Мир и еще n миров, или математика для гуманитария
Предисловие
В этой статье вы ознакомитесь с тем, как же всё-таки применяется математика в реальной жизни. Попрошу сразу вас забыть всё то, чему вас учили в школе: математика это не сухие формулы и бесконечные арифметические действия. В первую очередь, математика — это мы и то, что вокруг нас. Прежде чем мы начнём, в своём суждении я допущу следующее: я буду применять математические понятия, которые сразу же буду объяснять простым языком; ведь статья эта, по большей части, была начата лишь с целью примирения гуманитария с реальными миром.
Я не продвинутый математик, я не сын преподавателя мат. анализа, однако я тот человек, который относительно недавно понял, в чём суть науки, которую я представлю здесь. Поскольку большое количество источников написаны людьми, которые предполагают, что читатель заранее знаком с используемой терминологией, я сам сталкивался с громадными сложностями. И поскольку в моём опыте еще свежа та часть моей жизни, где я задавался начальными вопросами и не понимал, куда наступить, я прямо здесь отвечу на вопросы любого начинающего технаря, а сопровождать вас будут мои корявые картинки. И так, наш мир — это …
Представление о человеке
Человек приучен познавать. Если бы не эта особенность, я бы не писал эту статью, а вы бы её не читали. И не факт, что мы бы в принципе могли читать. А что такое человек? Для более детального понимания статьи составим модель человека.
Обозначим некоторое живое существо с определенными внешними чертами и поведением. Назовём его «человек». Поскольку человек — это существо, ему необходимо питаться едой. Пусть наш человек умеет познавать и анализировать для того, чтобы находить оптимальные варианты для выживания. Человеку будет свойственно систематизировать свои знания с целью дальнейшего усвоения различных гипотез и теорий. Человеку свойственно каждую гипотезу и теорию доказывать путём анализа и предыдущего опыта. И так, у нас есть модель человека, модель самих себя. Эта модель без учёта различных погрешностей, так называемая «идеальная» модель, отражает суть человека — учиться для того, чтобы выживать. В реальной же жизни каждый человек очень индивидуален, мы не можем найти два идентичных человека, поэтому мы будем применять именно такие модели, которые пошли из математики — они позволяют упростить наше понимание мира.
Но где живёт наш «модельный» человек?
Немного алгебры
Я введу примитивные понятия вектора, векторного пространства и единичного вектора.
Вектор — это отрезок, имеющий направление. Это понятие поможет нам определить то, как мы видим наш мир.
Векторное пространство — это пространство множества векторов.
Единичный вектор — это вектор длины «единица», начало которого является точкой отсчёта в векторном пространстве.
В нашем случае для простоты я буду производить рассуждения, исходя из двумерного пространства, которое образуется двумя векторами, начала которых исходят из одной точки, называемой точкой отсчёта (рис. 1).
(Рис. 1, Вектор 3 составлен следующим образом: задаём длину вектору 1, проводим из конца вектора 1 прямую, параллельную вектору 2, затем задаём длину вектора 2 и проводим из его конца прямую, параллельную вектору 1; из пересечения проведенных прямых выводим вектор 3 из точки отсчёта. Таким методом можно составить бесчисленное количество векторов, которые будут лежать в одной плоскости.)
Меняя длину векторов 1 и 2, мы выводим бесчисленное множество новых векторов (3, 4, 5, …, n), которые строятся на основе наших двух.
И так, попытаемся понять, как нам поможет математика в решении реальной задачи — понять, как устроен мир. Мы усердно изучали алгебру и геометрию в школе, но с какой целью? Нас пихали бесконечной практикой, которая в действительности-то нам и не нужна. Нам говорили считать непонятные нам уравнения по заданным алгоритмам — это ли математика? Нет. И те, кто её таким образом преподают и понятия, видимо, не имеют, что такое реальная математика, ведь она гораздо проще, чем тонны непонятных уравнений. Моя теория гласит: не важно, чему учить человека — важно лишь заинтересовать его, и он научится сам. И эта теория успешно работает. И сейчас я попытаюсь вам показать, как применяется математика в реальном мире.
Первое предложение, с которого начинается математика: «А что, если…?». А что, если наш мир можно представить такой же моделью, как и человека? Давайте расставим объекты. Из школьного курса физики мы все успешно зазубрили, что живём в матрице все тела состоят из молекул, а те из еще более мелких объектов. Проведя аналогию с компьютерами (так, опять же, проще), представим, что каждая мельчайшая частица — это пиксель. Он имеет набор личных характеристик: цвет, местоположение. Вернемся к нашему двумерному пространству векторов. Если мы введём такое правило: начало каждого нового вектора должно лежать в точке отсчёта; то каждый вектор мы сможем охарактеризовать двумя числами — это его координата по осям, на которых лежат базисные вектора (базисные векторы — те векторы, которые образовали нам пространство выше).
Пусть базисный вектор — это единичный вектор, а все остальные векторы — это комбинации базисных векторов (рис. 2).
(Рис. 2. Зеленый вектор состоит из двух векторов i и из двух векторов j. Векторы i и j — это единичные векторы нашей системы, обозначены для удобства.)
Исходя из предыдущего представим наше пространство вокруг таким образом: каждая мельчайшая частица — это конец вектора. Длина вектора — это расстояние от точки отсчёта до частицы. Представьте наше зрение. Сейчас вы читаете этот текст, и пусть каждая буква — это та самая частица. Расстояние от ваших глаз до этой буквы — это длина вектора. А сам этот вектор — это направление вашего взгляда на букву. И таким образом характеризуется абсолютно всё в нашем мире.
Мы живём в матрице
Человек не может понять, что такое матрица, пока сам её не увидит.
(Рис. 3. В круглых скобках — это матрица. Она образуется так: в левом столбце пишутся координаты базисного вектора i, в правом столбце — координаты базисного вектора j. Мы обозначили их единичными для простоты, соответственно i имеет координату по оси X 1, по оси Y 0, а j — наоборот.)
Матрица характеризует пространство, с которым мы работаем. В данном случае мы видим примитивное пространство, где все описано благодаря понятным нам со школы двум прямым. Если мы будем проделывать манипуляции с матрицей, то мы изменим и объекты (векторы), которые составляют данное пространство. Эту затею пока отложим.
Теперь представим, у нас есть наше векторное пространство, где каждый объект представляется набором пикселей, то есть набором конечных точек векторов. Мы можем нарисовать таким образом абсолютно любой двумерный объект. Представим, что это двумерное пространство — это наш мир (для простоты я не ввожу третье измерение). Наша матрица… она всюду. Именно она описывает то, как мы видим этот мир и как мы взаимодействуем с объектами. Я нарисую красную линию, которая на самом деле является множеством конечных точек векторов (рис. 4, линия 1).
(Рис. 4. Синие векторы составляют красную линию)
Далее я имею право взять её и передвинуть вправо, на место линии 2. Это будет уже другая линия, потому что синие векторы, составляющие её имеют другие координаты. Но эти векторы остаются по-прежнему зависимы между собой, то есть имеют какие-то соотношение друг к другу. Дальше я имею право изогнуть эту линию, получив линию 3, нарушив изначальные отношения между векторами. Они по-прежнему будут зависимы между собой, но уже в «другом формате». Можно и разрушить связь между векторами, разделив эту линию пополам. Тогда две её части уже будут независимы.
Теперь представьте вместо этой линии лист будмаги в нашем пространстве. Я могу проделывать с ним все те же самые действия. Я могу переместить его с края стола на другой край, затем свернуть, а после и разорвать. Таким образом линейная алгебра характеризует наше пространство. И если у нас получается проводить аналогии между нашей 2D моделью и миром, то мы можем пойти дальше.
Наше 2D пространство на самом деле является плоскостью. То есть, посмотрев на это пространство сбоку, мы увидим только прямую линию. Хорошо. У нас есть наша модель мира, мы примерно можем представить, что модель человека находится внутри материальной точки отсчёта (почему материальная точка? потому что мы пренебрегаем размерами и ставим модель ровно в эту точку для удобства). Каждый раз, когда человек двигается в любую из сторон, он на самом деле приближает к себе координаты векторов и отдаляет их от себя.
Еще немного мат. анализа и всё, обещаю
Есть такое понятие, как «предел». На практике записывается оно так: lim; является сокращением от слова limit. Сейчас объясню, зачем оно такое сложное надо. Предел позволяет охарактеризовать последовательность или функцию. Предположим, что у нас есть последовательность чисел 1, 2, 3, …, n. Так вот, если мы говорим о натуральных числах, то эта n будет бесконечной, потому что какое бы число вы ни придумали, я всегда могу дописать к нему еще одну цифру. Возьмём школьную функцию (1/x). Если мы будем брать переменную «х» из чисел последовательности натуральных чисел, то этот «х» мы можем сделать бесконечно большим. А что произойдёт с этой функцией, если «х» станет бесконечно большой? Она будет бесконечно стремиться к нулю, но никогда его не достигнет. Будет бесконечно мала, и будет продолжать уменьшаться бесконечное количество времени. И все равно не сможет достичь нуля. Для общей осведомлённости, такой феномен запишется следующим образом:
(Рис. 5. Читается так: предел функции (1/х) при х, стремящимся к бесконечности, то есть когда х берётся бесконечно больше и больше)
Что теперь с этим делать? Зачем мне это знать? Это база, которая требуется для того, чтобы начинающий философ имел свой starter pack. Эти инструменты позволяют размышлять о вселенной глубже, вдаваясь в точный расчет, моделируя различные ситуации и прочая куча интересностей.
Развязка. А что если…?
Существует ли параллельный мир? Его существование возможно, хотя бы потому что умные люди это давно доказали математикой. Как они к этому пришли? Древние математики всю свою жизнь провели в размышлениях: а что если взять шар и бросить его вниз? а что если в падении этот шар разрезать? а что если …? А теперь мы сами зададимся этим вопросом: а что если параллельный мир существует? Как его смоделировать? Помните, что мы работаем сейчас с двумерным пространством? Так вот: представьте этот параллельный мир, как второе точно такое же двумерное пространство. Но вот какую вещь мы сюда добавим: пусть эти два пространства будут бесконечно стремиться друг к другу. То есть предел одного пространства будет являться пределом другого и наоборот. А теперь возьмите третье пространство и добавьте его в эту кучу. И четвертое. И пятое. И все они взаимно стремятся друг к другу. Почему такое невозможно? Описать подобные вещи в трехмерном пространстве сложнее, поэтому будет продолжать фантазировать с 2D. Вот как схематично выглядит наша модель сбоку:
(Рис.6. Пр. — сокращение от «пространство». Все 3 пространства стремятся друг к другу)
А что если одно из пространств пересечётся с другим? Как эту будет выглядеть в реальной жизни? Мы получим дыру, которая одновременно в нашем, и в параллельном мире. И вещи, попадающие в эту дыру, будут исчезать. И появляться тоже будут. А что если эти пересечения пространств — черные дыры, которые засасывают все, что в них входит? В рамках этой статьи мы не будем приводить доказательства ложности или истинности этих высказываний. Они лишь служат образцом того, как математика работает в реальной жизни: это не только формулы, но и нереальное воображение, товарищи.
Но опять же, мы привели сильно примитивные модели двумерного пространства, а теория струн говорит, что в нашем мире вообще далеко не трехмерное пространство. Вычисления с добавлением каждого нового измерения станут гораздо сложнее и, по сути, будут непредставимы человеческим мозгом. А учитывая то, что мы с вами, люди, живём в совсем другом мире, в отличие от мельчайших частиц, у которых, вероятно, даже нет понятия времени, мы можем на любительском уровне пофантазировать, как это уложиться в нашу модель. Раннее мы говорили о матрицах. Так вот, эта матрица, как мы сказали, в нашей голове. Мы видим мир таким, как он заложен у нас. И те существа, которые приходят в этот мир, тоже по умолчанию заходят сюда с этой матрицей. Люди, как бы, договариваются между собой, что у них должен быть такой взгляд на мир: то дерево, которое вижу я, видишь и ты.
Просто вспомните, как происходит подключение к серверу в онлайн-сервисах. Каждый пользователь работает, согласно заданному списку протоколов о подключении к серверу. То же самое и в жизни. Мы рождаемся, подключаясь к серверу реального мира, и принимаем в себя набор протоколов, которые позволяют нам взаимодействовать с этим миром так, чтобы не вызвать ошибки подключения у других пользователей. Чтобы то дерево, которое вижу я, видели и вы, товарищи. А вдруг реального мира вообще нет? Вдруг только МЫ, живые существа, видимо его именно таким. А вдруг существуют такие сущности, которые носят в себе другую матрицу с другим набором чисел, и тогда наше пространство для них искажается? Что если эти сущности с другим видом матрицы — это мельчайшие частицы, которые существуют по совсем другим сценариям? Так много вопросов, и так мало ответов…
Прикладная или фундаментальная: какой считают в мире математику
Можно ли считать математику фундаментальной наукой или это всего лишь инструмент, как писал советский математик Колмогоров, на службе у естественных наук — этот вопрос остается открытым. Даже сами математики отказываются однозначно отвечать на него. Методист по математике Университета Иннополис Дмитрий Бебчук рассказал на фестивале науки и технологии «ПРОСТО», организованном российским ИТ-вузом, о том, какие изобретения человечества были бы невозможны без математики и почему математизирование — это процесс творческий, не требующий никаких практических целей.
Читайте «Хайтек» в
Наука о структурах или просто расчеты?
« Британника» говорит, что математика — это наука о структурах, порядках и отношениях, возникшая из элементарных практик подсчета, измерения и описания форм объектов. Она строится на логических рассуждениях и количественных расчетах. Группа французских математиков, которые взяли себе в 1935 году коллективный псевдоним Никола Бурбаки, предложила такое определение: математика — это наука об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме их свойств. именно ими объекты и описываются. Может возникнуть двоякое впечатление. С одной стороны, у нас есть конструктивное определение математики, а с другой, математика — это когда «взяли что-то и посчитали». Этот своеобразный конфликт выразился в том числе в установлении теории множеств. Есть аксиоматика Сернела Френкеля, которая являет собой конструктивный подход к теории множеств, но существуют и альтернативы. Это всё возникло из-за парадокса Рассела.
Парадокс Рассела — открытый в 1901 году Бертраном Расселом теоретико-множественный парадокс (антиномия), демонстрирующий противоречивость логической системы Фреге, являвшейся ранней попыткой формализации наивной теории множеств Георга Кантора.
Парадокс можно описать следующим образом. Условимся называть множество «обычным», если оно не является своим собственным элементом. Например, множество всех людей является «обычным», так как само множество — не человек. Примером «необычного» множества является множество всех множеств, так как оно само является множеством, а, следовательно, само является собственным элементом.
Система аксиом Цермело — Френкеля (ZF) — наиболее широко используемый вариант аксиоматической теории множеств. Сформулирована Эрнстом Цермело в 1908 году для преодоления парадоксов теории множеств, а затем была уточнена Абрахамом Френкелем в 1921 году. Система аксиом записана на языке логики первого порядка.
Я попытаюсь вам доказать, что математика — это фундаментальная наука. Фундаментальная наука должна обладать следующими свойствами: ее результаты должны быть универсальны; в ее задачи не должна входить изначально практическая реализация полученных результатов; и она позволяет нам получать новые знания о природе, то есть иметь предсказательную силу.
В универсальности результатов математики сомнений нет. Это самый легкий пункт, поэтому он стоит первым. Действительно, даже на уровне «дважды два — четыре»: в любое время и на любом континенте это будет, конечно же, четыре.
Как из чистых идей родились практические инструменты
Существуют четыре области математики, которые развились из совершенно абстрактной идеи. Во-первых, анализ бесконечно малых, то, что сейчас называют математическим анализом. Началось всё с того, что предположительно Антифон в V веке до нашей эры предложил метод исчерпывания. Он и сейчас так называется. С помощью этого метода можно находить площадь фигур, границы которых — не отрезки. Например, площадь круга. Если есть круг, то его можно заключить, например, в пятиугольник, а также вписать в него пятиугольник. Площадь круга получится чем-то средним между ними. Если заменить пятиугольник на шести-, семи- и восьмиугольник, то точность приближения возрастет. Чем больше количество сторон у нашего вот многоугольника, который вписан и описан около круга, тем лучше оказывается наше приближение.
Но площадь круга пропорциональна квадрату радиуса, а коэффициент пропорциональности — это какое-то число. Были предложены оценки этого числа: например, Архимед предположил, что это примерно 22/7, эта оценка позволяет нам получить точность до двух знаков после десятичной запятой. А пресловутый Цзу Чунжи уже предложил оценку намного лучше: 355/113, уже шесть знаков после запятой. В конце концов, было доказано, что пи — это число иррациональное и даже трансцендентное, то есть не является алгебраическим числом.
Цзу Чунжи — китайский математик и астроном. Как астроном определил сидерические периоды обращения планет Солнечной системы с высокой точностью. Разработал новый календарь с учетом явления прецессии. Как математик первым в мире рассчитал число пи с точностью до седьмого знака после запятой, дав его значение между 3,1415926 и 3,1415927; более точное значение было вычислено лишь тысячу лет спустя.
Принцип Кавальери очень прост: если у вас есть два объемных тела одинаковой высоты и на каждом уровне площади иссечений одинаковы, то и объемы этих тел одинаковы. Такой принцип подходит для нахождения объемов тел, у которых грани необязательно плоские. Например, конус. Из таких совершенно теоретических подходов к XVII веку уже развивается дифференциальное и интегральное исчисление, у истоков которого стоят двое ученых — Ньютон и Лейбниц, которые примерно одновременно развивали эту область. Практическое применение их работ сегодня: поиск длины кривой и касательной к сфере, дивергенции, роторы и даже двумерное нормальное распределение, благодаря которому можно искать вероятности сложноконструируемых событий.
Бонавентура Кавальери — итальянский математик, предтеча математического анализа, наиболее яркий и влиятельный представитель «геометрии неделимых». Выдвинутые им принципы и методы позволили еще до открытия математического анализа успешно решить множество задач аналитического характера.
В XVI веке Джероламо Кардано ввел понятие комплексного числа. В его трудах комплексные числа описаны как совершенно утонченные и бесполезные структуры, утонченные — это позитивная характеристика, а бесполезные — ну мы понимаем. Он не видел им совершенно никакого применения, но, тем не менее, пытался развивать эту теорию. Уже потом стало ясно, что это полезный инструмент для многих областей. Альберт Эйнштейн согласился бы. В качестве примеров — расчёт электрических цепей переменного тока, который делается гораздо проще с применением комплексно-значимых функций. Всяческие теоремы о распределении простых чисел — небезызвестная дзета-функция Римана и теорема, связанная с ней, гипотеза, на самом деле, потому что она еще не доказана — это одна из семи проблем тысячелетия. Гиперкомплексные числа, так называемые кватернионы, нашли свое применение в позиционировании. Тут меня поймут робототехники. Когда мы определяем или задаем положение трехмерного объекта в пространстве, то кватернионы исключительно полезны. А обойтись без выхода в это гиперкомплексное пространство нам уже тяжелее.
Джероламо Кардано — итальянский математик, инженер, философ, врач и астролог. В его честь названы открытые Сципионом дель Ферро формулы решения кубического уравнения (Кардано был их первым публикатором), карданов подвес, карданный вал и решетка Кардано.
Кватернионы — система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел. Предложены Уильямом Гамильтоном в 1843 году.
Некоторые алгоритмы шифрования основаны на свойствах эллиптических кривых, а, точнее, на их алгебраических свойствах. Но всё началось с того, что Диофант Александрийский в III веке нашей эры пытался найти решение этого уравнения: y*(6-y)=x3-x. В конце XVII — начале XVIII века Ньютон тоже пытался его решить. Все вылилось в целую теорию, которая позволяет нам достаточно быстро зашифровать данные, с тем, чтобы их расшифровка требовала существенно больше времени. То есть мы получаем криптографически такой механизм — алгоритм.
Задачу мостов Эйлера: существует ли маршрут, чтобы обойти каждый мост Кенигсберга только по одному разу, — сегодня может решить почти любой олимпиадник. Этот вопрос XVIII века, тогда еще практически неприменимый, породил целую область математики — топологию. Сегодня она применяется, например, в робототехнике. У манипулятора есть конфигурационное пространство. Например, у двухзвенного манипулятора — это тор. Но тор — это определенный топологический объект: если мы возьмем две точки на торе, то сможем сказать про траекторию передвижения между этими двумя точками, про минимальность и так далее. То есть появляется целая область для анализа. А если манипулятор трехзвенный, то и поверхность становится значительно сложнее, а задача по нахождению какого-то оптимального пути или даже просто нахождению пути — на порядки. Тут без топологии уже не обойтись.
Анализ бесконечно малых, топология, эллиптические кривые — все это доказывает то, что в развитие этих областей было вовлечено много людей. А после XVIII века математика уже становится профессиональный наукой, то есть человек со стороны практически не имеет шансов добиться в ней значимых на мировом уровне успехов. Второй тезис, получается, доказан. Эти люди занимались математикой всю жизнь, не надеясь на то, что их конкретные результаты будут практически применимыми.
Как способ описать природу
Пресловутый Бозон Хиггса, который, конечно, прежде чем был обнаружен и зафиксирован, сначала был рассчитан. То есть была целая теория, основанная на расчетах. Теория, согласно которой такая частица должна существовать и должна обладать определенными свойствами. Это доказывает, что математика позволяет получать новые знания о природе. Вернемся к самому началу: что математика — это наука о неких структурах, у которых мы знаем только свойства, а потом уже смотрим, а что же из этого получается. Бозон Хиггса, который тогда еще не знали, но уже по предположениям ученых должен был обладать определенными свойствами.
Второй пример — девятая планета. Российский ученый Батыгин, который сейчас преподает в США, сначала вычислил орбиту девятой планеты, прежде чем ее обнаружили. То есть, согласно каким-то расчетам, эта планета должна была существовать, а потом она уже была обнаружена в расчетной точке.
Получается, что математика — фундаментальная наука. Но многие скажут, что математика — это просто дисциплина на службе естественных наук, и отчасти они будут правы. И с ними согласился бы даже Колмогоров, который в предисловии к книге Куранта и Роббинса так и сказал, что математика неотделима от ее практических применений.
Андрей Колмогоров — советский математик, один из основоположников современной теории вероятностей, им получены фундаментальные результаты в топологии, геометрии, математической логике, классической механике, теории турбулентности, теории сложности алгоритмов, теории информации, теории функций и в ряде других областей математики и ее приложений.
Рихард Курант — немецкий и американский математик, педагог и научный организатор. Известен как автор классической популярной книги по математике «Что такое математика?», а также как один из авторов критерия Куранта — Фридрихса — Леви.
Герберт Роббинс — американский математик и статистик. Его именем названы лемма Роббинса, алгебра Роббинса, теорема Роббинса и другие термины.
Вейль говорит о том, что вопрос об основаниях математики и о том, что в конечном счете она собой представляет, остается открытым. И неизвестно такого направления, которое позволит в конце концов найти окончательный ответ на этот вопрос. Можно ли ожидать, что он когда-нибудь будет получен и признан всеми математиками? Вейль указывает на то, что сам процесс изучения математики, математизирование — это творческий процесс, когда люди, не надеясь на практическое применение их результатов, результатов их работы, просто занимаются этим процессом. Но а то, что он описывает мир, надеюсь, я вас убедил, тут сомнений уже нет. Математика действительно описывает мир, и нет естественной науки, которая не пользовалась бы математическим аппаратом. В современном мире и общественные науки, в том числе социология, пользуются математическими методами как методами для исследования.
Андре Вейль — французский математик, внесший значительный вклад в алгебраическую геометрию и топологию, член группы Бурбаки. Важнейшие труды в области алгебраической геометрии, которую сумел обосновать с нужным уровнем строгости, получил важные результаты в функциональном анализе, в частности в теории меры и интегрирования в топологических группах и теории чисел, к которой применил аппарат гомологической алгебры и функционального анализа.
