наращенная сумма что такое

Способы определения современной стоимости денег и наращенной суммы вложений

Коммерческие отношения в современном бизнесе связаны с принятием финансовых решений, например: при расчетах доходности на рынке ценных бумаг; оценке доходности капиталовложений в реальное производство; в связи с необходимостью учесть экономическую неэквивалентность одинаковых сумм денег в разные календарные сроки, т.е. временную стоимость денег; при обнаружении влияния инфляции на перечисленные выше процессы.

Деловой человек должен владеть как теорией, так и техникой принятия финансовых решений, используя количественные методы для получения выводов о целесообразности сделанного выбора вложения капитала. Финансовая математика приобретает все большую роль в экономическом анализе.

В данной публикации не рассматривается сложный математический аппарат учета факторов неопределенности и риска, содержащий разные разделы теории вероятности и новейшие модели математических теорий. Внимание будет уделено простым способам определения современной стоимости денег — дисконтированию будущих сумм на сегодня, определению наращенной суммы вложений, в том числе в условиях инфляции, эрозии капитала.

Рассмотрим основную формулу наращения простых процентов, когда наращенная сумма (I) рассчитывается с учетом того, что проценты на проценты не начисляются, а начисляются они на одну и ту же исходную сумму (S₀). В этом случае алгоритм расчета наращенной суммы будет таким:

где i — годовая процентная ставка; t — число периодов начисления процентов.

Исходная сумма может быть рассчитана как

При расчете числа простых процентов, выплачиваемых банком, используется алгоритм

Рассмотрим применение этих алгоритмов на условном числовом примере.

В банк положено 3000 руб. на срок один год шесть месяцев. Ставка простых процентов равна 20% в год. Определим наращенную сумму через полтора года.

I = 3000 руб. * (1 + 0,2 * 1,5) = 3900 руб.

На основе имеющихся данных рассчитаем исходную сумму, если известны сумма наращения и годовая ставка простых процентов и если они неизвестны:

S₀ = 3900 руб. / (1 + 0,2 * 1,5) = 3000 руб.

Надо обратить внимание на то, что кредитору выгоднее выдавать ссуду под простой дисконт, а не под простой процент. Простой дисконт (d) представляет собой процентный доход, который вычитается из ссуды в момент ее выдачи. Сравним наращенную сумму, которую надо вернуть кредитору при условии выдачи кредита в одинаковой сумме, но под простой процент — в одном случае и под простой дисконт — в другом.

Предположим, что ссуда, равная 10 000 руб., выдана сроком на полгода под 20% простых годовых. Простой дисконт также 20%. Тогда наращенная сумма к возврату под простой процент составит

I = S₀ (1 + it) = 1000 руб. * (1 + 0,2 * 0,5) = 11000 руб.

Если ссуда получена под простой дисконт при прочих равных условиях, то вернуть надо будет большую, чем в первом случае, сумму:

Чтобы получить на руки кредит в сумме 10000 руб. под простой дисконт, надо задолжать кредитору большую сумму, так как при выдаче ссуды дисконт вычитается.

Поскольку простой процент представляет собой отношение суммы приращения за какой-то срок к начальной сумме, это есть ставка процента, эффективность вложений, или интерес кредитора (по зарубежной терминологии). Дисконт, или относительная скидка, — это отношение суммы приращения за определенный срок к наращенной сумме. В практических финансовых расчетах с использованием дисконта удобно применять дисконт-фактор (V) — отношение начальной суммы вложений к наращенной или разность между единицей и дисконтом за определенный срок:

Для расчета суммы, которую клиент получит на руки, если по условиям кредитного договора ссуда выдается под простой дисконт, надо предполагаемую к возврату сумму умножить на величину дисконт-фактора.

И в теории, и на практике постоянно приходится решать вопрос о том, в каком соотношении находятся суммы денег, полученные в разные моменты времени. Рассчитать современную ценность суммы денег можно путем ее дисконтирования. Для определения современной, или приведенной, ценности денег можно воспользоваться алгоритмом:

Расчет базируется на алгоритме исчисления суммы наращения, приведенном выше. При этом внимание принимается возможность использования денег путем инвестирования в банк под простой годовой процент. Годовая ставка носит название номинальной.

Две или несколько приведенных сумм денег считаются эквивалентными, если их современные ценности одинаковы. Эквивалентность приведенных сумм используется для сравнения контрактов на получение ссуды, а также при решении вопроса об изменении условий такого рода сделки.

Пример. В первом контракте сумма обязательства составляет 20000 руб. исходя из простых 30% в год с выплатой 12000 руб. через два года, остальных 8000 руб. — через пять лет, т.е. по окончании контракта.

Во втором контракте сроком на четыре года под тот же простой процент возврат первой части обязательства в сумме 7000 руб. предусмотрен через год, а остальной суммы — через три года от настоящего момента.

Надо рассчитать сумму долга во втором контракте, которая будет возвращена через три года, при условии, что современные ценности потоков платежей в обоих контрактах будут одинаковыми, эквивалентными, т.е.:

где S(1)₁ и S(1)₂ — дисконтированные (приведенные) суммы в первом контракте;

S(2)₁ + S(2)₂ — дисконтированные (приведенные) суммы платежей во втором контракте.

В качестве наращенной суммы (I) принимается сумма обязательства вернуть долг, включая проценты. Тогда приведенная к настоящему моменту сумма обязательного платежа составит:

S(1)₁ = 12000 руб. / (1 + 0,3 * 2) = 7500 руб.;

S(1)₂ = 8000 руб. / (1 + 0,3 * 5) = 3200 руб.;

S(2)₁ = 7000 руб. / (1 + 0,3 * 1) = 5384,6 руб.;

S(2)₂ = X руб. / (1 + 0,3 * 3) = X руб. / 1,9.

Контракты будут эквивалентны, если будет выполнено равенство:

7500 руб. + 3200 руб. = 5384,6 руб. + X руб. / 1,9.

Из примера видно, что сокращение срока платежа во втором контракте позволяет уменьшить суммарные выплаты. По первому контракту они составят 20000 руб. (12000 + 8000), а по второму — 17099,3 руб. (7000 + 10099,3).

На практике финансовые операции обычно совершаются с использованием сложных процентов. Кредитные взаимоотношения, осуществление долгосрочных финансово-кредитных операций, оценка инвестиционных проектов нередко требуют применения математических моделей непрерывного начисления процентов, их реинвестирования, использования сложных процентов. Особенность процесса при этом состоит в том, что исходная базовая сумма увеличивается с каждым периодом начисления, в то время как при использовании простых процентов она остается неизменной. Наращение по сложным процентам осуществляется с ускорением. Процесс присоединения начисленных процентов к базовой сумме носит название капитализации процентов.

где S₀ — базовая сумма (современная стоимость суммы денег); S t — будущее значение суммы денег; i — годовая процентная ставка; t — срок, по истечении которого современное значение денег изменится.

Предположим, что банк ежегодно начисляет сложные проценты (30%) на вклад в сумме 100000 руб. Тогда наращенная сумма через два года составит

S_t = 100000 руб. * (1 + 0,3) 2 = 169000 руб. Через четыре года она будет равна S_t = 100000 руб. * (1 + 0,3) 4 = 285610 руб.

Ставка сложных процентов обычно указывается на год (номинальная), хотя начисляться они могут чаще — каждое полугодие, квартал, месяц, даже день. Тогда за каждый период годаставка сложных процентов будет равна i/m где т — число раз начисления процентов в году.

В этом случае алгоритмы расчета наращенной суммы выглядят так:

Дополним условия предыдущего примера тем, что та же годовая ставка сложных процентов (30%) применяется четыре раза в году, т.е. число начислений возрастает. Тогда наращенная сумма, например, за два года составит

S_t= 100000 руб. * (1 + 0,3/4) 2*4 = 100000 руб. * (1 + 0,075) 8 = 100000 руб. * 1,78348 = 178,348 тыс.руб.

При начислении один раз в год наращенная сумма за два года, как мы видели, составила лишь 169000 руб.

При увеличении числа периодов начисления сложных процентов при одной и той же годовой ставке за одно и то же время наращения сумма будет возрастать.

В финансовых расчетах с использованием сложных процентов принято определять эффективную ставку, т.е. такую годовую номинальную ставку сложных процентов, которая дает возможность получить тот же результат, как и при начислении процентов несколько раз в году. Равенство наращенных сумм обеспечивается здесь равенством первоначальных сумм, периодов и множителей наращения.

Эффективная процентная ставка будет больше номинальной. Это видно из соответствующих алгоритмов, где i_эф — эффективная ставка. Множители наращения должны быть равны

(1 + i_эф) t = (1+i m /m) mt

Отсюда эффективная ставка составит

i_эф = (1+ i m /m) mt – 1

Используя приведенный алгоритм, рассчитаем эффективную ставку сложных процентов при ежеквартальном начислении, если номинальная ставка — 20%, а период равен году. Первоначальная сумма — 300 тыс. руб.

i_эф = (1+0,2/4) 4 – 1 = 0,2155 = 21,55%

Наращенная сумма при этом составит

S_t = S₀ * (1 + i_эф) t = 300 тыс. руб. * (1 + 0,2155) = 364,65 тыс. руб.

При начислении сложных процентов четыре раза в году получим ту же наращенную сумму:

S_t = S₀ / (1+ i m /m) tm = 300 тыс.руб. / (1 + 0,2/4) 4 = 300 * (1,5) 4 = 364,65 тыс.руб.

В финансовых расчетах должна учитываться инфляция, тем более если она значительна. С одной стороны, сумма, положенная, например, на депозит, получит приращение, а с другой — утратит свою реальную стоимость в результате инфляции. Для определения наращенной суммы с учетом инфляции используют алгоритм

где S_инф — наращенная сумма с учетом инфляции; S₀ — базовая сумма; i m — годовая номинальная банковская ставка, применяемая m разв году; h — ожидаемый месячный темп инфляции; t — число месяцев.

Пример. Предположим, что на депозит положена сумма 800 тыс. руб. (S₀). Номинальная годовая банковская ставка (i m ) равна 48%. Сложные проценты начисляются каждый месяц, т.е. годовая номинальная ставка применяется 12 раз в году (m). Ожидаемый месячный темп инфляции (h) равен 10%. Определим наращенную сумму (с учетом инфляции) через четыре месяца, а также эрозию капитала (ЭК), или уменьшение реальной стоимости суммы, положенной на депозит (S_инф – S₀):

S_инф = 800 тыс.руб. * (1 + 0,48 / 12) 4 / (1+0,1) 4 = 639,2 тыс.руб.

Эрозия капитала составит: 639,2 тыс. руб. – 800 тыс. руб. = –160,8 тыс. руб.

Чаще всего финансовые операции имеют продолжительный характер, состоят не из одного разового платежа, а из потоков платежей и нередко с разными знаками. В качестве примера можно привести: ежегодные выплаты процентов по облигациям, ежемесячные взносы на погашение потребительского кредита, получение ежемесячных стипендий от благотворительного фонда; арендные платежи; периодические вклады в банк для образования страхового фонда и др.

В таких финансовых операциях возникает необходимость найти наращенную сумму потока платежей или, наоборот, по наращенной сумме определить величину отдельного платежа. Для целого ряда финансовых расчетов разработаны математические модели.

Источник

Способы определения современной стоимости денег и наращенной суммы вложений

Рассмотрим основную формулу наращения простых процентов, когда наращенная сумма (I) рассчитывается с учетом того, что проценты на проценты не начисляются, а начисляются они на одну и ту же исходную сумму (S0). В этом случае алгоритм расчета наращенной суммы будет таким:

где i — годовая процентная ставка; t — число периодов начисления процентов.

Исходная сумма может быть рассчитана как

При расчете числа простых процентов, выплачиваемых банком, используется алгоритм

Рассмотрим применение этих алгоритмов на условном числовом примере.

I = 3000 руб. * (1 + 0,2 * 1,5) = 3900 руб.

S0 = 3900 руб. / (1 + 0,2 * 1,5) = 3000 руб.

I = S0 (1 + it) = 1000 руб. * (1 + 0,2 * 0,5) = 11000 руб.

Две или несколько приведенных сумм денег считаются эквивалентными, если их современные ценности одинаковы. Эквивалентность приведенных сумм используется для сравнения контрактов на получение ссуды, а также при решении вопроса об изменении условий такого рода сделки.

S(1)1 + S(1)2 = S(2)1 + S(2)2

где S(1)1 и S(1)2 — дисконтированные (приведенные) суммы в первом контракте;

S(2)1 + S(2)2 — дисконтированные (приведенные) суммы платежей во втором контракте.

S(1)1 = 12000 руб. / (1 + 0,3 * 2) = 7500 руб.;

S(1)2 = 8000 руб. / (1 + 0,3 * 5) = 3200 руб.;

S(2)1 = 7000 руб. / (1 + 0,3 * 1) = 5384,6 руб.;

S(2)2 = X руб. / (1 + 0,3 * 3) = X руб. / 1,9.

Контракты будут эквивалентны, если будет выполнено равенство:

7500 руб. + 3200 руб. = 5384,6 руб. + X руб. / 1,9.

Наращение по сложным процентам описывается геометрической прогрессией. Множитель наращения будет выглядеть как (1 + i)t. Наращенная сумма исчисляется по алгоритму:

где S0 — базовая сумма (современная стоимость суммы денег); St — будущее значение суммы денег; i — годовая процентная ставка; t — срок, по истечении которого современное значение денег изменится.

St = 100000 руб. * (1 + 0,3)2 = 169000 руб. Через четыре года она будет равна St = 100000 руб. * (1 + 0,3)4 = 285610 руб.

В этом случае алгоритмы расчета наращенной суммы выглядят так:

St= 100000 руб. * (1 + 0,3/4)2*4 = 100000 руб. * (1 + 0,075)8 = 100000 руб. * 1,78348 = 178,348 тыс.руб.

При начислении один раз в год наращенная сумма за два года, как мы видели, составила лишь 169000 руб.

Эффективная процентная ставка будет больше номинальной. Это видно из соответствующих алгоритмов, где iэф — эффективная ставка. Множители наращения должны быть равны

Отсюда эффективная ставка составит

Используя приведенный алгоритм, рассчитаем эффективную ставку сложных процентов при ежеквартальном начислении, если номинальная ставка — 20%, а период равен году. Первоначальная сумма — 300 тыс. руб.

iэф = (1+0,2/4)4 – 1 = 0,2155 = 21,55%

Наращенная сумма при этом составит

St = S0 * (1 + iэф)t = 300 тыс. руб. * (1 + 0,2155) = 364,65 тыс. руб.

При начислении сложных процентов четыре раза в году получим ту же наращенную сумму:

St = S0 / (1+ im/m)tm = 300 тыс.руб. / (1 + 0,2/4)4 = 300 * (1,5)4 = 364,65 тыс.руб.

Sинф = S0 * (1 + im/m)t / (1 + h)t

где Sинф — наращенная сумма с учетом инфляции; S0 — базовая сумма; im — годовая номинальная банковская ставка, применяемая m разв году; h — ожидаемый месячный темп инфляции; t — число месяцев.

Sинф = 800 тыс.руб. * (1 + 0,48 / 12)4 / (1+0,1)4 = 639,2 тыс.руб.

Эрозия капитала составит: 639,2 тыс. руб. – 800 тыс. руб. = –160,8 тыс. руб.

Источник

Наращенная сумма что такое

Формулы наращенной суммы

Рассмотрим наращение для различных случаев начисления рент.

1. Обычная годовая рента.

Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометрической прогрессии

(1)

(2)

Наращенная сумма ренты пренумерандо в (1 + i ) раз больше постнумерандо и при m = p =1

(3)

Для создания пенсионного фонда в банк ежегодно выплачивается рента постнумерандо в размере 10 млн. р.. На поступающие платежи начисляются проценты по сложной годовой ставке 18%. Определить размер фонда через 6 лет.

По формуле (1) имеем:

млн. р.

Ответ. Пенсионный фонд через 6 лет будет составлять 99,42 млн. р.

2. Годовая рента, начисление процентов m раз в году.

(4)

Наращенная сумма ренты пренумерандо вычисляется по формуле

(5)

В условиях примера 1 принять, что проценты банком начисляются ежеквартально по номинальной ставке 18% годовых. Сделать вывод, какой вариант начисления процентов выгоден кредитору.

По формуле (4) имеем

= 97, 45 млн. р.

Ответ. Кредитору выгоден вариант примера 2.2., чтобы на ренту начислялись проценты ежеквартально, при этом размер фонда будет составлять 97,45 млн. р.

Найдем наращенную сумму при условии, что рента выплачивается р раз в году равными платежами, а проценты начисляются один раз в конце года.

(6)

(7)

коэффициент наращения р-срочной ренты при m = 1.

Наращенная сумма ренты пренумерандо вычисляется по формуле:

(8)

Господин Иванов вносит в банк в конце каждого месяца по 500 р.. На поступающие суммы платежей начисляются сложные проценты по годовой процентной ставке 22%. Определить размер начисленной суммы через 8 лет.

По форомуле (6) найдем размер начисленной суммы:

Ответ. Размер начисленной банком суммы господину Иванову через 8 лет составит 52,806 тыс. р.

В контрактах часто начисление процентов и поступление платежа совпадают во времени. Таким образом число платежей р в году и число начислений процентов т совпадают, т.е. р = т. Тогда для получения формулы расчета наращенной суммы воспользуемся аналогией с годовой рентой и одноразовым начислением процентов в конце года, для которой

Различие будет лишь в том, что все параметры теперь характеризуют ставку и платеж за период, а не за год. Таким образом, получаем

(9)

Наращенная сумма ренты пренумерандо вычисляется по формуле:

(10)

Господин Петров должен отдать долг в размере 200 тыс. р. Для того, чтобы собрать эту сумму он планирует в течение 3-х лет в конце каждого полгода вносить в банк одну и ту же сумму и на нее каждые полгода начисляются сложные проценты по годовой ставке 15%. Какова должна быть величина вносимых господином Петровым полугодовых вкладов при полугодовом начислении процентов? Рассмотреть случай, когда в банк вносится сумма один раз в конце каждого года и начисление процентов производится по той же сложной процентной ставке.

Из (9) найдем сумму ( R), которую необходимо вносить в банк каждые полгода при полугодовом начислении сложных процентов:

Из формулы (1) найдем сумму, которую необходимо вносить в банк каждый год при годовом начислении сложных процентов:

Ответ. Господину Петрову необходимо вносить в банк каждые полгода и полугодовом начислении сложных процентов сумму, равную 55,228 тыс. р. и сумму в 57,692 тыс. р. при ежегодном вкладе и годовом начислении сложных процентов. Первый вариант вклада для него более выгоден.

Это самый общий случай р-срочной ренты с начислением процентов т раз в году, причем, возможно р ¹ т.

второй член ренты к концу срока возрастет до

(11)

Наращенная сумма ренты пренумерандо определяется по формуле:

(12)

Предприятие создает страховой фонд, для чего направляет в банк платежи в размере 100 тыс. р. в конце каждых 4-х месяцев, начисление сложных процентов банк производит 1 раз в полгода по годовой ставке 18%. Определить размер страхового фонда через 10 лет.

По формуле (11) найдем:

тыс.руб.

Ответ. Размер страхового фонда предприятия через 10 лет составит 7790,86 тыс.р.

Источник