можно ли упрощать функцию

Учитель информатики

Сайт учителя информатики. Технологические карты уроков, Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ, полезный материал и многое другое.

Преобразование логических выражений

Информатика. 10 класса. Босова Л.Л. Оглавление

§ 20. Преобразование логических выражений

Способ определения истинности логического выражения путём построения его таблицы истинности становится неудобным при увеличении количества логических переменных, т. к. за счёт существенного увеличения числа строк таблицы становятся громоздкими. В таких случаях выполняются преобразования логических выражений в равносильные. Для этого используют свойства логических операций, которые иначе называют законами алгебры логики.

20.1. Основные законы алгебры логики.

Приведём основные законы алгебры логики.

1. Переместительные (коммутативные) законы:

2. Сочетательные (ассоциативные) законы:

(A v В) v С = A v (В v С).

3. Распределительные (дистрибутивные) законы:

A v (В & С) = (A v В) & (A v С).

4. Законы идемпотентности (отсутствия степеней и коэффициентов):

5. Закон противоречия:

6. Закон исключённого третьего:

7. Закон двойного отрицания:

8. Законы работы с константами:

9. Законы де Моргана:

10. Законы поглощения:

Справедливость законов можно доказать построением таблиц истинности.

Пример 1. Упростим логическое выражение

Последовательно применим дистрибутивный закон и закон исключённого третьего:

Пример 2. Упростим логическое выражение

Аналогичные законы выполняются для операций объединения, пересечения и дополнения множеств. Например:

Пробуйте самостоятельно доказать один из этих законов с помощью кругов Эйлера.

Пример 3. На числовой прямой даны отрезки В = [2; 12] и С = [7; 18]. Каким должен быть отрезок А, чтобы предикат

становился истинным высказыванием при любых значениях х.

Преобразуем исходное выражение, избавившись от импликации:

причём это минимально возможное множество А.

Множество В — это отрезок [2; 12].

Изобразим это графически:

Пересечением этих множеств будет служить промежуток [2; 7[. В качестве ответа мы можем взять этот промежуток, а также любой другой, его включающий.

Чему равна минимальная длина отрезка А? Укажите ещё несколько вариантов множества А.

Пример 4. Для какого наименьшего неотрицательного целого десятичного числа а выражение

тождественно истинно (т. е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении десятичной переменной х)? Здесь & — поразрядная конъюнкция двух неотрицательных целых десятичных чисел.

Прежде всего, вспомним, что представляет собой поразрядная конъюнкция двух целых десятичных чисел, например 27 и 22.

Обратите внимание на то, что если в некотором бите хотя бы одного сомножителя есть 0, то 0 есть и в этом бите результата, а 1 в результате получается только тогда, когда в соответствующих битах каждого сомножителя есть 1.

Перепишем исходное выражение в наших обозначениях:

Рассмотрим предикат М(х) = (х & 28 ≠ 0). В числе 28 = 11100₂ 4-й, 3-й и 2-й биты содержат единицы, а 1-й и 0-й — нули. Следовательно, множеством истинности этого предиката являются такие числа х, у которых хотя бы один из битов с номерами 4, 3 или 2 содержит единицу. Если и 4-й, и 3-й, и 2-й биты числа х нулевые, то высказывание х & 28 ≠ 0 будет ложным.

Рассмотрим предикат N(x) = (х & 45 ≠ 0). В числе 45 = 101101₂ 5-й, 3-й, 2-й и 0-й биты содержат единицы, 4-й и 1-й — нули.

Следовательно, множеством истинности этого предиката являются такие числа х, у которых хотя бы один из битов с номерами 5, 3, 2 или 0 содержит единицу. Если и 5-й, и 3-й, и 2-й, и 0-й биты числа х нулевые, то высказывание х & 45 ≠ 0 будет ложным.

Рассмотрим предикат К(х) = (х & 17 = 0). В числе 17 = 10001₂ 3-й, 2-й и 1-й биты содержат нули, 4-й и 0-й — единицы. Побитовая конъюнкция 17 и х будет равна нулю, если в числе х 4-й и 0-й биты будут содержать нули. Множество истинности этого предиката — все х с нулями в 4-м и 0-м битах.

По условию задачи надо, чтобы

Запишем это выражение для рассмотренных множеств истинности:

Объединением множеств М и N являются все двоичные числа, у которых хотя бы один из битов с номерами 5, 4, 3, 2, 0 содержит единицу. Пересечением этого множества с множеством К будут все двоичные числа, у которых биты с номерами 4 и 0 будут заняты нулями, т. е. такие двоичные числа, у которых хотя бы один из битов с номерами 5, 3, 2 содержит 1. Все эти числа образуют множество А.

Искомое число а должно быть таким, чтобы при любом неотрицательном целом значении переменной х: х & а ≠ 0, и кроме того, оно должно быть минимальным из возможных. Этим условиям удовлетворяет число 101100₂. Действительно, единицы в нём стоят в тех и только в тех битах, которые нужны для выполнения условия х & а ≠ 0.

Итак, требуемое число 101100₂ или 44₁₀.

Приведите пример такого десятичного числа а, что для него х & а ≠ 0 при любом неотрицательном целом значении десятичной переменной х, но само число а не является минимально возможным.

Пример 5. Выясним, сколько решений имеет следующая система из двух уравнений:

Конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда истинны все образующие её высказывания. Следовательно, каждая из трёх входящих в конъюнкцию импликаций должна быть равна 1.

Начнем строить дерево решений, представив на нём значения переменных х₁ и х₂ при которых х₁ → х₂ = 1.

Продолжим строить дерево решений. Значения переменной х₃ будем выбирать такими, чтобы при имеющихся х₂ импликация х₂ → х₃ оставалась истинной.

То же самое проделаем для переменной х₄.

На дереве видно, что рассматриваемое нами уравнение имеет 5 решений — 5 разных наборов значений логических переменных x₁, х₂, х₃, х₄, при которых выполняется равенство:

Следовательно, как и первое уравнение, это уравнение имеет 5 решений. Представим их в табличной форме:

Решение исходной системы логических уравнений — это множество различных наборов значений логических переменных х₁, х₂, х₃, х₄, у₁, у₂, у₃, у₄ таких, что при подстановке каждого из них в систему оба уравнения превращаются в истинные равенства.

Начнём строить такие наборы или двоичные цепочки. Их началом может служить любой из пяти наборов — решений первого уравнения, а концом — любой из пяти наборов — решений второго уравнения. Например, на основе одного из решений первого уравнения можно построить следующие пять решений системы:

Всего мы можем построить 5 • 5 = 25 решений системы.

Вспомните, как называется теорема комбинаторики, которую мы применили для подсчёта количества решений системы.

20.2. Логические функции

Значение любого логического выражения определяется значениями входящих в него логических переменных. Тем самым логическое выражение может рассматриваться как способ задания логической функции.

Совокупность значений п аргументов удобно интерпретировать как строку нулей и единиц длины n. Существует ровно 2 n различных двоичных строк длины n. Так как на каждой такой строке некая функция может принимать значение 0 или 1, общее количество различных булевых функций от n аргументов равно

Для n = 2 существует 16 различных логических функций.

Рассмотрим их подробнее.

С увеличением числа аргументов количество логических функций резко возрастает. Так, для трёх переменных существует 256 различных логических функций! Но изучать их все нет никакой необходимости. Дело в том, что путём преобразований функция любого количества переменных может быть выражена через функции только двух переменных. Более того, можно использовать не все, а лишь некоторые логические функции двух переменных. Например:

1) F₂ и F₁₁ (конъюнкция и отрицание второго аргумента);

2) F₈ и F₁₃ (дизъюнкция и отрицание первого аргумента);

3) F₉ (стрелка Пирса, отрицание дизъюнкции);

4) F₁₅ (штрих Шеффера, отрицание конъюнкции).

Два последних примера говорят о том, что при желании всю алгебру логики можно свести к одной функции! Но чаще всего логические функции записываются в виде логического выражения через отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию.

20.3. Составление логического выражения по таблице истинности и его упрощение

Ранее мы выяснили, что для любого логического выражения можно составить таблицу истинности. Справедливо и обратное: для всякой таблицы истинности можно составить соответствующее ей логическое выражение.

Алгоритм составления логического выражения по таблице истинности достаточно прост. Для этого надо:

1) отметить в таблице истинности наборы переменных, при которых значение логического выражения равно единице;
2) для каждого отмеченного набора записать конъюнкцию всех переменных следующим образом: если значение некоторой переменной в этом наборе равно 1, то в конъюнкцию включаем саму переменную, в противном случае — её отрицание;
3) все полученные конъюнкции связать операциями дизъюнкции.

Пример 6. Имеется следующая таблица истинности:

После выполнения двух первых шагов алгоритма получим:

После выполнения третьего шага получаем логическое выражение:

Попробуем упростить полученное логическое выражение. Прежде всего, вынесем за скобки В — общий сомножитель, имеющийся у всех трёх слагаемых, затем — сомножитель

, а далее используем законы алгебры логики.

САМОЕ ГЛАВНОЕ

Логическая функция может быть задана с помощью таблицы истинности или аналитически, т. е. с помощью логического выражения.

Для всякой таблицы истинности можно составить соответствующее ей логическое выражение.

Вопросы и задания

1. Какие из рассмотренных законов алгебры логики аналогичны законам алгебры чисел, а какие нет?

2. Докажите второй закон де Моргана с помощью таблиц истинности.

3. Путём преобразования докажите равносильность следующих высказываний:

4. Упростите логические формулы:

*5. Найдите X,

6. На числовой прямой даны два отрезка: Р = [10; 25] и Q = [20; 55]. Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка А, что выражение (х ∈ А) → ((х ∈ Р) v (x ∈ Q)) истинно при любом значении переменной х.

7. Элементами множеств А, Р и Q являются натуральные числа, причём Р = <2, 4, 6, 8, 10, 12>и Q = <2, 6, 12, 18, 24>.

Известно, что выражение

истинно при любом значении переменной х. Определите наименьшее возможное количество элементов множества А.

*8. На числовой прямой даны два отрезка: М = [10; 60] и N = [40; 80]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка А, что выражение

истинно при любом значении переменной х.

9. Для какого наименьшего неотрицательного целого десятичного числа А формула x & 25 ≠ 0 → (x & 17 = 0 → (x & А ≠ 0) тождественно истинна, т. е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении десятичной переменной х? (Здесь & — поразрядная конъюнкция двух неотрицательных целых десятичных чисел.)

*10. Определите наибольшее натуральное десятичное число А, при котором выражение ((x & 46 = 0) v (х & 18 = 0)) → ((х & 115 ≠ 0) v (х & А = 0)) тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при любом натуральном значении десятичной переменной х. (Здесь & — поразрядная конъюнкция двух неотрицательных целых десятичных чисел.)

11. Сколько различных решений имеет система уравнений:

12. Сколько существует различных логических функций от четырёх переменных?

13. По заданной таблице истинности составьте логические выражения для функций F₁, F₂.

14. По известным таблицам истинности запишите аналитическое представление импликации, эквиваленции и строгой дизъюнкции.

15. Логические функции штрих Шеффера и стрелка Пирса названы так в честь математиков, исследовавших их свойства. Подготовьте краткую биографическую справку об одном из этих учёных.

16. По заданной таблице истинности составьте логические выражения для функций F₁, F₂.

17. Запишите логическое выражение для логической функции F(A, В, С), равной 1 на наборах 011, 101, 110, 111. Попытайтесь упростить полученное выражение.

Можно ли упрощать функцию

Логические операции (конъюнкция, дизъюнкция, инверсия)

Таблица истинности: К онъюнкция (логическое умножение, логическое И) обозначается /\

(например, А /\ В) либо & (например, А & В); в языках программирования обозначение «And».

Таблица истинности: Дизъюнкция (логическое сложение, логическое ИЛИ) обозначается \/ (например, А \/ В);

в языках программирования обозначение «Or».

Инверсией двух высказываний называется новое высказывание, которое истинное тогда и только тогда, когда исходное высказывание ложно.

Название логической операции

Конъюнкция, логическое умножение

Дизъюнкция, логическое сложение

тогда и только тогда, когда

эквивалентность, эквиваленция, равнозначность

Соединим оба утверждения в одно высказывание:

Составим таблицу истинности на полученное высказывание:

Учитывая то, что предположения двух друзей подтвердились, а предположения третьего неверны, запишем и упростим истинное высказывание

Высказывание истинно только при Ш=1, А=0, Х=0.

Пусть дана таблица истинности для некоторой логической функции Z(X,Y):

Построим истинностную таблицу сложного высказывания :

Очевидно, истинностная таблица будет содержать строк. Скобки применяются, если нарушаются естественный порядок операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, двойная импликация. Скобки (А ® В) указывают на то, что сначала нужно выполнить импликацию, затем найти (А ® В) Ù С. Скобки в выражении можно опустить. Заключительной операцией в построении истинностной таблицы для S будет дизъюнкция двух высказываний: (А ® В) Ù С и .

Источник

Упрощение логических функций

Упрощение логических функций с помощью основных законов алгебры логики

Если сравнить в смысле минимальности различные формы представлений ФАЛ, станет ясно, что нормальные формы экономичнее совершенных нормальных форм. Но, с другой стороны, нормальные формы не дают однозначного представления.

Минимальная форма представления ФАЛ – форма представления ФАЛ, которая содержит минимальное количество термов и переменных в термах (т. е. минимальная форма не допускает никаких упрощений).

Например, функция f(x1, х2,…, хn) = 1+2является минимальной формой и, наоборот, функция 1+12может быть упрощена, если к этому выражению применить распределительный закон, т.е. 1+12=(1+1)( 1+2)= 1+2.

Следовательно, упрощение сложных логических выражений может быть осуществлено по основным законам и аксиомам, изложенным выше.

Пример. Упростить функцию f(A,В,С) = АВ + ВС + ВС + АВ в базисе 1.

Решение. Сначала примем правило а затем упростим функцию.

Пример. Упростить функцию f(A, В, С, D) = АВ + С + A CD + BCD в базисе 1.

Метод минимизирующих карт

Для функций, содержащих не более четырех переменных, удобно проводить минимизацию, пользуясь диаграммами Вейча (картами Карно). При использовании диаграммы Вейча функцию предварительно следует привести к нормальной дизъюнктивной форме (ДНФ).

После того как исходная функция представлена в ДНФ и произведены очевидные упрощения, следует заполнить прямоугольную таблицу, в которой число клеток равно числу возможных минтермов. Каждой клетке таблицы ставится в соответствие определенная конъюнкция, причем делается это таким образом, чтобы в соседних клетках (снизу и сверху, слева и справа) конъюнкции отличались не более чем одним сомножителем. При заполнении таблицы в соответствующую клетку ставится 1, если минимизируемая функция при данном наборе аргументов равна единице, т. е. в том случае, когда равенство единице конъюнкции, соответствующей данной клетке, означает равенство единице минимизируемой исходной функции. В остальные клетки таблицы вписываются нули.

В заполненной таблице обводят прямоугольными контурами все единицы и затем записывают минимизированную функцию в виде суммы логических произведений, описывающих эти контуры.

При проведении контуров придерживаются следующих правил:

– контур должен быть прямоугольным;

– внутри контура должны быть только клетки, заполненные единицами;

– число клеток, находящихся внутри контура, должно быть целой степенью числа 2, т. е. может быть равно 1, 2, 4, 8, 16;

– одни и те же клетки, заполненные единицами, могут входить в несколько контуров;

– при проведении контуров самая нижняя и самая верхняя строки таблицы считаются соседними, то же – для крайнего левого и крайнего правого столбцов;

– число контуров должно быть как можно меньшим, а сами контуры как можно большими.

Рассмотрим минимизацию с помощью диаграмм Вейча на примере.

Пример. Минимизировать функцию

Решение. Приводим функцию к ДНФ, пользуясь правилами де Моргана:

Рис. 1. Диаграмма Вейча

Ответ. Минимизированное выражение исходной функции будет следующим:

1. Представим наборы, на которых функция истинна, в виде двоичных эквивалентов.

2. Упорядочим двоичные эквиваленты по ярусам и проведем склейку наборов в соседних ярусах, получая максимальные интервалы до тех пор, пока это возможно, помечаем каждый набор, участвовавший в склейке.

Склеиваются только те наборы или интервалы, различие в которых заключается только в значении одного разряда 001 и 000, 001- и 101- и т.д.

3. Построим таблицу Квайна, столбцы которой соответствуют двоичным наборам истинности функции, а строки – максимальным интервалам. Если i-й набор покрывается j-м интервалом, то ставим 1 на пересечении соответствующих строки и столбца, в противном случае ставим 0 или не ставим ничего.

4. Находим минимальное покрытие таблицы Квайна, состоящее из минимального количества максимальных интервалов, включающих в себя (покрывающих) все наборы, на которых функция истинна.

Рассмотрим функцию f(x1, x2, x3, x4), которая истинна на наборах <1, 3, 5, 7, 11, 13, 15>. СНДФ данной функции такова:

fСНДФ(x1,x2,x3,x4) = 1 234+1234+1 234+ +1234+1 234+1234+1 234+1 234+ +1 234+1 234.

Двоичные эквиваленты истинных наборов следующие:

Упорядочим двоичные наборы по ярусам и проведем склейки до тех пор, пока это возможно:

Затем строим таблицу Квайна:

Таким образом, мы получили минимальную форму исследуемой функции в виде