Знакомство с матрицами
Понятие и базовые операции.
Разработчики нейросетей говорят, что все нейросети — это просто бесконечное перемножение матриц. Мы решили разобраться, что это за матрицы и как их перемножать, а для этого пришлось полезть в линейную алгебру. И это оказалось не так сложно, как мы думали:
Вектор — это «кирпичик» линейной алгебры. На его основе мы переходим к понятию матрицы.
Что такое матрица
Если вектор — это строка с числами в определённом порядке, то матрица — это таблица с числами в определённом порядке. Как у любой таблицы, у матрицы есть столбцы и строки. В них сидят какие-то числа. Всё вместе — это математический объект, то есть в каких-то случаях всю эту таблицу можно рассматривать как единое целое и совершать с ним операции.
Матрицы принято обозначать большими буквами латинского алфавита вроде А, В, С, D и так далее.
Числа внутри матрицы называют элементами. Каждый элемент обозначается двумя цифрами: первая цифра указывает на строку, а вторая — на столбец. Это адрес числа внутри матрицы. Например, элемент А₂₃ означает, что нужное число находится во второй строке и третьем столбце. Нумерация элементов нужна для записи формул и устного объяснения того, где находится нужное число в матрице.
В матрице может находиться неограниченное количество строк, столбцов и элементов. Из-за этого матрицы бывают разных видов и могут обладать разными особенностями. Например, если в матрице совпадает число строк и столбцов, то такая матрица называется квадратной.
В этой статье и в следующих материалах мы будем рассматривать разные виды матрицы и постепенно изучим их особенности.
Общая схема матрицы 
Пример квадратной матрицы с пятью строками и столбцами. Записывается как матрица размера 5×5. В числовой матрице мы не нумеруем элементы — они закрепляются за числами по умолчанию. Например, элементу А₂₃ соответствует число три
Простые операции с матрицами
Вынесение минуса за пределы матрицы. Если внутри матрицы у большинства элементов знак минус, то часто это мешает расчётам или приводит к ошибкам. Чтобы этого избежать, от минуса избавляются. Для этого нужно вынести минус за пределы матрицы и изменить знак всех элементов внутри самой матрицы.
И наоборот: если внутри матрицы у большинства элементов знак минус и перед матрицей стоит минус, то минус можно внести в матрицу.
Выносим минус за пределы матрицы и получаем вместо двадцати одного отрицательного элемента — четыре 
Перед матрицей минус, и внутри у большинства элементов минус. Вносим минус в матрицу и делаем её удобной для дальнейших вычислений
Умножение матрицы на число. Для умножения матрицы на число достаточно каждый элемент матрицы умножить на это число.
Пример умножения матрицы на число
Транспонирование матрицы. Это операция, которая позже нам понадобится для решения матричных уравнений. Для транспонирования мы берём известную матрицу, меняем в ней местами строки со столбцами и получаем новую матрицу. Как бы поставили матрицу набок.
⚠️ При этом в матрице запрещено в произвольном порядке менять элементы. Зато можно полностью менять местами строки или столбцы. Если мы поменяем местами первую и вторую строку, то это останется прежняя матрица.
Схема транспонирования матриц: первая строка переходит в первый столбец, вторая строка — во второй столбец и так далее в зависимости от количества элементов матрицы 
Пример транспонирования. Транспонированная матрица обозначается буквой той же матрицы, из которой она получилась + надстрочечный индекс в виде печатной буквы «Т» 
Матрицу можно перетасовывать, но это нужно делать по правилам. Транспонирование — одно из таких правил
Сложение и вычитание матриц
Если в нескольких матрицах совпадает число строк и столбцов, то мы можем их складывать и вычитать. Для вычислений нам нужно поэлементно сложить или вычесть каждый элемент матриц: первый элемент первой матрицы складываем с первым элементом второй матрицы или вычитаем из него и так далее. В результате получаем новую матрицу.
Пример сложения двух прямоугольных матриц с тремя строками и двумя столбцами 
Пример вычитания двух матриц
Умножение матриц
Матрицы умножаются по принципу строка на столбец. Мы умножаем первую строку первой матрицы, на первый столбец второй матрицы, складываем результаты и получаем первый элемент новой матрицы. По аналогичной схеме вычисляем все остальные элементы. Звучит запутанно, поэтому идём по шагам:
Если нам нужно найти матрицу в квадрате, то мы умножаем эту матрицу на саму себя. Если нужна матрица в кубе — умножаем её на саму себя три раза и так далее в зависимости от количества степеней. Если в одной из матриц все элементы нули, то она считается нулевой и после умножения на другую матрицу даёт нулевую матрицу — это как нуль умноженный на число всегда даёт нуль.
Формула умножения матриц 
Пример умножения квадратных матриц размерностью 2×2
Что дальше
В следующий раз продолжим знакомиться с базовыми понятиями, которые нам понадобятся для решения матричных уравнений. А на сегодня Нео свободен 👽
Матричное умножение. Медленное достижение мифической цели
В недавней работе был установлен новый рекорд скорости по умножению двух матриц. Она также знаменует и конец эпохи для метода, который ученые применяли для исследований на протяжении десятилетий.
Математики стремятся к достижению мифической цели — второй степени (exponent two), то есть к умножению пары матриц n х n всего за n 2 шагов. Исследователи подбираются все ближе к своей цели, но получится ли у них когда-нибудь достичь ее?
Для специалистов в области Computer Science и математиков сама идея о «второй степени» связана с представлениями о совершенном мире.
«Трудно разграничить научное мышление и беспочвенные мечтания», — признается Крис Уманс из Калифорнийского технологического института. «Я хочу, чтобы степень была равна двум, потому что это красиво».
С точки зрения необходимого количества шагов «вторая степень» — это идеальная скорость выполнения одной из самых фундаментальных математических операций — матричного умножения. Если вторая степень достижима, то матричное умножение получится выполнять максимально быстро, насколько это физически возможно. Если это не так, то мы застряли в мире, который не соответствует нашим мечтам.
Матрицы представляют собой массивы чисел. Когда две матрицы согласованы (число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором), их можно перемножить, чтобы получить третью. Например, если вы начнете с пары матриц 2 х 2, их произведение также будет матрицей 2 х 2, содержащей четыре элемента. В более общем смысле, произведение пары матриц размером n х n представляет собой другую матрицу размером n х n с n 2 элементами.
И хотя никто точно не знает, можно ли этого достичь, исследователи продолжают продвигаться в этом направлении.
Статья, опубликованная в октябре, подбирается к цели еще ближе и описывает самый быстрый на данный момент метод умножения двух матриц. Результат, который получили Джош Алман, докторант Гарвардского университета, и Вирджиния Василевска Уильямс из Массачусетского технологического института, уменьшает степень предыдущего лучшего показателя примерно на одну стотысячную. Это действительно большое достижение в данной области, добытое кропотливым трудом.
Чтобы получше разобраться в этом процессе и понять, как его можно усовершенствовать, давайте начнем с пары матриц 2 х 2, A и B. При вычислении каждого элемента их произведения вы используете соответствующую строку из A и соответствующий столбец из B. Чтобы получить верхний правый элемент, умножьте первое число в первой строке A на первое число во втором столбце B, затем умножьте второе число в первой строке A на второе число во втором столбце B и сложите эти два произведения.
Самуэль Веласко / Quanta Magazine
Эта операция известна как получение «скалярного произведения» строки со столбцом (иногда называется «внутренним произведением»). Чтобы вычислить другие элементы в произведении матриц, повторите процедуру с соответствующими строками и столбцами.
В целом, классический метод умножения матриц 2 х 2 состоит из восьми умножений и нескольких сложений. Как правило, этот способ умножения двух матриц размера n х n требует n 3 умножений.
С увеличением размера матриц количество умножений, необходимых для нахождения их произведения, растет намного быстрее, чем количество сложений. Чтобы найти произведение матриц 2 х 2 требуется всего восемь промежуточных умножений, а чтобы найти произведение матриц 4 х 4 их требуется уже 64. Однако количество сложений, необходимых для получения суммы этих матриц, не так значительно отличается. Обычно количество сложений равно количеству элементов в матрице, то есть четыре для матриц 2 х 2 и 16 для матриц 4 х 4. Эта разница между сложением и умножением позволяет понять, почему исследователи измеряют скорость умножения матриц исключительно с точки зрения количества требуемых умножений.
«Умножения — это наше всё, — утверждает Уманс, — Показатель степени в итоге полностью зависит только от количества умножений. Сложения в некотором смысле исчезают».
На протяжении веков люди считали, что n 3 — это самый быстрый способ умножения матриц. По имеющимся сведениям, в 1969 году Фолькер Штрассен намеревался доказать, что невозможно умножить матрицы 2 х 2, используя менее восьми умножений. Видимо, он все-таки не смог найти доказательства, а через некоторое время и понял почему: на самом деле, существует способ сделать это с помощью семи умножений!
Штрассен придумал сложный набор соотношений, которые позволили заменить одно из этих восьми умножений 14 дополнительными сложениями. Может показаться, что разница совершенно незначительна, но она оправдывает себя, так как умножение вносит больший вклад, чем сложение. Найдя способ избавиться от одного умножения для маленьких матриц 2 х 2, Штрассен открыл возможность, которую он мог использовать при умножении бOльших матриц.
«Это крошечное изменение приводит к огромным улучшениям в работе с большими матрицами», — говорит Уильямс.
Вирджиния Василевска Уильямс из Массачусетского технологического института и Джош Алман из Гарвардского университета открыли самый быстрый способ перемножения двух матриц за n 2.3728596 шагов. Джаред Чарни; Ричард Т.К. Хоук
Предположим, вы хотите перемножить пару матриц 8 х 8. Один из способов сделать это — разбить каждую большую матрицу на четыре матрицы размером 4 х 4 так, чтобы каждая имела по четыре элемента. Поскольку элементы матрицы также могут являться матрицами, вы можете считать исходные матрицы парой матриц 2 х 2, каждый из четырех элементов которых сам по себе является матрицей 4 х 4. Посредством некоторых манипуляций каждая из этих матриц размером 4 х 4 может быть разбита на четыре матрицы размером 2 х 2.
Смысл этого многократного разбиения больших матриц на более мелкие заключается в том, что можно снова и снова применять алгоритм Штрассена к меньшим матрицам и с помощью его метода сокращать количество шагов на каждом этапе. В целом алгоритм Штрассена увеличил скорость умножения матриц с n 3 до n 2.81 мультипликативных шагов.
Следующий важный шаг в развитии идеи произошел в конце 1970-х, когда появился принципиально новый подход к решению этой задачи. Он подразумевает перевод матричного умножения в другую вычислительную задачу линейной алгебры с использованием объектов, называемых тензорами. Тензоры, используемые в этой задаче, представляют собой трехмерные массивы чисел, состоящие из множества различных частей, каждая из которых выглядит как небольшая задача на умножение матриц.
Умножение матриц и эта задача, связанная с тензорами, в определенном смысле эквивалентны друг другу, но для решения последней исследователи уже имели более быстрые процедуры. Таким образом, перед ними встала задача определить «обменный курс» между ними: Матрицы какого размера можно перемножить при тех же вычислительных затратах, которые требуются для решения тензорной задачи?
«Это очень распространенная в теоретической информатике концепция: преобразовывать задачи и проводить аналогию между ними, чтобы показать, что они одинаково простые или сложные», — сказал Алман.
В 1981 году Арнольд Шёнхаге использовал этот подход, чтобы доказать, что умножение матриц возможно выполнить за n 2.522 шагов. Позднее Штрассен назвал этот подход «лазерным методом» (laser method).
За последние несколько десятилетий каждое улучшение в процессе умножения матриц происходило за счет усовершенствования лазерного метода, поскольку исследователи находили все более эффективные способы трансформации задачи. В своем новом доказательстве Алман и Уильямс стирают различие между 2 задачами и показывают, что уменьшить число умножений возможно. «В целом Джош и Вирджиния нашли способ применить машинные вычисления в рамках лазерного метода и получили лучшие на настоящий момент результаты», — сказал Генри Кон из Microsoft Research.
Но, несмотря на все эти гонки и победы, становится ясно, что в случае с этим подходом действует закон убывающей доходности, или убывающей отдачи. Скорее всего, усовершенствование Алмана и Уильямс почти полностью исчерпало возможности лазерного метода, но так и не позволило достичь конечной теоретической цели.
«Маловероятно, что получится приблизиться ко второй степени, используя это семейство методов», — отметил Уманс.
Для этого потребуется открытие новых методов и стойкая вера в то, что это вообще возможно.
Уильямс вспоминает один из разговоров со Штрассеном об этом: «Я спросила его, считает ли он, что возможно получить вторую степень для матричного умножения, и он ответил: «Нет, нет, нет, никогда!».
Умножение матриц: примеры, алгоритм действий, свойства произведения
Произведение двух матриц
Произведение матриц (С= АВ) — операция только для согласованных матриц А и В, у которых число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В:
C ⏟ m × n = A ⏟ m × p × B ⏟ p × n
Вычислим произведения АВ=ВА:
Решение, используя правило умножения матриц:
А ⏟ 2 × 3 × В ⏟ 3 × 2 = 1 2 1 0 1 2 × 1 0 0 1 1 1 = 1 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 1 = = 2 3 2 3 ⏟ 2 × 2
В ⏟ 3 × 2 × А ⏟ 2 × 3 = 1 0 0 1 1 1 × 1 2 1 0 1 2 = 1 × 1 + 0 × 0 1 × 2 + 0 × 1 1 × 1 + 0 × 2 0 × 1 + 1 × 0 0 × 2 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 2 1 × 1 + 1 × 0 1 × 2 + 1 × 1 1 × 1 + 1 × 2 = 1 2 1 0 1 2 1 3 3 ⏟ 3 × 3
Свойства умножения матриц
Свойства умножения матриц:
Проверяем свойство №1: ( А В ) С = А ( В С ) :
Проверяем свойство №2: А ( В + С ) = А В + А С :
Произведение трех матриц
Произведение трех матриц А В С вычисляют 2-мя способами:
Перемножить матрицы 2-мя способами:
Алгоритм действий:
Используем формулу А В С = ( А В ) С :
Умножение матрицы на число
Произведение матрицы А на число k — это матрица В = А k того же размера, которая получена из исходной умножением на заданное число всех ее элементов:
Свойства умножения матрицы на число:
Найдем произведение матрицы А = 4 2 9 0 на 5.
5 А = 5 4 2 9 0 5 × 4 5 × 2 5 × 9 5 × 0 = 20 10 45 0
Умножение матрицы на вектор
Чтобы найти произведение матрицы и вектора, необходимо умножать по правилу «строка на столбец»:
А В = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а m 1 а m 2 ⋯ а m n b 1 b 2 ⋯ b 1 n = a 11 × b 1 + a 12 × b 2 + ⋯ + a 1 n × b n a 21 × b 1 + a 22 × b 2 + ⋯ + a 2 n × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 × b 1 + a m 2 × b 2 + ⋯ + a m n × b n = c 1 c 2 ⋯ c 1 m
А В = а а ⋯ а b b ⋯ b = a 1 × b 1 a 1 × b 2 ⋯ a 1 × b n a 2 × b 1 a 2 × b 2 ⋯ a 2 × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n × b 1 a n × b 2 ⋯ a n × b n = c 11 c 12 ⋯ c 1 n c 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ c n 1 c n 2 ⋯ c n n
Найдем произведение матрицы А и вектора-столбца В :
Найдем произведение матрицы А и вектора-строку В :
Как находить произведение матриц. Умножение матриц. Скалярное произведение матриц. Произведение трех матриц
С матрицами (таблицами с числовыми элементами) могут проводиться различные вычислительные действия. Одни из них – умножение на число, вектор, другую матрицу, несколько матриц. Произведение иногда получается неверным. Ошибочный результат – итог незнания правил выполнения вычислительных действий. Давайте разберемся, как следует осуществлять умножение.
Матрица и число
Начнем с самого простого – с умножения таблицы с числами на конкретную величину. Например, мы имеем матрицу A с элементами aij (i – это номера строк, а j – это номера столбцов) и число e. Произведением матрицы на число e будет матрица B с элементами bij, которые находятся по формуле:
Вам будет интересно: Обомлеть — это что значит? Определение и синонимы
Т. е. для получения элемента b11 нужно взять элемент a11 и умножить его на нужное число, для получения b12 требуется найти произведение элемента a12 и числа e и т. д.
Решим задачу № 1, представленную на картинке. Для получения матрицы B просто умножим элементы из A на 3:
Таким образом, мы получили прямоугольный массив с числовыми элементами.
Векторы и условие существования произведения матриц
В математических дисциплинах существует такое понятие, как «вектор». Под этим термином понимается упорядоченный набор величин от a1 до an. Они называются координатами векторного пространства и записываются в виде столбца. Еще есть термин «транспонированный вектор». Его компоненты располагаются в виде строки.
Векторы можно называть матрицами:
При выполнении над матрицами операций умножения важно помнить о том, что есть условие существования произведения. Вычислительное действие A × B может быть выполнено только тогда, когда число столбцов в таблице A равно числу строчек в таблице B. Итоговая матрица, получаемая в результате вычисления, всегда имеет число строк таблицы A и число столбцов таблицы B.
При умножении не рекомендуется переставлять местами матрицы (множители). Их произведение обычно не соответствует коммутативному (переместительному) закону умножения, т. е. результат операции A × B не равен результату операции B × A. Такая особенность именуется некоммутативностью произведения матриц. В некоторых случаях результат умножения A × B равен результату умножения B × A, т. е. произведение коммутативно. Матрицы, при которых равенство A × B = B × A выполняется, называются перестановочными. С примерами таких таблиц можно ознакомиться ниже.
Умножение на вектор-столбец
Вам будет интересно: Инженерия знаний. Искусственный интеллект. Машинное обучение
При выполнении умножения матрицы на вектор-столбец обязательно учитываем условие существования произведения. Число столбцов (n) в таблице должно совпадать с количеством координат, из которых составлен вектор. Результат вычисления – преобразованный вектор. Его количество координат равно числу строчек (m) из таблицы.
Как вычисляются координаты вектора y, если есть матрица A и вектор x? Для расчетов созданы формулы:
y1 = a11x1 + a12x2 + … + a1nxn,
y2 = a21x1 + a22x2 + … + a2nxn,
ym = am1x1 + am2x2 + … + amnxn,
где x1, …, xn – координаты из x-вектора, m – число строк в матрице и количество координат в новом y-векторе, n – число столбцов в матрице и количество координат в x-векторе, a11, a12, …, amn – элементы матрицы A.
Таким образом, для получения i-й компоненты нового вектора выполняется скалярное произведение. Из матрицы A берется i-я вектор-строка, и она умножается на имеющийся вектор x.
Решим задачу № 2. Произведение матрицы на вектор найти можно, ведь A имеет 3 столбца, и x состоит из 3 координат. В результате мы должны получить вектор-столбец с 4 координатами. Воспользуемся вышеуказанными формулами:
Умножение вектор-строки на матрицу
Нельзя умножить матрицу, состоящую из нескольких столбцов, на вектор-строку. В таких случаях не выполняется условие существования произведения. А вот умножение вектор-строки на матрицу возможно. Эта вычислительная операция выполняется при совпадении количества координат в векторе и числа строк в таблице. Результат произведения вектора на матрицу – новая вектор-строка. Ее количество координат должно равняться числу столбцов в матрице.
Вычисление первой координаты нового вектора подразумевает умножение вектор-строки и первого вектор-столбца из таблицы. Аналогичным способом производится расчет второй координаты, но вместо первого вектор-столбца берется уже второй вектор-столбец. Вот общая формула для вычисления координат:
yk = a1kx1 + a2kx2 + … + amkxm,
где yk – координата из y-вектора, (k находится в промежутке от 1 до n), m – число строк в матрице и количество координат в x-векторе, n – число столбцов в матрице и количество координат в y-векторе, a с буквенно-цифровыми индексами – элементы матрицы A.
Произведение прямоугольных матриц
Это вычислительное действие может показаться сложным. Однако умножение легко выполняется. Начнем с определения. Произведение матрицы A с m строками и n столбцами и матрицы B с n строками и p столбцами – это матрица C с m строками и p столбцами, в которой элемент cij представляет собой сумму произведений элементов i-й строки из таблицы A и j-го столбца из таблицы B. Если говорить более простым языком, то элемент cij – это скалярное произведение i-й вектор-строчки из таблицы A и j-го вектор-столбца из таблицы B.
Теперь разберемся на практике в том, как находить произведение матриц прямоугольного вида. Решим для этого задачу № 3. Условие существования произведения выполняется. Приступим к расчету элементов cij:
Вам будет интересно: Изотоп лития: определение и применение
Элементы рассчитаны. Теперь осталось только составить прямоугольный блок из полученных чисел.
| 16 | 12 | 9 |
| 31 | 18 | 36 |
Умножение трех матриц: теоретическая часть
Можно ли найти произведение трех матриц? Эта вычислительная операция выполнима. Результат можно получить несколькими способами. Например, есть 3 квадратных таблицы (одного порядка) – A, B и C. Чтобы вычислить произведение, можно:
Если требуется перемножить матрицы прямоугольного вида, то сначала нужно удостовериться в том, что данная вычислительная операция возможна. Должны существовать произведения A × B и B × C.
Поэтапное умножение не является ошибкой. Есть такое понятие, как «ассоциативность умножения матриц». Под этим термином понимается равенство (A × B) × C = A × (B × C).
Умножение трех матриц: практика
Квадратные матрицы
Начнем с умножения небольших квадратных матриц. Ниже на рисунке представлена задача № 4, которую нам предстоит решить.
Будем пользоваться свойством ассоциативности. Перемножим сперва либо A и B, либо B и C. Помним только одно: нельзя переставлять местами множители, т. е. нельзя умножать B × A или C × B. При таком умножении мы получим ошибочный результат.
Шаг первый. Для нахождения общего произведения умножим сначала A на B. При умножении двух матриц будем руководствоваться теми правилами, которые были изложены выше. Итак, результатом умножения A и B будет матрица D с 2 строчками и 2 столбцами, т. е. прямоугольный массив будет включать в себя 4 элемента. Найдем их, выполнив расчет:
Промежуточный результат готов.
Шаг второй. Теперь умножим матрицу D на матрицу C. Результатом должна быть квадратная матрица G с 2 строками и 2 столбцами. Рассчитаем элементы:
Таким образом, результатом произведения квадратных матриц является таблица G с вычисленными элементами.
Прямоугольные матрицы
Ниже на рисунке представлена задача № 5. Требуется перемножить прямоугольные матрицы и найти решение.
Проверим, выполняется ли условие существования произведений A × B и B × C. Порядки указанных матриц позволяют нам выполнять умножение. Приступим к решению задачи.
Шаг первый. Умножим B на C для получения D. Матрица B содержит 3 строчки и 4 столбца, а матрица C – 4 строчки и 2 столбца. Это значит, что матрица D у нас получится с 3 строчками и 2 столбцами. Рассчитаем элементы. Вот 2 примера вычислений:
Продолжаем решать задачу. В результате дальнейших вычислений мы находим значения d21, d22, d31 и d32. Эти элементы равны 0, 19, 1 и 11 соответственно. Запишем найденные значения в прямоугольный массив.
Шаг второй. Умножим A на D, чтобы получить итоговую матрицу F. В ней будет 2 строчки и 2 столбца. Рассчитаем элементы:
Составим прямоугольный массив, являющийся конечным результатом умножения трех матриц.
Знакомство с прямым произведением
Достаточно сложным для понимания материалом является кронекеровское произведение матриц. У него есть еще дополнительное название – прямое произведение. Что же понимается под этим термином? Допустим, у нас есть таблица A порядка m × n и таблица B порядка p × q. Прямым произведением матрицы A на матрицу B является матрица порядка mp × nq.
У нас есть 2 квадратные матрицы A, B, которые представлены на картинке. Первая из них состоит из 2 столбцов и 2 строк, а вторая – из 3 столбцов и 3 строк. Мы видим, что матрица, полученная в результате прямого произведения, состоит из 6 строк и точно такого же количества столбцов.
Как при прямом произведении вычисляют элементы новой матрицы? Найти ответ на этот вопрос очень легко, если проанализировать рисунок. Сначала заполняют первую строку. Берут первый элемент из верхней строчки таблицы A и последовательно умножают на элементы первой строки из таблицы B. Далее берут второй элемент первой строчки таблицы A и последовательно умножают на элементы первой строки таблицы B. Для заполнения второй строки снова берут первый элемент из первой строки таблицы A и умножают его на элементы второй строки таблицы B.
Итоговую матрицу, получаемую прямым произведением, называют блочной. Если вновь проанализировать рисунок, то можно заметить, что наш результат состоит из 4 блоков. Все они включают элементы матрицы B. Дополнительно элемент каждого блока умножен на конкретный элемент матрицы A. В первом блоке все элементы умножены на a11, во втором – на a12, в третьем – на a21, в четвертом – на a22.
Определитель произведения
При рассмотрении темы, касающейся умножения матриц, стоит еще рассмотреть такой термин, как «определитель произведения матриц». Что такое определитель? Это важная характеристика квадратной матрицы, определенное значение, которое ставится в соответствие этой матрице. Буквенное обозначение определителя – det.
Для матрицы A, состоящей из двух столбцов и двух строчек, определитель легко найти. Существует небольшая формула, представляющая собой разность произведений конкретных элементов:
det A = a11 × a22 – a12 × a21.
Рассмотрим пример вычисления определителя для таблицы второго порядка. Существует матрица A, в которой a11 = 2, a12 = 3, a21 = 5 и a22 = 1. Для вычисления определителя воспользуемся формулой:
det A = 2 × 1 – 3 × 5 = 2 – 15 = –13.
У матриц 3 × 3 определитель вычисляется по более сложной формуле. Она представлена ниже для матрицы A:
det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a13a22a31 – a11a23a32 – a12a21a33.
Для запоминания формулы придумали правило треугольника, которое проиллюстрировано на картинке. Сначала умножаются элементы главной диагонали. К полученному значению прибавляются произведения тех элементов, на которые указывают углы треугольников с красными сторонами. Далее отнимается произведение элементов побочной диагонали и отнимаются произведения тех элементов, на которые указывают углы треугольников с синими сторонами.
Вам будет интересно: Погранвойска СССР: знаки отличия, функции, структура
Теперь поговорим об определителе произведения матриц. Существует теорема, которая гласит, что данный показатель равен произведению определителей таблиц-сомножителей. Убедимся в этом на примере. У нас есть матрица A с элементами a11 = 2, a12 = 3, a21 = 1 и a22 = 1 и матрица B с элементами b11 = 4, b12 = 5, b21 = 1 и b22 = 2. Найдем определители для матриц A и B, произведение A × B и определитель этого произведения.
Шаг первый. Вычислим определитель для A: det A = 2 × 1 – 3 × 1 = –1. Далее вычислим определитель для B: det B = 4 × 2 – 5 × 1 = 3.
Шаг второй. Найдем произведение A × B. Новую матрицу обозначим буквой C. Вычислим ее элементы:
Шаг третий. Вычислим определитель для C: det C = 11 × 7 – 16 × 5 = –3. Сравним со значением, которое могло бы получиться при умножении определителей исходных матриц. Числа одинаковые. Вышеуказанная теорема верна.
Ранг произведения
Ранг матрицы – это характеристика, отражающая максимальное количество линейно независимых строк или столбцов. Для вычисления ранга выполняют элементарные преобразования матрицы:
После элементарных преобразований смотрят на количество ненулевых строк. Их число – это и есть ранг матрицы. Рассмотрим предыдущий пример. В нем было представлено 2 матрицы: A с элементами a11 = 2, a12 = 3, a21 = 1 и a22 = 1 и B с элементами b11 = 4, b12 = 5, b21 = 1 и b22 = 2. Также будем использовать матрицу C, полученную в результате умножения. Если мы выполним элементарные преобразования, то в упрощенных матрицах нулевых строк не будет. Это значит, что и ранг таблицы A, и ранг таблицы B, и ранг таблицы C равен 2.
Теперь особое внимание уделим рангу произведения матриц. Существует теорема, которая гласит, что ранг произведения таблиц, содержащих числовые элементы, не превышает ранга любого из сомножителей. Это можно доказать. Пусть A – это матрица размера k × s, а B – это матрица размера s × m. Произведение A и B равно C.
Изучим рисунок, представленный выше. На нем изображен первый столбец матрицы C и его упрощенная запись. Этот столбец – линейная комбинация столбцов, входящих в матрицу A. Аналогичным образом можно сказать о любом другом столбце из прямоугольного массива C. Таким образом, подпространство, образованное векторами-столбцами таблицы C, имеется в подпространстве, образованном векторами-столбцами таблицы A. По этой причине размерность подпространства № 1 не превосходит размерности подпространства № 2. Отсюда следует вывод, что ранг по столбцам таблицы C не превышает ранга по столбцам таблицы A, т. е. r(C) ≤ r(A). Если рассуждать аналогичным образом, то можно убедиться в том, что строчки матрицы C – это линейные комбинации строчек матрицы B. Из этого следует неравенство r(C) ≤ r(B).
Как находить произведение матриц – достаточно сложная тема. Ее можно легко освоить, но для достижения такого результата придется уделить немало времени заучиванию всех существующих правил и теорем.
