один из трех цветов: красный, синий и зеленый так, что квадраты, имеющие общую сторону, окрашены в разные цвета. Сколько может быть красных квадратов? Решение перебором не принимается.

1. Найдите четырехзначное число, которое после умножения на 9 даёт число, изображенное теми же цифрами, но в обратном порядке. Есть ли еще такие числа?
2. Кот Базилио пообещал Буратино открыть Великую тайну, если он составит чудесный квадрат 4×4 из чисел +1, 0 и –1 так, чтобы все суммы по строкам, столбцам и по большим диагоналям были различны. Сможет ли Буратино составить чудесный квадрат?
3. Существует ли невыпуклый 10-угольник, который одной прямой можно разрезать на 6 частей?
4. ИГРА. Винни-Пух и Пятачок молча вспоминали названия рек. Винни-Пух вспомнил 5 рек, а Пятачок вспомнил 9 рек. Потом они по очереди стали называть по одной реке, которые они вспомнили. Кто не мог назвать новую реку, тот проиграл. Начинал Винни-Пух. Возможен ли такой порядок называния рек, при котором проиграет Пятачок?

1. ПЕРИМЕТРЫ. Сторона большого квадрата разбита на 4 неравных отрезка, на каждом из которых, как на стороне, построен квадрат. Что больше сумма периметров маленьких квадратов или периметр большого квадрата?
2. СТУПЕНИ. Игорь может идти или бежать по эскалатору. В каком случае он насчитает ногами больше ступенек: если идёт по ходу эскалатора или бежит против хода эскалатора быстрее эскалатора?
3. БАТАРЕЙКИ. Есть 5 батареек, из которых 3 заряжены, а 2 разряжены. Фотоаппарат работает от двух заряженных батареек. Покажите, как за 4 попытки можно гарантированно включить фотоаппарат.
4. ЛАДЬИ. На шахматной доске стоит несколько ладей. Докажите, что найдется ладья, бьющая не более двух других.

1. В школе колдовства 13 учеников. Перед экзаменом преподаватель посадил их за круглый стол и попросил угадать, кто из них сдаст экзамен. Каждый умолчал про себя и двух своих соседей, а про остальных написали: «Никто из этих десяти не сдаст!» Все сдавшие экзамен угадали, а все остальные не угадали. Сколько колдунов сдали экзамен?
2. Площадку размером 1х1 м замостили плитками размером 5х20 см, границы которых параллельны стенам. Все стыки между плитками и между стенами и плитками нужно обработать лаком. Какова общая длина стыков? (Плитки могут граничить разными по длине сторонами.)
3. В лотерейном билете 49 номеров (от 1до 49), из которых 6 будут объявлены счастливыми. В билете можно отметить любые 6 номеров. Чем больше отмеченных номеров совпадет со счастливыми, тем больше выигрыш. Какое наименьшее число билетов нужно купить, чтобы наверняка угадать 1 счастливый номер?
4. В компании 10 человек. Каждому из них нравится не меньше 5 человек в этой компании. Докажите, что найдутся 2 человека, которые нравятся друг другу.

1. Петя и Вася бегут наперегонки с постоянными скоростями. Сначала Петя находился от финиша на расстоянии 100 м, а Вася – 85 м. Через некоторое время Пете осталось до финиша 40 м, а Васе – 35 м. Кто прибежит первым?
2. С давних пор школьная библиотека выписывает каждый месяц 10 журналов, которые хранятся ровно 5 лет, а потом списываются. Журналы получают и списывают одновременно. Сколько журналов хранится в школьной библиотеке?
3. На плоскости лежит картонный квадрат АВСD, который разрешается перекатывать через рёбра (при перекатывании ребро остаётся на месте, а квадрат переворачивается на другую сторону). После нескольких перекатываний квадрат вернулся в исходное место плоскости. Докажите, что он оказался в прежнем положении (т. е. все его вершины оказались на исходных местах).
4. В школе 50 отличниц и 100 блондинок. Среди отличниц 15 любят тяжелый рок, а среди блондинок 90 любят тяжелый рок. Докажите, что среди отличниц не больше половины блондинок.

Лист 8

1. На шахматной доске 8×8 на каждой горизонтали и на каждой вертикали стоит ровно по две ладьи. Докажите, что можно убрать 8 ладей так, что на каждой горизонтали и на каждой вертикали останется ровно одна ладья.
2. В ателье печатают фотографии, причем цена зависит от числа фотографий. Печать одной фотографии стоит 3,5 руб., если фотографий меньше ста, и стоит 3 руб., если фотографий 100 или больше. Например, выгоднее напечатать 100 фотографий по 3 руб., чем 99 по 3,5 руб. При каком наименьшем числе фотографий можно дополнить их число до ста, чтобы после этого плата за печать уменьшилась?
3. Пёс и кот одновременно схватили зубами батон колбасы с разных сторон. Если пёс откусит свой кусок и убежит, коту достанется на 300 г больше, чем псу. Если кот откусит свой кусок и убежит, псу достанется на 500 г больше, чем коту. Сколько колбасы останется, если оба откусят свои куски и убегут?
4. Петя разрезал квадрат 8×8 см на прямоугольники с периметром 16 см, а Вася разрезал точно такой же квадрат на прямоугольники с периметром 18 см. Могло ли у Васи получиться больше прямоугольников чем у Пети?

1. В клетках доски 8х8 записаны произвольные числа. Разрешается любые два числа заменять их полусуммами (например, вместо 1 и 3, в тех же клетках пишут 2 и 2). Докажите, что все числа на доске можно сделать равными.
2. Пятеро друзей скинулись на покупку за 500 руб. Докажите, что какие-то двое из них вместе заплатили не меньше 200 руб.
3. Как разрезать прямоугольник 22×15 см на прямоугольники 3×5 см?
4. Из трех отрезков можно сложить треугольник, если любые два из них в сумме длиннее третьего. Верно ли, что среди любых пяти отрезков всегда найдутся три, из которых можно сложить треугольник?

1. Имеется 3 яйца. Заказано 2 из них варить 4 минуты, а одно – 2 минуты. В кастрюлю помещаются 2 яйца. Как выполнить заказ за 5 минут?
2. Правда ли, что любое трехзначное число больше произведения его цифр?
3. Рассеянный ученик складывал два числа, но к первому числу нечаянно приписал ноль, поэтому вместо 2014 он получил 4120. Найдите первое слагаемое.
4. Можно ли стороны и диагонали правильного 7-угольника покрасить в 6 цветов так, чтобы из каждой вершины выходили все 6 цветов? (Каждый отрезок покрашен в один цвет).

1. На доске 4×4 стоят несколько королей, которые бьют все клетки (король бьёт и ту клетку, на которой он стоит). Докажите, что можно оставить только четыре из этих королей так, что они тоже будут бить все клетки доски.
2. В клетках таблицы 3×3 стоят нули. За один ход выбирают квадрат 2×2 и увеличивают в нем все числа на 1. Можно ли с помощью таких ходов получить таблицу на рисунке?

4	9	5
12	20	10
7	11	6

3. Каждый из 30 игроков и ведущий записали все числа от 1 до 30 в некотором порядке. Затем каждому игроку дали столько очков, сколько раз у него и у ведущего на одинаковых местах стояли одинаковые числа. Оказалось, что все игроки набрали разное число очков. Докажите, что чья-то запись совпала с записью ведущего.
4. Можно ли расставить по кругу 10 различных натуральных чисел так, чтобы каждое из них делилось хотя бы на одно из двух соседних с ним чисел?

1. Маше и Саше дали по одинаковой колоде карточек с буквами (на каждой карточке написано по одной букве). Ребята смешали все карточки и стали составлять слова. Сначала они составили слово ПАПА. Потом они вновь смешали карточки и составили слово МАМА. Потом — МАША, а потом — САША. Известно, что была ровно одна карточка, которая ни разу не выкладывалась на стол. Что написано на этой карточке?

2. Сейф заперт на 6 замков. К сейфу имеют доступ 4 начальника. Как раздать ключи начальникам (можно делать копии ключей) так, чтобы любые трое из них могли, собрав свои ключи, отпереть сейф, а никакие двое – не могли?

3. Учитель дал ученику карточку с вопросом. Уговор был такой: если ответ будет верный, то вопросов больше не будет, а если ответ будет неверный, то учитель даст две новые карточки с вопросами. На каждый вопрос ученик отвечает только один раз. Всего ученик дал 11 верных ответов, после чего давать новые карточки было не нужно. Сколько было неверных ответов?

4. Однажды барон Мюнхгаузен, вернувшись с прогулки, рассказал, что половину пути он шёл со скоростью 5 км/ч, а половину времени, затраченного на прогулку — со скоростью 6 км/ч. Не ошибся ли барон?

Лист 13

1. ГНОМЫ. За круглый стол сели 7 братьев-гномов разных возрастов. Гномы всегда говорят правду всем старшим братьям, а младшим — всегда врут. Каждый гном сказал своему правому соседу: «Все здесь присутствующие говорят мне только неправду». В каком порядке сидят гномы? (Почему ответ единственный?).

2. ШАРИКИ. В Радужном городе живут 13 чебурашек. У каждого чебурашки есть 3 воздушных шарика: 1красный, 1 синий и 1 зелёный. Могут ли чебурашки поменяться своими шариками друг с другом так, чтобы у каждого оказались шарики только какого-то одного цвета?

3. ТУРНИР. В шахматном турнире играли 20 мастеров. Каждый мастер сыграл по одной партии с 15-ю любителями, а каждый любитель – с 10-ю мастерами. Сколько было любителей? (Ответ без объяснения не принимается.)

4. ДОСКА. Какое наибольшее число ладей можно поставить на шахматную доску так, чтобы черные не били никого по вертикали, а белые не били никого по горизонтали (т.е. на этих линиях не было других ладей)?

1. Куб со стороной 5 см составлен из 125 кубиков со стороной 1 см. Кубики целиком покрашены в белый или черный цвет. Соседние кубики (которые касаются плоскостями) покрашены в разные цвета. Известно, что один угловой кубик белый. Сколько всего белых кубиков?

2. Продавец купил на базе яблоки и продает 1 кг яблок за 100 руб., а 5 кг – за 400 руб., при этом его прибыль от продажи 5 кг в 3 раза больше, чем прибыль от продажи 1 кг. По какой цене за кг продавец купил яблоки? (Прибыль – это разность между стоимостью продажи и стоимостью покупки.)

3. Саша вошел в парк по направлению на север. Гуляя по парку, он либо шел прямо, либо поворачивал направо, либо налево. К концу прогулки он сделал 20 поворотов направо и 30 поворотов налево. В каком направлении он вышел из парка? Объясните, почему результат не зависит от порядка поворотов.

4. Гусеница длиной 100 мм ползет по веточке со скоростью 1 мм/с. Навстречу гусенице по этой веточке бежит муравей со скоростью 10 мм/с. Муравей вскочил на гусеницу и пробежал по ней (при этом оба не меняли своей скорости) и побежал по веточке дальше. Сколько времени потерял муравей из-за того, что ему пришлось пробегать по ползущей гусенице, а не бежать просто по веточке?

1. Вдоль дорожки между домами Незнайки и Синеглазки росли 15 пионов и 15 тюльпанов вперемешку. Выйдя из дома в гости к Незнайке, Синеглазка поливала все цветы подряд. После 10-го тюльпана вода закончилась, и 10 цветов остались неполитыми. Назавтра, выйдя из дома в гости к Синеглазке, Незнайка собирал для нее цветы подряд. Сорвав 6-й тюльпан, он решил, что для букета достаточно. Сколько цветов собрал Незнайка?

2. Заяц и Волк стартуют одновременно и бегут по кругу в одном направлении. Скорость Зайца 5 м/с, скорость Волка 7 м/с. Сколько кругов пробежит Заяц после старта до следующей встречи с Волком?

3. Паша клеил картину-пазл. За одну минуту он склеивал вместе 2 куска (начальных или уже склеенных). В результате он затратил на склеивание пазла 2 часа. За какое время он закончил бы работу, если бы склеивал за одну минуту не по два, а по три куска?

4. Из 100 кубиков 80 имеют красную грань, 85 – синюю, 75 – зеленую. Какое наименьшее число кубиков, которые имеют грани всех трех цветов?

Источник