найти координаты вектора в ортогональном базисе трехмерного пространства известно что

Найти координаты вектора в ортогональном базисе трехмерного пространства известно что

Задачи по алгебре. Выпуск 2.

Задача 1. Найти 5А, если

Задача 2. Найти А +В, если

Задача 4. Найти транспонированную матрицу относительно матрицы

Задача 7. Вычислить определитель

Решение: Разложим определитель по первой строке:

Задача 8. Найти обратную матрицу для матрицы

Определитель нулю не равен, следовательно, обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения (знаки их учтем сразу), т. е.

Получилась единичная матрица. Значит, обратная матрица найдена верно.

Задача 9. Решить систему матричным способом:

Определитель не равен нулю, то есть матрица не вырожденная. Значит, существует обратная матрица

Можно убедиться проверкой в правильности решения: подставим вектор Х в первоначальное матричное уравнение.

Действительно вектор Х удовлетворяет заданной системе.

Задача 10. Решить систему с помощью формул Крамера :

Задача 11. Вычислить :

Раскроем скобки и получим:

Задача 12. Вычислить, пользуясь формулой Муавра:

Представим число z в тригонометрической форме.

Применим формулу Муавра:

Решение: Составим таблицу, в которой над чертой расположены коэффициенты многочлена f ( x ), под чертой соответствующие коэффициенты частного и остаток, последовательно вычисляемые, а слева сбоку – значение c = 1-2 i в данном примере.

Задача 14. Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов.

;

Найдем векторы, дополняющие данную систему векторов до ортогонального базиса.

Эта система имеет множество решений, например,

Таким образом, можно добавить векторы

Задача 16. Найти векторы, дополняющие следующую систему векторов и до ортонормированного базиса.

Эта система имеет множество решений, например,

Нормируя этот вектор, получим вектор, дополняющий данную систему векторов до ортонормированного базиса:

Задача 17. Доказать, что проектирование трехмерного пространства на координатную плоскость натянутую на вектора e ₁, e ₂ параллельно оси координат вектора e ₃, является линейным преобразованием, и найти его матрицу в базисе e ₁, e ₂, e _3..

Найдем матрицу преобразования j в базисе e ₁, e ₂, e ₃. Известно, что координаты образа j ( x ) вектора x при линейном преобразовании выражаются через координаты вектора x в том же базисе при помощи матрицы преобразования A _j следующим образом:

Откуда следует, что

Задача 19. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей:

Составим характеристическую матрицу:

Найдем определитель матрицы и вычислим корни характеристического уравнения:

Для каждого собственного значения найдем собственный вектор.

Но, в тоже время,

Решение: Ввиду отсутствия в этой форме квадратов неизвестных мы выполним сначала невырожденное линейное преобразование:

Найдем невырожденное линейное преобразование.

Задача 21. Следующую квадратичную форму привести к каноническому виду с целыми коэффициентами посредством невырожденного линейного преобразования с рациональными коэффициентами и найти выражение новых неизвестных через старые.

Решение: Приведем данную форму к каноническому виду:

= =2 =

получим канонический вид квадратичной формы:

Источник

Координат вектора в ортогональном базисе

Дайте определение несовместной системы уравнений. Может ли однородная система

Уравнений быть несовместной? Ответ обоснуйте

Система линейных алгебраических уравнений называется несовместной, если у неё нет ни одного решения. ОСЛАУ (свободные члены всегда нули) всегда совместна, т.к. имеет хотя бы одно решение.

Сформулируйте определение линейно зависимой системы векторов. Приведите

Пример. Будет ли линейно зависима система векторов, включающая нулевой вектор? Ответ

Обоснуйте.

Система векторов v₁,v₂,v₃,…,v_k называется линейно зависимой, если в нулевой линейной комбинации хотя бы один коэффициент не равен нулю. Пример: a=(1;0;0), b=(0;1;0), c=(-2;3;0).

Векторы компланарны, следовательно, система линейно зависима. Система, включающая нулевой вектор, линейно зависима.

Док-во: Рассмотрим систему векторов a₁,a₂,a₃,…,a_n,0. Очевидно, существует нетривиальная линейная комбинация, равная нулю-вектору: 0*a₁+0*a₂+0*a_n+1*0=0.

Сформулируйте определение линейно независимой системы векторов. Докажите, что

Лестничная система из трех векторов линейно независима.

Система векторов v₁,v₂,v₃,…,v_k называется линейно независимой, если нулевая линейная комбинация с₁v₁+с₂v₂+…+с _kv_k =0 возможна только при нулевых коэффициентах с₁=с₂,=…=с _k=0.

Теорема: любая лестничная система из трех векторов линейно независима. Док-во: Допустим противное: векторы линейно зависимы, т.е. один из данных векторов должен линейно выражаться через остальные: a=β*b+γ*c, следовательно,

Значит, допущение неверно, и лестничная система линейно независима.

Дайте определение базиса линейного пространства. Докажите единственность

Разложения вектора по базису.

Базис линейного пространства – это такая линейно независимая упорядоченная система векторов, что любой вектор пространства разлагается по векторам системы (является линейной комбинацией или линейно выражается). V=α₁v₁+ α ₂v₂+…+ α _kv_k

Сформулируйте и докажите неравенство Коши-Буняковского.

Если v, w – два любых вектора евклидова пространства, то (v*w) 2 ≤(v) 2 *(w) 2

45. Сформулируйте и докажите неравенство треугольника.

Если v, w – два любых вектора евклидова пространства, то ǀv+wǀ≤ǀvǀ+ǀwǀ.

Дайте определение ортогонального базиса. Выведите формулы для вычисления

координат вектора в ортогональном базисе.

Базис конечномерного евклидова пространства называется ортогональным, если его векторы попарно ортогональны.

Для выведения формул для вычисления координат вектора в ортогональном базисе составим разложение этого вектора с неизвестными пока координатами разложения в данном базисе:

Умножим обе части этого равенства, представляющие собой векторы, на вектор . В силу свойств 2 и 3 скалярного произведения векторов имеем:

Однако в силу взаимной ортогональности векторов базиса (12.13) все скалярные произведения векторов базиса, за исключением первого, равны нулю, т. е. коэффициент α1 определяется по формуле:

Умножая поочередно равенство (12.14) на другие базисные векторы, мы получаем простую формулу для вычисления коэффициентов разложения вектора: Соотношения имеют смысл, при ǀe_iǀ≠0.

47. Дайте определение ранга матрицы. Приведите примеры матриц порядка 3 × 3 рангов

1, 2, 3.

Рангом матрицы А (обозначается rk(A)) называется ранг системы векторов, образуемых строками (или столбцами) матрицы. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях строк (столбцов).

Вырожденной матрицей называется матрица А, строки которой линейно зависимы.

=0 => вырожденная

Невырожденной матрицей называется матрица А, если строки которой линейно независимы.

=5 => невырожденная

Источник

Доказать, что 3 вектора образуют базис трёхмерного пространства и найти координаты 4-го вектора в данном базисе

Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение: Сначала разбираемся с условием. По условию даны четыре вектора, и, как видите, у них уже есть координаты в некотором базисе. Какой это базис – нас не интересует. А интересует следующая вещь: три вектора вполне могут образовывать новый базис. И первый этап полностью совпадает с решением Примера 6, необходимо проверить, действительно ли векторы линейно независимы:

Вычислим определитель, составленный из координат векторов :

, значит, векторы линейно независимы и образуют базис трехмерного пространства.

! Важно: координаты векторов обязательно записываем в столбцыопределителя, а не в строки. Иначе будет путаница в дальнейшем алгоритме решения.

Теперь вспомним теоретическую часть: если векторы образуют базис, то любой вектор можно единственным способом разложить по данному базису: , где – координаты вектора в базисе .

Поскольку наши векторы образуют базис трёхмерного пространства (это уже доказано), то вектор можно единственным образом разложить по данному базису:
, где – координаты вектора в базисе .

По условию и требуется найти координаты .

Для удобства объяснения поменяю части местами: . В целях нахождения следует расписать данное равенство покоординатно:

По какому принципу расставлены коэффициенты? Все коэффициенты левой части в точности перенесены из определителя , в правую часть записаны координаты вектора .

Получилась система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Обычно её решают поформулам Крамера, часто даже в условии задачи есть такое требование.

Главный определитель системы уже найден:
, значит, система имеет единственное решение.

Дальнейшее – дело техники:

Таким образом:
– разложение вектора по базису .

Ответ:

Как я уже отмечал, задача носит алгебраический характер. Векторы, которые были рассмотрены – это не обязательно те векторы, которые можно нарисовать в пространстве, а, в первую очередь, абстрактные векторы курса линейной алгебры. Для случая двумерных векторов можно сформулировать и решить аналогичную задачу, решение будет намного проще. Однако на практике мне такое задание ни разу не встречалось, именно поэтому я его пропустил в предыдущем разделе.

Такая же задача с трёхмерными векторами для самостоятельного решения:

Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе. Систему линейных уравнений решить методом Крамера.

Полное решение и примерный образец чистового оформления в конце урока.

Аналогично можно рассмотреть четырёхмерное, пятимерное и т.д. векторные пространства, где у векторов соответственно 4, 5 и более координат. Для данных векторных пространств тоже существует понятие линейной зависимости, линейной независимости векторов, существует базис, в том числе, ортонормированный, разложение вектора по базису. Да, такие пространства невозможно нарисовать геометрически, но в них работают все правила, свойства и теоремы двух и трех мерных случаев – чистая алгебра. Собственно, о философских вопросах меня уже пробивало поговорить в статье Частные производные функции трёх переменных, которая появилась раньше данного урока.

Любите векторы, и векторы полюбят вас!

Пример 2: Решение: составим пропорцию из соответствующих координат векторов:

Ответ: при

Пример 4: Доказательство: Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
1) Проверим параллельность противоположных сторон и .
Найдём векторы:

Вычислим определитель, составленный из координат векторов :
, значит, данные векторы не коллинеарны, и стороны не параллельны.
2) Проверим параллельность противоположных сторон и .
Найдём векторы:

Вычислим определитель, составленный из координат векторов :
, значит, данные векторы коллинеарны, и .
Вывод: Две стороны четырёхугольника параллельны, а две другие стороны не параллельны, значит, он является трапецией по определению. Что и требовалось доказать.

Пример 5: Решение:
б) Проверим, существует ли коэффициент пропорциональности для соответствующих координат векторов:

Система не имеет решения, значит, векторы не коллинеарны.
Более простое оформление:
– вторая и третья координаты не пропорциональны, значит, векторы не коллинеарны.
Ответ: векторы не коллинеарны.
в) Исследуем на коллинеарность векторы . Составим систему:

Соответствующие координаты векторов пропорциональны, значит
Вот здесь как раз не проходит «пижонский» метод оформления.
Ответ:

Пример 6: Решение: б) Вычислим определитель, составленный из координат векторов (определитель раскрыт по первой строке):

, значит, векторы линейно зависимы и не образуют базиса трёхмерного пространства.
Ответ: данные векторы не образуют базиса

Пример 9:Решение:Вычислим определитель, составленный из координат векторов :

Таким образом, векторы линейно независимы и образуют базис.
Представим вектор в виде линейной комбинации базисных векторов:

Покоординатно:

Систему решим по формулам Крамера:
, значит, система имеет единственное решение.

Ответ: Векторы образуют базис,

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Векторное произведение векторов.
Смешанное произведение векторов

На данном уроке мы рассмотрим ещё две операции с векторами: векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов. Ничего страшного, так иногда бывает, что для полного счастья, помимо скалярного произведения векторов, требуется ещё и ещё. Такая вот векторная наркомания. Может сложиться впечатление, что мы залезаем в дебри аналитической геометрии. Это не так. В данном разделе высшей математики вообще мало дров, разве что на Буратино хватит. На самом деле материал очень распространенный и простой – вряд ли сложнее, чем то же скалярное произведение, даже типовых задач поменьше будет. Главное в аналитической геометрии, как многие убедятся или уже убедились, НЕ ОШИБАТЬСЯ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ. Повторяйте как заклинание, и будет вам счастье =)

Если векторы сверкают где-то далеко, как молнии на горизонте, не беда, начните с урокаВекторы для чайников, чтобы восстановить или вновь приобрести базовые знания о векторах. Более подготовленные читатели могут знакомиться с информацией выборочно, я постарался собрать максимально полную коллекцию примеров, которые часто встречаются в практических работах

Чем вас сразу порадовать? Когда я был маленьким, то умел жонглировать двумя и даже тремя шариками. Ловко получалось. Сейчас жонглировать не придётся вообще, поскольку мы будем рассматривать только пространственные векторы, а плоские векторы с двумя координатами останутся за бортом. Почему? Такими уж родились данные действия – векторное и смешанное произведение векторов определены и работают в трёхмерном пространстве. Уже проще!

Источник