Параллельность прямых
Определение параллельности прямых
Начнем с главного — определимся, какие прямые параллельны согласно евклидовой геометрии. Мы недаром упомянули Евклида, ведь именно в его трудах, написанных за 300 лет до н. э., до нас дошли первые упоминания о параллельности.
Параллельными называются прямые в одной плоскости, не имеющие точек пересечения, даже если их продолжать бесконечно долго. Обозначаются они следующим образом: a II b.
Казалось бы, здесь все просто, но со времен Евклида над определением параллельных прямых и признаками параллельности прямых бились лучшие умы. Особый интерес вызывал 5-й постулат древнегреческого математика: через точку, которая не относится к прямой, в той же плоскости можно провести только одну прямую, параллельную первой. В XIX веке российский математик Н. Лобачевский смог опровергнуть постулат и указать на условия, при которых возможно провести как минимум 2 параллельные прямые через одну точку.
Впрочем, поскольку школьная программа ограничена евклидовой геометрией, вышеуказанное утверждение мы принимаем как аксиому.
На плоскости через любую точку, не принадлежащую некой прямой, можно провести единственную прямую, которая была бы ей параллельна.
Свойства и признаки параллельных прямых
Есть ряд признаков, по которым можно определить, что одна прямая параллельна другой. К счастью, свойства и признаки параллельности прямых тесно связаны, поэтому не придется запоминать много информации.
Начнем со свойств. Для этого проведем третью прямую, пересекающую параллельные прямые — она будет называться секущей. В результате у нас образуется 8 углов.
Если секущая проходит через две параллельные прямые, то:
∠4 + ∠6 = 180°; ∠3 + ∠5 = 180°.
∠1 = ∠5, ∠3 = ∠7, ∠4 = ∠8, ∠2 = ∠6.
Вышеуказанные свойства являются одновременно признаками, по которым мы можем сделать вывод о параллельности прямых. Причем достаточно установить и доказать лишь один признак — остальные будут к нему прилагаться.
А сейчас посмотрим, как все это помогает решать задачи и практиковаться в определении параллельности двух прямых.
Задача 1
Прямые MN и KP пересекают две другие прямые, образуя несколько углов. Известно, что ∠1 = 73°; ∠3 = 92°; ∠2 = 73°. Требуется найти величину ∠4.
Решение
Поскольку ∠1 и ∠2 являются соответственными, их равенство говорит о том, что MN II KP. Следовательно, ∠3 = ∠MPK = 92°.
Согласно другому свойству параллельных прямых ∠4 + ∠MPK = 180°.
Задача 2
Две параллельные прямые а и b удалены друг от друга на расстояние 27 см. Секущая к этим прямым образует с одной из них угол в 150°. Требуется найти величину отрезка секущей, расположенного между а и b.
Решение
Поскольку а II b, значит ∠MKD + ∠KDN = 180°.
Теперь рассмотрим треугольник KDM. Мы знаем, что отрезок DM представляет собой расстояние между прямыми а и b, а значит, DM ┴ b и наш треугольник является прямоугольным.
Поскольку катет, противолежащий углу в 30°, равен ½ гипотенузы, DM = 1/2DK.
Геометрия. 7 класс
Определение
Выберите верное продолжение определения.
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они
имеют одну общую точку
имеют две общих точки
Свойства углов
На рисунке ∠1 = 100°. Заполните на основании рисунка пропуски в тексте.
Углы ∠1 + ∠2 = ° по свойству углов, ∠1 = ∠4 (по свойству углов). Значит, ∠2 = °, ∠3 = °, ∠4 = °.
Выберите признак
Соедините линиями каждый признак параллельных прямых и соответствующий ему чертёж.
Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Виды углов
Подставьте названия углов к соответствующим изображениям.
Параллельные прямые
Отметьте, на каких рисунках представлены пары параллельных прямых.
Параллельны или перпендикулярны
Выберите правильный ответ из выпадающего списка.
На плоскости, если a ║ b, c┴a, то:
Взаимное расположение прямых
Перетащите верный ответ.
Если a || b, b || c, то прямая а с.
Докажите
Докажите, что прямые параллельны. Выделите цветом утверждения, соответствующие рисунку.
Три прямые
Посмотрите на рисунок. Подчеркните верное утверждение.
Параллельны ли прямые?
Можно ли утверждать, что на рисунке есть параллельные прямые? Выберите правильные ответы возле рисунков.
Докажите признак
Восстановите последовательность этапов доказательства признака параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
следовательно, a║b по теореме 1.
∠1 +∠2 = 180° по условию, откуда ∠1 = 180° – ∠2
∠3 + ∠2 = 180° – по свойству смежных углов, откуда ∠3 = 180° – ∠2
∠1 = ∠3 = 180° – ∠2, это накрест лежащие углы
Докажите
Найдите правильную последовательность доказательства параллельности прямых.
Подчеркните верный ответ.
Выделите цветом верный ответ
Установите взаимное расположение прямой AB и биссектрисы CD угла BCК.
Прямые AB и CD параллельны / не параллельны
Четырехугольник
Введите с клавиатуры недостающие элементы текста.
В четырёхугольнике ABCD все стороны равны. Укажите, из равенства каких углов можно сделать вывод о параллельности его сторон.
Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых
Как мы знаем, прямые либо пересекаются (т.е. имеют одну общую точку), либо не пересекаются (т.е. не имеют ни одной общей точки).
Если прямые a и b параллельны, то это обозначают так:
На рисунке Рис.1 изображены прямые a и b, которые перпендикулярны к прямой c. В этом случае эти прямые не пересекаются (см. статью Перперндикулярные прямые), т.е. они параллельны (Определение 1).
 |
Понятие параллельности можно распространять и на отрезки.
 |
Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой, отрезка и луча, двух лучей, луча и прямой.
    |
На Рис.3 отрезок AB пераллелен к прямой a поскольку прямая, проходящай через отроезок AB параллельна прямой a. На рисунке Рис.4 отрезок AB пераллелен к лучу a так как прямые, проходящие через отрезок AB и луч a параллельны. Для Рис.5 и Рис.6 можно сделать аналогичные рассуждения.
Признаки параллельности прямых
Определение 3. Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках.
При пересечении прямой c с a и b образуются восемь углов, некоторые пары из которых имеют специальные названия (Рис.7):
 |
Определим признаки параллельности двух прямых, связанные с этими парамы углов.
Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Доказательство. Предположим, что при пересечении прямых a и b секущей AB накрест лежащие углы равны: 
(Рис.8).
 |
Докажем, что 
.
Если углы 1 и 2 прямые (Рис.9), то получается, что прямые a и b перпендикулярны прямой AB и, следовательно, они параллельны (теорема 1 статьи Перперндикулярные прямые и определение 1 настоящей статьи).
 |
Предположим, что углы 1 и 2 не прямые (Рис.10).
 |
Найдем середину отрезка AB и обозначим через O. Из точки O проведем перпендикуляр OM к прямой a. На прямой b отложим отрезок BN равной отрезку MA. Треугольники OAM и OBN равны по двум сторонам и углу между ними, так как OA=OB, MA=NB, . Тогда 
и 
.
означает, что точка N лежит на продолжении луча MO, т.е. точки M, O, N лежат на одной прямой. Угол BNO прямой (поскольку угол AMO прямой). Получается, что прямые a и b перпендикулярны к прямой MN, следовательно они параллельны. 
Теорема 2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей с соответственные углы равны, например (Рис.11).
 |
Так как углы 2 и 3 вертикальные, то 
. Тогда из и следует, что 
. Но углы 1 и 3 накрест лежащие и, по теореме 1, прямые a и b параллельны.
Теорема 3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей с сумма односторонних углов равна 180°, например 
(Рис.11). Из рисунка видно, что углы 4 и 3 смежные, т.е. 
. Из и следует, что . Но углы 1 и 3 накрест лежащие и, по теореме 1 прямые a и b параллельны.
2. На рисунке 5 прямые а и 6 перпендикулярны. Зив геометрия 7 класс ГДЗ. Самостоятельные работы. Вариант 1. С-5.
2. На рисунке 5 прямые а и 6
перпендикулярны, 1 = 40°.
Найдите углы 2, 3 и 4.
ответ
Привет. Запуталась при решении, нужна помощь знатоков.
Три прямые, проходящие через одну точку и не лежащие в одной ( Подробнее. )
Используя параллельный перенос, докажите, что углы при основании равнобедренной трапеции равны между собой.
Привет всем! Нужен ваш совет, как отвечать…
Изобразите силы, действующие на тело, когда оно плавает на поверхности жидкости. ( Подробнее. )
11.
Выпишите слово, в котором на месте пропуска пишется буква Е.
произнос., шь ( Подробнее. )
Геометрия. 7 класс
Определение
Выберите верное продолжение определения.
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они
имеют одну общую точку
имеют две общих точки
Свойства углов
На рисунке ∠1 = 100°. Заполните на основании рисунка пропуски в тексте.
Углы ∠1 + ∠2 = ° по свойству углов, ∠1 = ∠4 (по свойству углов). Значит, ∠2 = °, ∠3 = °, ∠4 = °.
Выберите признак
Соедините линиями каждый признак параллельных прямых и соответствующий ему чертёж.
Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Виды углов
Подставьте названия углов к соответствующим изображениям.
Параллельные прямые
Отметьте, на каких рисунках представлены пары параллельных прямых.
Параллельны или перпендикулярны
Выберите правильный ответ из выпадающего списка.
На плоскости, если a ║ b, c┴a, то:
Взаимное расположение прямых
Перетащите верный ответ.
Если a || b, b || c, то прямая а с.
Докажите
Докажите, что прямые параллельны. Выделите цветом утверждения, соответствующие рисунку.
Три прямые
Посмотрите на рисунок. Подчеркните верное утверждение.
Параллельны ли прямые?
Можно ли утверждать, что на рисунке есть параллельные прямые? Выберите правильные ответы возле рисунков.
Докажите признак
Восстановите последовательность этапов доказательства признака параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
следовательно, a║b по теореме 1.
∠3 + ∠2 = 180° – по свойству смежных углов, откуда ∠3 = 180° – ∠2
∠1 +∠2 = 180° по условию, откуда ∠1 = 180° – ∠2
∠1 = ∠3 = 180° – ∠2, это накрест лежащие углы
Докажите
Найдите правильную последовательность доказательства параллельности прямых.
Подчеркните верный ответ.
Выделите цветом верный ответ
Установите взаимное расположение прямой AB и биссектрисы CD угла BCК.
Прямые AB и CD параллельны / не параллельны
Четырехугольник
Введите с клавиатуры недостающие элементы текста.
В четырёхугольнике ABCD все стороны равны. Укажите, из равенства каких углов можно сделать вывод о параллельности его сторон.
