Направляющий вектор прямой: определение и примеры
Важным геометрическим объектом, который изучают в плоском пространстве, является прямая. В трехмерном же пространстве, помимо прямой, появляется еще плоскость. Оба объекта удобно задавать с помощью направляющих векторов. Что это такое, как применяют эти вектора для определения уравнений прямой и плоскости? Эти и другие вопросы освещаются в статье.
Прямая и способы ее задавания
Каждый школьник хорошо представляет, о каком геометрическом объекте идет речь. С точки зрения математики, прямая представляет собой набор точек, которые в случае их попарного произвольного соединения между собой приводят к получению совокупности параллельных векторов. Это определение прямой используют для написания уравнения для нее как в двумерном, так и в трехмерном пространстве.
Вам будет интересно: Шаболда — это слово с непростой судьбой
Для описания рассматриваемого одномерного объекта пользуются разными видами уравнений, которые перечислены в списке ниже:
Каждый из названных видов имеет некоторые преимущества по отношению к другим. Например, уравнением в отрезках удобно пользоваться при изучении поведения прямой относительно осей координат, уравнение общего вида удобно при нахождении направления, перпендикулярного заданной прямой, а также при вычислении угла ее пересечения с осью x (для плоского случая).
Вам будет интересно: Телескопы рефлекторные: описание, устройство, история создания
Поскольку тема данной статьи связана с направляющим вектором прямой, то далее будем рассматривать только уравнение, где этот вектор является принципиальным и содержится явно, то есть векторное выражение.
Задание прямой через вектор
Предположим, что у нас имеется некоторый вектор v¯ с известными координатами (a; b; c). Поскольку координат три, то вектор задан в пространстве. Как изобразить его в прямоугольной системе координат? Делается это очень просто: на каждой из трех осей откладывается отрезок, длина которого равна соответствующей координате вектора. Точка пересечения трех перпендикуляров, восстановленных к плоскостям xy, yz и xz, будет концом вектора. Началом же его является точка (0; 0; 0).
Тем не менее приведенное положение вектора не является единственным. Аналогичным образом можно нарисовать v¯, располагая его начало в произвольной точке пространства. Эти рассуждения говорят о том, что задать конкретную прямую с помощью вектора нельзя. Он задает семейство из бесконечного числа параллельных прямых.
Вам будет интересно: Формула угла между плоскостью и прямой. Примеры использования формулы
Теперь зафиксируем некоторую точку P(x0; y0; z0) пространства. И зададим условие: через P должна проходить прямая. В этом случае вектор v¯ тоже должен содержать эту точку. Последний факт означает, что можно задать одну единственную прямую, используя P и v¯. Она запишется в виде следующего уравнения:
В координатной форме уравнение запишется так:
(x; y; z) = (x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)
И в явном (параметрическом) виде можно записать:
Если в приведенных выражениях исключить третью координату, то мы получим векторные уравнения прямой на плоскости.
Как правило, это задачи на определение параллельности и перпендикулярности прямых. Также определяющий направление прямой вектор используется при вычислении дистанции между прямыми и точкой и прямой, для описания поведения прямой относительно плоскости.
Две прямые будут параллельными, если таковыми являются их направляющие вектора. Соответственно, перпендикулярность прямых доказывается с помощью перпендикулярности их векторов. В этих типах задач достаточно рассчитать скалярное произведение рассматриваемых векторов, чтобы получить ответ.
В случае задач на вычисление расстояний между прямыми и точками направляющий вектор входит явно в соответствующую формулу. Запишем ее:
Отметим, что рассчитывать расстояние между прямыми имеет смысл только тогда, когда они являются параллельными или скрещивающимися. Если же они пересекаются, то d равно нулю.
Приведенная формула для d справедлива и для расчета дистанции между плоскостью и параллельной ей прямой, только в этом случае P1 должна принадлежать плоскости.
Решим несколько задач, чтобы нагляднее показать, как пользоваться рассматриваемым вектором.
Задача на составление векторного уравнения
Известно, что прямая описывается следующим равенством:
Следует написать соответствующее выражение в векторной форме.
Это типичное уравнение прямой, известное каждому школьнику, записано в общем виде. Покажем, как его переписать в векторной форме.
Выражение можно представить в виде:
Видно, что если его раскрыть, то получится исходное равенство. Теперь разделим его правую часть на два вектора так, чтобы только один из них содержал иксы, имеем:
Остается вынести x за скобки, обозначить его греческим символом и поменять вектора правой части местами:
Мы получили векторную форму записи исходного выражения. Координаты направляющего вектора прямой равны (1; 3).
Задача на определение взаимного расположения прямых
В пространстве заданы две прямые:
(x; y; z) = (3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)
Они являются параллельными, скрещивающимися или пересекающимися?
Ненулевые вектора (-1; 3; 1) и (1; 2; 0) будут направляющими для этих прямых. Выразим в параметрической форме эти уравнения и подставим координаты первого во второе. Получаем:
Подставляем найденный параметр λ в два уравнения выше, получаем:
Параметр γ не может одновременно принимать два разных значения. Это означает, что прямые не имеют ни одной общей точки, то есть являются скрещивающимися. Параллельными они не являются, так как ненулевые векторы не параллельны друг другу (для их параллельности должно существовать число, которое бы путем умножения на один вектор приводило к координатам второго).
Математическое описание плоскости
Для задания плоскости в пространстве приведем уравнение общего вида:
A × x + B × y + C × z + D = 0
Здесь латинские большие буквы представляют собой конкретные числа. Первые три из них определяют координаты нормального вектора плоскости. Если его обозначить n¯, тогда:
Этот вектор является перпендикулярным плоскости, поэтому его называют направляющим. Его знание, а также известные координаты какой-либо точки, принадлежащей плоскости, однозначно задают последнюю.
Если точка P(x1; y1; z1) плоскости принадлежит, тогда свободный член D рассчитывается следующим образом:
Решим пару задач с использованием общего уравнения для плоскости.
Задача на нахождение нормального вектора плоскости
Плоскость задана в следующем виде:
Как найти направляющий вектор для нее?
Из приведенной выше теории следует, что координаты нормального вектора n¯ являются коэффициентами, стоящими перед переменными. В связи с этим для нахождения n¯ следует записать уравнение в общем виде. Имеем:
Тогда нормальный вектор плоскости равен:
Задача на составление уравнения плоскости
Даны координаты трех точек:
Как будет выглядеть уравнение плоскости, содержащей все эти точки.
Через три точки, которые одной прямой не принадлежат, можно провести только одну плоскость. Чтобы найти ее уравнение, сначала вычислим направляющий вектор плоскости n¯. Для этого поступим следующим образом: найдем произвольные два вектора, принадлежащие плоскости, и вычислим их векторное произведение. Оно даст вектор, который этой плоскости будет перпендикулярен, то есть n¯. Имеем:
Возьмем точку M1 для составления выражения плоскости. Получаем:
Мы получили выражение общего типа для плоскости в пространстве, определив сначала направляющий вектор для нее.
Свойство векторного произведения следует запомнить при решении задач с плоскостями, поскольку оно позволяет простым способом определять координаты нормального вектора.
Направляющий вектор прямой, координаты направляющего вектора прямой
С понятием прямой линии тесно связано понятие ее направляющего вектора. Часто в задачах бывает удобнее рассматривать его вместо самой прямой. В рамках данного материала мы разберем, что же такое направляющий вектор прямой в пространстве и на плоскости, и расскажем, для чего можно его использовать.
В первом пункте мы сформулируем определение и покажем основные понятия на иллюстрациях, дополнив их конкретными примерами направляющего вектора. Далее мы посмотрим, как прямая и направляющие векторы взаимодействуют в прямоугольной системе координат и как можно вычислить координаты этого вектора, если мы знаем уравнение прямой. Все правила, как всегда, будут проиллюстрированы примерами решений задач.
Что такое направляющий вектор прямой
Для того чтобы понять эту тему, нам нужно хорошо представлять, что такое вообще прямая и как она может размещаться в пространстве и на плоскости. Кроме того, важно вспомнить ранее изученное понятие вектора. Об этом мы уже писали в отдельном материале. Если нужно, найдите и перечитайте эти статьи.
Сформулируем, что такое направляющий вектор.
Направляющим вектором прямой является любой вектор, не равный нулю, который размещается на данной прямой или же на прямой, параллельной ей.
Как вычислить координаты направляющего вектора по уравнениям прямой
1. Прямую линию в O x y можно описать с помощью уравнения прямой на плоскости. В этом случае координаты направляющих векторов будут соответствовать направляющим векторам исходной прямой. А если нам известно уравнение прямой, как вычислить координаты ее направляющего вектора? Это легко сделать, если мы имеем дело с каноническим или параметрическим уравнением.
Чтобы вычислить координаты направляющего вектора, нам нужно взять числа из знаменателя канонического уравнения прямой.
Приведем пример задачи.
Решение
Если же прямая описана уравнением параметрического типа, то нам нужно смотреть на коэффициенты при параметре. Они будут соответствовать координатам нужного нам направляющего вектора.
Решение
Решение
А как быть в случае, если ни один коэффициент в A x + B y + C = 0 не будет равен 0? Тогда мы можем использовать несколько разных способов.
1. Мы можем переписать основное уравнение так, чтобы оно превратилось в каноническое. Тогда координаты вектора можно будет взять из его значений.
2. Можно вычислить отдельно начальную и конечную точку направляющего вектора. Для этого надо будет взять координаты двух любых несовпадающих точек исходной прямой.
Самым простым является первый подход. Проиллюстрируем его на примере задачи.
Решение
Перепишем исходное уравнение в каноническом виде. Сначала перенесем все слагаемые из левой части, кроме 3 x, в правую с противоположным знаком. У нас получится:
Получившееся равенство преобразовываем и получаем:
Далее мы разберем, как найти эти координаты, если прямая у нас задана не в плоскости, а в пространстве.
Таким образом, для вычисления координат направляющего вектора нужно взять числа из знаменателей или коэффициентов при параметре в соответствующем уравнении.
Рассмотрим конкретную задачу.
Решение
Решение
Из этой записи можно вычленить координаты нужного нам вектора – ими будут коэффициенты перед параметром.
Есть два способа. Можно записать это уравнение в параметрическом виде, где будут видны нужные координаты. Но можно использовать и другой способ. Объясним его.
Вспомним, что такой нормальный вектор плоскости. Он по определению будет лежать на прямой, перпендикулярной исходной плоскости. Значит, любой направляющий вектор прямой, которая в ней находится, будет перпендикулярен ее любому нормальному вектору.
Решим задачу, в которой применяется этот подход.
Решение
В конце статьи отметим, что умение вычислять направляющий вектор пригодится для решения многих задач, таких, как сопоставление двух прямых, доказательство их параллельности и перпендикулярности, вычисление угла между пересекающимися или скрещивающимися прямыми и др.
Направляющий вектор прямой
Вы будете перенаправлены на Автор24
Направляющим вектором прямой называется вектор, параллельный прямой, которую он определяет или совпадающий с ней.
$\overline
Рисунок 1. Направляющий вектор прямой L
$\overline \left(3\right)$
Данное равенство носит название векторного уравнения прямой.
Возможны следующие варианты задания уравнения прямой на плоскости:
Для каждого из этих вариантов подходит свой способ нахождения направляющего вектора.
Направляющий вектор из канонического уравнения прямой и через две точки
Готовые работы на аналогичную тему
Каноническое уравнение прямой выглядит так:
Из канонического уравнения выразить координаты направляющего вектора проще всего: достаточно выписать знаменатели из уравнения следующим образом:
Уравнение прямой, проходящей через 2 точки, имеет вид, очень похожий на каноническое уравнение:
Направляющий вектор из параметрических уравнений
Координаты направляющего вектора из общего уравнения
Общее уравнение имеет следующий вид:
$Ax + By + C = 0\left(6\right)$
Для того чтобы получить координаты направляющего вектора, нужно от общего уравнения прямой перейти к каноническому.
Сделаем это в общей форме.
Координаты направляющего вектора из уравнения с угловым коэффициентом
Уравнение с угловым коэффициентом имеет вид:
Для того чтобы получить из него координаты направляющего вектора, необходимо сначала привести его к общему виду, для этого переносим всё в левую часть:
Затем нужно воспользоваться алгоритмом для общего уравнения.
Уравнение с угловым коэффициентом, приведённое к каноническому, выглядит так:
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 25 02 2021
Направляющий вектор прямой
Ненулевой вектор а
Координаты l, m, n направляющего вектора называются направляющими коэффициентами прямой. За направляющий вектор прямой KM, образованная уравнениями двух пересекающихся плоскостей
можно принять векторное произведение N1×N2,
где N1=<А1, В1, C1> и N2=<А2, В2, C2> — нормальные векторы плоскостей Р1 и Р2, представляемых уравнениями (1) и (2). На рисунке видно, что прямая KM перпендикулярна к нормальным векторам N1, N2
Направляющий вектор можно найти по формуле:
Найти направляющий вектор прямой
2x — y + z + 7=0 (1)
−3x + 4y + z + 5=0 (2)
N1×N2=− 5i − 5j + 5k ⇔ N1×N2=
Это и будет направляющим вектором прямой
Пример 2
Найти направляющие коэффициенты прямой
Решение
Имеем N1=<А1, В1, C1>, N2=<А2, В2, C2>. Примем а=N1×N2, за направляющий вектор данной прямой. Находим:
Направляющие коэффициенты будут ι=6, m=3, n=6
Примечание
Разделив эти числа на 3, найдем направляющие коэффициенты, то есть l’= 2, m’=1, n’=2
Направляющий вектор прямой что такое
канонические уравнения прямой в пространстве. Равенство нулю одного из знаменателей означает обращение в нуль соответствующего числителя.
– общее уравнение прямой в пространстве. Здесь 
(в противном случае плоскости параллельны или совпадают).
Поставим задачу – привести общее уравнение (2.46) прямой к ее каноническим уравнениям (2.43). Решение состоит из трех этапов.
Координаты точки M 0 должны удовлетворять системе (2.46), так как точка принадлежит обеим плоскостям α и β.
2. Рассмотрим нахождение направляющего вектора 
прямой. Так как 
перпендикулярен нормальным векторам 
и 
плоскостей α и β, то его можно найти по теореме 2.5 как векторное произведение указанных векторов:
3. Найденную точку M 0 и вектор подставляем в уравнение (2.43). Таким образом, задача о приведении общего уравнения прямой к каноническому виду решена.
Пример 2.16. Привести общее уравнение прямой в пространстве 
к каноническому виду.
Подставляя координаты точки M и вектора в (2.43), получим искомое каноническое уравнение прямой l :
