Как умножать числа с разными основаниями и степенями?
1) Если надо умножить два числа с одинаковыми основаниями, но разными показателями степеней, то общее основание возводится в сумму степеней. 2) Если основания разные, а показатели одинаковые, то нужно возводить в степень произведение оснований.
Как умножать числа с разными степенями?
Как делить числа с разными степенями и основаниями?
Деление степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями осуществляется по следующей формуле: показатели отнимаются, а основание остается неизменным.
Как решать числа со степенями?
Запомните! При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются. am · an = am + n, где «a» — любое число, а «m», «n» — любые натуральные числа. Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.
Как умножать дроби с разными степенями?
Чтобы перемножить дроби, числители и знаменатели которых являются многочленами, необходимо:
Как вычитать числа со степенями?
Вычитание чисел с одинаковыми степенями
Сначала возводим каждое число в степень и затем выполняем вычитание. И та же история с коэффициентами: если показатель степени и основание степени одинаковые (тогда это называется переменная, a2) — их коэффициенты можно вычитать.
Что делать если показатели степени одинаковые?
Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, достаточно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.
Что делать со степенями с разными основаниями?
Как перемножить степени с разными основаниями в виде чисел?
Как решать примеры с отрицательными степенями?
Чтобы возвести число в отрицательную степень нужно:
Что нужно делать со степенями при делении?
При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются. То есть из показателя делимого вычитается показатель делителя. Основание остаётся таким же.
Чему равна степень произведения?
Как перевести дробь в степень?
Для того, чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести её числитель и знаменатель в эту же степень. При возведение в степень смешанной дроби, сначала нужно эту дробь преобразовать в неправильную, а затем возвести в степень её числитель и знаменатель.
Как сокращать дроби с разными степенями?
Сократить алгебраическую дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на общий множитель.
…
Сокращение дробей с буквами и степенями проходит в три этапа:
Сложение и вычитание степеней
Что такое степень числа
В учебниках по математике можно встретить такое определение:
«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд»
a — основание степени
n — показатель степени
Соответственно, a n = a·a·a·a. ·a
Читается такое выражение, как a в степени n.
Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить данное число (основание степени) на само себя. А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например число 2, то решается она довольно просто:
2 — основание степени
3 — показатель степени
Действия, конечно, можно выполнять и в онлайн калькуляторе — вот несколько подходящих:
Таблица степеней
Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени два) и куб (показатель степени 3).
Число
Вторая степень
Третья степень
Свойства степеней: когда складывать, а когда вычитать
Степень в математике с натуральным показателем имеет несколько важных свойств, которые позволяют упрощать вычисления. Всего их пять штук — давайте их рассмотрим.
Свойство 1: произведение степеней
При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание мы оставляем без изменений, а показатели степеней складываем:
a — основание степени
m, n — показатели степени, любые натуральные числа.
Свойство 2: частное степеней
Когда мы делим степени с одинаковыми основаниями, то основание остается без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
a — любое число, не равное нулю
m, n — любые натуральные числа такие, что m > n
Свойство 3: возведение степени в квадрат
Когда возводим степень в степень, то основание степени остается неизмененным, а показатели степеней умножаются друг на друга.
a — основание степени (не равное нулю)
m, n — показатели степени, натуральное число
Свойство 4: степень возведения
При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.
a, b — основание степени (не равное нулю)
n — показатели степени, натуральное число
Записывайся на онлайн курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!
Свойство 5: степень частного
Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.
a, b — основание степени (не равное нулю), любые рациональные числа, b ≠ 0,
n — показатель степени, натуральное число
Сложение и вычитание степеней
Как складывать числа со степенями и как вычитать степени — очень просто. Основной принцип такой: выполняется сначала возведение в степень, а уже потом действия сложения и вычитания. Примеры:
И еще несколько правил:
Сложение степеней с разными показателями
В таком случае действуем согласно общему правилу: сначала выполняем возведение в степень каждого числа, затем — производим сложение.
Сложение степеней с разными основаниями
В целом, это ничем не отличается от предыдущего пункта. Могут быть разные основания, но одинаковые степени. А могут быть и разные основания, и разные показатели. Поэтому сначала выполняем возведение в степень каждого числа, затем — производим сложение.
Как складывать числа с одинаковыми степенями
Точно также, как и в предыдущем примере. Если степени одинаковые, а основания разные, то нельзя сложить основания и затем эту сумму возводить в степень.
Сначала возводим каждое число в степень и затем выполняем сложение.
2, 3, 5 — коэффициенты
Если перед переменной в уравнении нет коэффициента, это значит, что он равен 1.
Вычитание степеней с одинаковым основанием
Здесь принцип тот же, что и со сложением: возводим в степень числа и только потом вычитаем их.
Вычитание степеней с разными основаниями
Вычитание чисел с одинаковыми степенями
Все точно также, как и со сложением. Если степени одинаковые, а основания разные, то нельзя вычесть основания и затем эту разницу возводить в степень. Сначала возводим каждое число в степень и затем выполняем вычитание.
6, 3, 2 — коэффициенты
Если перед переменной в уравнении нет коэффициента, это значит, что он равен 1.
Свойства степеней. Действия со степенями
Что такое степень числа
В учебниках по математике можно встретить такое определение:
«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд»
a — основание степени
n — показатель степени
Соответственно, a n = a·a·a·a. ·a
Читается такое выражение, как a в степени n
Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить это число (основание степени) на само себя.
А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например, число 2 — она решается довольно просто:
2 — основание степени
3 — показатель степени
Если вам нужно быстро возвести число в степень, можно использовать наш онлайн-калькулятор. Но чтобы не упасть в грязь лицом на контрольной по математике, придется все-таки разобраться с теорией.
Рассмотрим пример из жизни, чтобы было понятно, для чего можно использовать возведение чисел в степень на практике.
Задачка про миллион: представьте, что у вас есть миллион рублей. В начале каждого года вы зарабатываете на нем еще два. Получается, что миллион каждый год утраивается. Был один, а стало три — и так каждый год. Здорово, правда? А теперь посчитаем, какая сумма у вас будет через 4 года.
Как решаем: один миллион умножаем на три (1·3), затем результат умножаем на три, потом еще на три. Наверное, вам уже стало стало скучно, потому что вы поняли, что три нужно умножить само на себя четыре раза. Так и сделаем:
Математики заскучали и решили все упростить:
Ответ: через четыре года у вас будет 81 миллион.
Таблица степеней
Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени два) и куб (показатель степени 3).
Правила умножения и деления степеней
Что представляют собой степенные выражения
Степенью n для числа а является произведение множителей, которые по величине равны а, взятое n раз.
здесь а представляет собой основание степени, n определяет ее показатель.
Таким образом, можно составить формулу:
Запись можно прочитать, как «a в степени n».
Степенное выражение представляет собой такое выражение, в состав которого входит степень.
Перед тем, как рассмотреть действия со степенными выражениями, полезно вспомнить свойства степени:
Правила умножения, что происходит
Если степени имеют одинаковые показатели, то в процессе их перемножения следует умножить между собой основания, а показатель записать без изменений:
где а и b являются основаниями степени, n — это показатель степени в виде какого-либо натурального числа.
В качестве примера решим несколько простых уравнений:
a 5 × b 5 = ( a × a × a × a × a ) × ( b × b × b × b × b ) = ( a × b ) n = ( a b ) × ( a b ) × ( a b ) × ( a b ) × ( a b ) = ( a b ) 5
3 5 × 4 5 = ( 3 × 4 ) 5 = 12 5 = 248832
16 a 2 = 4 2 × a 2 = ( 4 a ) 2
Когда требуется найти произведение степеней, которые обладают одинаковыми основаниями, следует сложить показатели степеней:
В качестве примеров рассмотрим несколько вычислений:
3 5 × 3 2 = 3 5 + 3 = 3 8 = 6561
2 8 × 8 1 = 2 8 · 2 3 = 2 11 = 2048
При умножении чисел, которые имеют разные степени, но схожи по основаниям, необходимо руководствоваться правилом, рассмотренным в предыдущем примере. То есть:
где а и b являются основаниями степени, n — это показатель степени в виде какого-либо натурального числа.
Бывают ситуации, когда числа отличаются по степеням и по основаниям, а также какое-то из оснований невозможно преобразовать в число с аналогичной степенью, как у второго числа. В этом случае нужно возвести в степень каждое число, а на втором шаге выполнить умножение.
3 3 × 5 2 = 27 × 25 = 675
Правила деления
Когда требуется выполнить деление степеней, которые имеют разные основания, но схожи по показателям, нужно найти разность показателей и оставить основание без изменений:
где а является основанием степени, n и m — это показатели степени в виде каких-либо натуральных чисел, m>n.
В качестве примеров рассмотрим несколько выражений:
Деление степеней, которые имеют одинаковые показатели, подразумевает возведение результата частного данных чисел в степень:
где а и b являются основаниями степени в виде любых рациональных чисел, не равных нулю, n — это показатель степени в виде какого-либо натурального числа.
5 12 ÷ 3 12 = ( 5 ÷ 3 ) 12 = ( 1 2 3 ) 12
Предположим, что требуется выполнить деление чисел со степенями. При этом степени не одинаковые, а основания идентичные. Тогда следует руководствоваться правилом, рассмотренным в предыдущем примере:
В том случае, когда отличаются не только степени, но и основания, необходимо возвести в степень каждое из чисел, а затем выполнить умножение. Например:
Примеры решения заданий для 7 класса
Воспользуемся правилом умножения степеней, имеющих одинаковое основание:
Воспользуемся правилом умножения степеней, имеющих одинаковое основание, чтобы избавиться от необходимости возводить число в большую степень:
2 7 = 2 3 × 2 4 = 8 × 16 = 128
Воспользуемся правилом умножения степеней, имеющих разные основания, но одинаковые показатели:
3 2 × 2 2 = ( 3 × 2 ) 2 = 6 2 = 36
Здесь можно применить правило деления степеней с одинаковым основанием и разными показателями:
Здесь можно применить правило деления степеней с одинаковым основанием и разными показателями:
Воспользуемся свойством деления степеней, когда основания отличаются, а показатели совпадают:
Как решать степени с разными основаниями?
Что нужно делать со степенями при умножении?
Что нужно делать со степенями при делении?
При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются. То есть из показателя делимого вычитается показатель делителя. Основание остаётся таким же.
Как делить дроби с разными степенями?
При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя. = am − n, где «a» — любое число, не равное нулю, а «m», «n» — любые натуральные числа такие, что «m > n».
Как умножать числа с разными степенями?
Как складывать числа с одинаковыми основаниями но разными степенями?
Как складывать числа с одинаковыми степенями
Если степени одинаковые, а основания разные, то нельзя сложить основания и затем эту сумму возводить в степень. Сначала возводим каждое число в степень и затем выполняем сложение.
Что делают при умножении степеней с разными основаниями?
1) Если надо умножить два числа с одинаковыми основаниями, но разными показателями степеней, то общее основание возводится в сумму степеней. 2) Если основания разные, а показатели одинаковые, то нужно возводить в степень произведение оснований.
В каком случае степени умножаются?
Когда возводим степень в степень, то основание степени остается неизмененным, а показатели степеней умножаются друг на друга.
Как решить число в степени?
Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем.
Как умножать дроби с разными степенями?
Чтобы перемножить дроби, числители и знаменатели которых являются многочленами, необходимо:
Что делать если показатели степени одинаковые?
Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, достаточно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.
Как сократить дробь со степенью?
Степени сокращаем на степень с наименьшим показателем. Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на один и тот же делитель, а при делении степеней показатели вычитаем. a² и a⁷ сокращаем на a².
Как возвести в неправильную дробь?
Чтобы смешанное число перевести в неправильную дробь, надо: 1) Целую часть умножить на знаменатель и к произведению прибавить числитель. Результат записать в числитель. 2) Знаменатель переписать без изменения.
Как умножить число со степенью на обычное число?
Как решать примеры с отрицательными степенями?
Чтобы возвести число в отрицательную степень нужно:
Что значит число в нулевой степени?
Любое число в нулевой степени равно единице.
