назовите ученого доказавшего что угол вписанный в полуокружность прямой

Теорема о вписанном угле

На рисунке 1 угол ВАС вписанный, дуга ВLС расположена внутри этого угла. В таком случае говорят, что вписанный угол АВС опирается на дугу ВLC.

Теорема

Доказательство

Доказать: АВС = АС.

Доказательство:

Луч ВО совпадает с одной из сторон угла АВС.

Пусть ВО совпадает с ВС (Рис. 2).

В данном случае дуга АС меньше полуокружности, следовательно, АОС =АС (т.к. АОС — центральный угол, причем он меньше полуокружности, поэтому градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается).

Луч ВО делит угол АВС на два угла.

В данном случае луч ВО пересекает дугу АС в некоторой точке D (Рис. 3).

Точка D разделят дугу АС на две дуги: АD и DС, поэтому АС = АD + DС.

Луч ВD разделяет угол АВС на два угла, поэтому АВС = АВD + DВС.

По доказанному в 1 случае АВD = АD и DВС = DС. Складывая эти равенства, получаем: АВD + DВС = АD + DС или АВD + DВС = (АD + DС). Следовательно, АВС = АС.

Луч ВО не делит угол АВС на два угла и не совпадает со стороной этого угла.

В данном случае луч ВС пересекает дугу АD в точке С (Рис. 4).

Луч ВС разделяет угол АВD на два угла, поэтому АВD = АВC + CВD, откуда АВC = АВD — CВD.

Теорема доказана.

Следствия из теоремы о вписанном угле

Теорема

Доказательство

Доказать: АЕВЕ = СЕDЕ.

Доказательство:

В АDЕ и СВЕ: 1 = 2, т.к. они вписанные и опираются на одну и ту же дугу ВD (смотри следствие 1 из теоремы о вписанном угле), 3 = 4 как вертикальные углы, следовательно, треугольники АDЕ и СВЕ подобны (по 1 признаку подобия треугольников). В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны, поэтому , откуда АЕВЕ = СЕDЕ. Теорема доказана.

Теорема

Доказательство

Доказать: ВАС = АВ.

Доказательство:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Вписанный угол окружности

Вписанный угол окружности — это угол, образованный двумя хордами, исходящими из одной точки, то есть вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности.

Угол ABC — вписанный угол. ∠ABC опирается на дугу AC, заключённую между его сторонами.

Теорема о вписанном угле

Теорема:

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Это следует понимать так: вписанный угол содержит в два раза меньше градусов, чем дуга, на которую он опирается:

∠ABC =	1	AC.
	2

При доказательстве этой теоремы следует рассмотреть три возможных случая расположения вписанного угла относительно центра окружности.

Первый случай. Сторона вписанного угла проходит через центр окружности.

Соединим точку A с центром круга (точкой O). Получим равнобедренный треугольник AOB, в котором AO = OB, как радиусы одной окружности. Следовательно, ∠A = ∠B, как углы при основании равнобедренного треугольника.

Так как ∠AOC — внешний угол равнобедренного треугольника, то:

а так как углы A и B равны, то

Но ∠AOC — центральный угол, значит ∠AOC = AC, следовательно ∠B измеряется половиной дуги AC:

∠ABC = ∠B =	1	AC.
	2

Второй случай. Центр окружности лежит между сторонами вписанного угла.

Проведём диаметр BD. Угол ABC разбился на два угла: ∠1 и ∠2.

Точка D разделяет дугу AC на две дуги: AD и DC. По доказательству, рассмотренному в первом случае:

∠1 =	1	AD и ∠2 =	1	DC.
	2		2

Следовательно, весь угол ABC будет измеряться половиной дуги AC:

∠1 + ∠2 =	1	AD +	1	DC
	2		2

∠ABC =	1	AC.
	2

Третий случай. Центр окружности лежит вне вписанного угла.

Проведём диаметр BD.

∠ABC =	1	AC.
	2

Следствия из теоремы

1. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой, так как они измеряются половиной одной и той же дуги.

2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой, так как он опирается на половину окружности.

Половина окружности содержит 180°, значит, угол, опирающийся на диаметр, содержит 90°.

Источник

Вписанный угол окружности

Определение 1. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом окружности.

На рисунке 1 угол ABC вписанный. А дуга AMB расположена внутри этого угла. В таком случае говорят, что угол ABC опирается на дугу AMB.

Теорема 1 (теорема о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Возможны три случая расположения луча BO относительно угла ABC.

Рассмотрим треугольник ABO. Данный треугольник равнобедренный так как радиусы OA и OB окружности с центром O равны. Тогда \( \small \angle 1=\angle 2. \) Угол AOC является внешним углом треугольника ABO. Тогда \( \small \angle AOC=\angle 1+\angle 2 \) и поскольку \( \small \angle 1=\angle 2, \) получим: \( \small \angle AOC=2 \cdot \angle 2. \) Отсюда следует:

2. Луч BO делит угол ABC на два угла и не совпадает со стороной этого угла (Рис.3). Тогда луч BO пересекает дугу AC в некоторой точке D и делит ее на две дуги: AD и DC. По доказанному в пункте 1, имеем:

Складывая равенства (1) и (2), получим:

3. Луч BO не делит угол ABC на два угла и не совпадает со стороной этого угла (Рис.4). Тогда луч BO пересекает окружность с центром O в некоторой точке D. По доказанному в пункте 1, имеем:

Вычитая из (4) равенство (5), получим:

Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (Рис.5).

Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность − прямой (Рис.6).

Произведение отрезков пересекающихся хорд

Теорема 2. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Источник

Тема урока: «Углы, вписанные в окружность»

Разделы: Математика

Цели урока: формирования знаний по теме, организация работы по усвоению понятий, научных фактов.

Воспитательные задачи: активизация самостоятельности познавательной деятельности учащихся. формирование навыков коллективной работы, развитие чувства ответственности за свои знания, культуры общения, приобщение к познанию оптической иллюзии и ее применение на практике, воспитание эстетической культуры.

Развивающие задачи: продолжить развитие умения анализировать, сопоставлять, сравнивать, выделять главное, устанавливать причинно-следственные связи; совершенствовать графическую культуру.

Технология: проблемное изучение с применением информационных технологий.

Тип урока: урок формирования новых знаний.

Форма урока: урок – проблемное изложение.

Оборудование урока: презентация: презентация, листы самоанализа.

1. Мотивирование к учебной деятельности

Здравствуйте, ребята. Садитесь. Я, надеюсь, что те знания, которые Вы получите на уроке пригодятся Вам в жизни.

2. Постановка проблемы и создание плана ее решения

Дана клумба круглой формы, на одной из хорд которой посажены розы. В каких разных местах клумбы должны быть посажены три куста роз таким образом, чтобы с этих точек все розы были видны под одним и тем же углом? (Cлайд 2). Презентация

Какие у Вас есть версии решения этой задачи?

Возникает проблемная ситуация. Знаний у учеников не хватает.

Чтобы ответить на этот вопрос, надо использовать свойства вписанного угла. Тогда давайте вместе составим план действий на уроке. Какие цели урока и как мы их будем достигать?”. В ходе обсуждения на экране появляется план урока. (Cлайд 3)

3. Актуализация знаний

Учитель: “ Дайте определение угла. Что называется центральным углом?”. (Cлайд 4)

4. Открытие нового понятия

Сейчас вы видите шесть рисунков. На какие группы вы бы их разделили и почему? (Cлайд 6)

Острые, прямые, тупые.

А углы 2, 4, 6 –называются вписанными. Вот о них мы сегодня и поведём речь.

Чем похожи и чем отличаются углы АВС и КРО? (Cлайд 7)

После ответа на этот вопрос учащиеся пытаются дать определение вписанного угла, после чего учитель выводит на экран формулировку, подчеркивая важные моменты: (Cлайд 8)

Далее, работа со слайдом 9 на закрепление понятия вписанного угла.

Найти рисунки, на которых изображены вписанные углы.

Задание. Выразите величину вписанного угла, зная, как выражается величина центрального угла через дугу, на которую он опирается. Работа со слайдом 10

Какое дополнительное построение нужно сделать, чтобы выполнить указанное задание? Если учащиеся сразу не догадаются, уточнить: какой центральный угол нужно связать с данным вписанным углом?

Далее учащиеся видят, что полученный центральный угол является внешним углом равнобедренного треугольника и приходят к выводу, что один из углов (в частности вписанный), равный их полусумме, равен половине центрального, т.е. половине дуги, на которую он опирается.

Далее учитель подтверждает замеченный ими факт, и говорит, что по сути дела в данном случае доказана теорема, которую нужно формулировать точно в соответствии с учебником.

Дается точная формулировка теоремы и проецируется на экран. (Cлайд 11).

Ученики в тетрадь переносят чертеж (слайд 12), далее записывают в тетради условие. Один из учащихся комментирует записи. Следующий ученик записывает и комментирует доказательство теоремы. Логичность и полноту оформления проверяют с помощью слайда 12). Таким образом, оформлено доказательство теоремы для случая, когда сторона вписанного угла проходит через центр окружности.

Случай, когда центр окружности лежит внутри угла, рассматривается устно с применением слайда 13.

Следующий случай, когда центр окружности лежит вне угла, учитель предлагает обосновать самостоятельно при домашней подготовке. (Cлайд 14). В классе же по чертежу слайда 15 выясняют, что данный вписанный угол можно рассматривать как разность двух углов, у каждого из которых одна сторона является какой либо стороной данного угла, а вторая сторона общая и проходит через центр окружности.

5. Исследовательская работа по выявлению свойств нового понятия

Работа со слайдом 15.

Задание. Как быстро с помощью циркуля и линейки построить сразу несколько углов, равных данному углу? Они замечают, что их способы способ нерациональны. Возникает проблемная ситуация: старые знания не дают рационального решения поставленной задачи.

Подумайте, как, используя новый материал, можно решить эту задачу. Можно провести окружность, проходящую через вершину угла, без указания центра и построить различные вписанные углы, опирающихся на одну дугу. Проблемная ситуация разрешена. После чего формулируется следствие 1: “Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны”.

Аналогично проводится работа, ведущая к формулировке следствия 2. (Cлайд 16)

Как быстро с помощью циркуля и линейки построить прямой угол? Разъясняется, что “быстро” надо понимать за “минимальное число шагов”. Приходим к нерациональности данного построения. Если ученики не догадались, как выполнить построение, учитель задает вопрос: на какую дугу должен опираться прямой вписанный угол? После этого ученики излагают пошагово ход построения:

После этого учитель говорит, что в данном построении использовалось следствие 2 из теоремы о вписанном угле. Попробуйте его сформулировать.

Уточненная формулировка проецируется на экран. (Cлайды 17-19)

6. Применение новых знаний

Решение задач на закрепление нового материала. Работа со слайдами 20-26.

7. Игра на повторение с целью закрепления теоретического материала.(Cлайд 27)

8. Индивидуальная работа с тестом. (Cлайды 28-30)

Листочки с ответами сдаются учителю. Затем учитель комментирует решения.

1. Угол АСВ на 38° меньше угла АОВ. Найдите сумму углов АОВ и АСВ

а) 96°; б) 114°; в) 104°; г) 76°;

2. МР – диаметр, О – центр окружности. ОМ=ОК=МК. Найдите угол РКО.

а) 60°; б)40°; в) 30°; г) 45°;

3. Угол АВС вписанный, угол АОС – центральный. Найдите угол АВС, если угол АОС=126°

а) 112 °; б) 123 °; в) 117°; г) 113 °;

1. Угол МСК на 34 °меньше угла МОК. Найдите сумму углов МСК и МОК.

а) 112°; б) 102°; в) 96°; г) 68°;

2. АС – диаметр окружности, О – ее центр. АВ=ОВ=ОА. Найдите угол ОВС.

а) 50°; б) 60°; в) 30°; г) 45°;

3. О – центр окружности, угол L =136 °. Найдите угол В.

а) 292 °; б) 224 °; в) 112 °; г) 146 °;

Ответы к заданиям проверяются после заполнения теста.

9. Применение новых знаний в незнакомых ситуациях

а ) Работа со слайдами 31-33.

Учитель: “Дома Вы решали задачу на вычисление углов пятиконечной звезды, вписанной в окружность. Как Вы ее решили?”.

Как решить эту задачу с помощью теоремы о величине вписанного угла.

II способ: Когда вершины пятиугольной звезды делят окружность на равные дуги, задача решается очень просто: 360°: 5 :2 *5=180°.

б)Разбор математического софизма на применение теоремы о величине вписанного угла.

Хорда, не проходящая через центр, равна диаметру.(Cлайд 34-36) Найти ошибку в рассуждениях.

Решение. Пусть в окружности проведен диаметр АВ. Через точку В проведем какую-либо хорду ВС, не проходящую через центр, затем через середину этой хорды D и точку А проведем новую хорду АЕ. Наконец, точки Е и С соединим отрезком прямой. Рассмотрим ▲АВD и ▲ЕDС. В этих треугольниках: ВD=DC (по построению), Ð А = Ð С (как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу). Кроме того, Ð ВDА= Ð ЕDC (как вертикальные). Если же сторона и два угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Значит,

▲ ВDА= ▲ ЕDC, а в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.

Найдите ошибку в рассуждениях.

в) Тест на оптическую иллюзию по рисункам с альтернативным ответом. (Cлайды 37-39)

Показать, какую иллюзорную деформацию вызывают острые центральные углы и вписанные углы.

Тест1. Здесь иллюзорную деформацию вызывают острые центральные углы. Хотя углы АОВ, ВОС, COD равны, но за счет множества острых углов, на которых разбиты два угла, они выдают себя за наибольшие, чем средний угол.

Тест 2-3. Здесь доминирующими являются окружности. Углы, вписанные в окружность, образуют в первом случае квадрат, во втором правильный треугольник. Эти фигуры за счет множества окружностей выдают себя, как фигуры приближенные к квадрату и треугольнику. Стороны кажутся вогнутыми во внутрь.

Итак, иллюзию мы можем применять на практике, в повседневной жизни. Например, с ее помощью можно скрывать недостатки формы лица, фигуры.

Давайте вернемся к плану урока и посмотрим, на все ли вопросы мы ответили?

Мы с Вами не ответили на один вопрос. Так как же надо посадить три розы? (Cлайд 40-41)

Усвоив теорему о величине вписанного угла в окружность, делаем вывод, т.к. из всех точек окружности, кроме концов хорды, эта хорда видна под одним и тем же углом, мы можем посадить кусты роз в любой точке на окружности клумбы, кроме точек М и N. Это одно из практических применений теоремы о величине вписанного угла в окружность.

В конце урока учащимся для заполнения может быть выдана анкета, которая позволяет осуществить самоанализ, дать качественную и количественную оценку уроку, при этом, дополнительно, может быть сформулировано задание на аргументацию своего ответа:

1. На уроке я работал…;

2. Своей работой на уроке я…;

3. Урок для меня показался…;

5. Материал урока мне был…;

6. Домашнее задание мне кажется…

Домашнее задание. (Cлайд 42)

Источник