о чем гласит теорема пифагора

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора — квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (в прямоугольном треугольнике); формула: c² = a² + b².

Доказательство

Доказательство теоремы Пифагора, используя алгебру

Нужно доказать, что c² = a² + b²:

Это квадрат, в котором есть 4 одинаковых треугольника abc:

Что и требовалось доказать.

«Пифагоровы штаны на все стороны равны»

Это шуточная фраза, которая именует ещё одно доказательство теоремы Пифагора

На этой фигуре c — гипотенуза, a и b — катеты.

Проведём перпендикулярную линию к гипотенузе (c):

Таким образом появились два новых прямоугольных треугольника (A и B) внутри большого (исходный треугольник С).

Что и требовалось доказать.

Примеры

Задача 1

На рисунке видно, что длина одной стороны прямоугольного треугольника составляет 3 см, длина другой — 4 см. Найдите длину гипотенузы.

Подставить известные значения

Ответ: длина гипотенузы равна 5.

Задача 2

Длина одной стороны прямоугольного треугольника составляет 12 см, длина гипотенузы 13 см. Найдите длину другой стороны треугольника.

Подставить известные значения

Ответ: длина другой стороны треугольника равна 5.

Следствия из теоремы Пифагора

Это основные следствия теоремы:

Кто придумал теорему Пифагора

Концепция теоремы Пифагора была известна ещё в древнем Египте и Вавилоне (около 1900 г. до н. э.). Связь между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике была изображена на вавилонской глиняной табличке (которой около 4000 лет). Однако это знание стало широко использоваться лишь после того, как сам Пифагор заявил о нём (он жил в 6 веке до н. э.).

Узнайте также, что такое Теорема Виета и Аксиома.

Источник

Теорема Пифагора

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Теорема Пифагора, определение: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катет — одна из двух сторон, образующих прямой угол.

Формула Теоремы Пифагора выглядит так:

где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Из этой формулы можно вывести следующее:

Для фигуры со сторонами a, b и c, где c самая длинная сторона действуют следующие правила:

Теорема Пифагора: доказательство

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано: ∆ABC, в котором ∠C = 90º.

Пошаговое доказательство:

a 2 + b 2 = c * HB + c * AH

a 2 + b 2 = c * (HB + AH)

Обратная теорема Пифагора: доказательство

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такая фигура является прямоугольной.

Дано: ∆ABC

Доказать: ∠C = 90º

Пошаговое доказательство:

Обратная теорема доказана.

Решение задач

Задание 1. Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 10 см. Какое значение у гипотенузы?

значит c 2 = a 2 + b 2 = 6 2 + 10 2 = 36 + 100 = 136

Задание 2. Является ли фигура со сторонами 8 см, 9 см и 11 см прямоугольным треугольником?

Ответ: треугольник не является прямоугольным.

Источник

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора – в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Вы узнаете, как доказать теорему, формула Пифагора и как решать задачи.

История теоремы

Однако название получено в честь учёного только по той причине, что он первый и, даже единственный человек, который смог доказать теорему.

Немецкий историк математики Кантор утверждал, что о теореме было известно ещё египтянами приблизительно в 2300 году до н. э. Он считал, раньше строили прямые углы благодаря прямоугольным треугольникам со сторонами 3, 4 и 5.

Известный учёный Кеплер говорил, что у геометрии есть незаменимое сокровище – это теорема Пифагора, благодаря которой можно вывести большинство теорем в геометрии.

Раньше теорему Пифагора называли “теоремой невесты” или “теоремой нимфы”. А всё дело в том, что её чертёж был очень похож на бабочку или нимфу. Арабы же, когда переводили текст теоремы, решили, что нимфа означает невеста. Так и появилось интересное название у теоремы.

Нужна помощь в написании работы?

Теорема Пифагора, формула

Теорема Пифагора – в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов () равна квадрату гипотенузы (). Это одна из основополагающих теорем эвклидовой геометрии.

Формула:

Как уже говорилось, есть много разнообразных доказательств теоремы с разносторонними математическими подходами. Однако, более часто используют теоремы, связанные с площадями.

То есть сумма площадей квадратов, построенных на катетах равняется площади квадрата, построенном на гипотенузе. Соответственно, площади этих квадратов равны – . Это и есть геометрическое объяснение Пифагора.

Доказательство теоремы методом площадей: 1 способ

Докажем, что .

Рассмотрим всё тот же треугольник с катетами a, b и гипотенузой c.

Получается такой же треугольник, только перевёрнутый.

Аналогично строим и с другой стороны: от катета “а” проводим линию катета “b” и вниз “а” и “b” А снизу от катета “b” проводим линию катета “а”. В центре от каждого катета провели гипотенузы “с”. Таким образом гипотенузы образовали квадрат в центре.

Этот квадрат состоит из 4-х одинаковых треугольников. А площадь каждого прямоугольного треугольника = половина произведения его катетов. Соответственно, . А площадь квадрата в центре = , так как все 4 гипотенузы со стороной . Стороны четырёхугольника равны, а углы прямые. Как нам доказать, что углы прямые? Очень просто. Возьмём всё тот же квадрат:

Мы знаем, что эти два угла, показаны на рисунке, являются 90 градусам. Так как треугольники равны, значит следующий угол катета “b” равен предыдущему катету “b”:

Сумма этих двух углов = 90 градусов. Соответственно, предыдущий угол тоже 90 градусов. Конечно же, аналогично и с другой стороны. Соответственно, у нас действительно квадрат с прямыми углами.

Так как острые углы прямоугольного треугольника в общей сложности равняются 90 градусам, то угол четырёхугольника так же будет равен 90 градусов, ведь 3 угла в сумме = 180 градусов.

Соответственно, площадь квадрата складывается из четырёх площадей одинаковых прямоугольных треугольников и площади квадрата, который образован гипотенузами.

Таким образом, получили квадрат со стороной . Мы знаем, что площадь квадрата со стороной – это будет квадрат его стороны. То есть . Этот квадрат состоит из четырёх одинаковых треугольников.

И это значит, что мы доказали теорему Пифагора.

ВАЖНО. Если находим гипотенузу, тогда складываем два катета, а затем ответ выводим из корня. При нахождении одного из катетов: из квадрата длины второго катета вычитаем квадрат длины гипотенузы и находим квадратный корень.

Примеры решения задач

Дано: прямоугольный треугольник с катетами 4 и 5.

Найдите гипотенузу. Пока её обозначим “с”

Сумма квадратов катетов равняется квадрату гипотенузы. В нашем случае – .

Воспользуемся теоремой Пифагора:

Итак, , а . Катеты в сумме получают 41.

Тогда . То есть квадрат гипотенузы равен 41.

Квадрат числа 41 = 6,4.

Мы нашли гипотенузу.

Дано: прямоугольный треугольник, где гипотенуза = 12, один катет = 10

Найдите второй катет.

Обозначим неизвестный катет – b.

Воспользуемся теоремой Пифагора:

, а

Находим

Если , тогда просто

Второй катет (b) равен 6,6.

Заключение

Итак, мы рассмотрели теорему Пифагора, смогли привести ее доказательство и привели несколько примеров задач и их решений.

Запомните раз и навсегда: квадраты гипотенузы равен суммы квадратов катетов: (это вся теорема Пифагора).

Средняя оценка 4 / 5. Количество оценок: 3

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

Смотрите также

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Комментарии

Даже теорему Пифагора не сумели доказать внятно и понятно. Галиматья, а не доказательство. Впрочем, такая же галиматья, как и все в интернете

Признаем, идеально не получилось. Мы старались, честно) Раз 5 переписывали статью. Видимо, нужно ещё раз

Источник

Теорема Пифагора

Формула теоремы Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов (рис. 1):

Доказательство теоремы Пифагора

из подобия треугольников получаем, что

$$a^<2>=c \cdot H B, b^<2>=c \cdot A H$$

Сложив полученные равенства, получаем

$$a^<2>+b^<2>=c \cdot H B+c \cdot A H$$

Что и требовалось доказать.

Геометрическая формулировка теоремы Пифагора

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах (рис. 2):

Примеры решения задач

Отсюда получаем, что искомая гипотенуза

Ответ. 10 см

Теорема Пифагора не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Задание. Найти площадь прямоугольного треугольника, если известно, что один из его катетов на 5 см больше другого, а гипотенуза равна 25 см.

Раскрываем скобки, сводим подобные и решаем полученное квадратное уравнение:

Согласно теореме Виета, получаем, что

Площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению длин его катетов, то есть

Историческая справка

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

Остались вопросы?

Здесь вы найдете ответы.

Согласно теореме Пифагора, значение длины гипотенузы (с) треугольника с прямыми углами, возведенное в квадратную степень, является величиной, равной сумме его катетов (а и b), каждый из которых также возведен в квадрат. Наглядно и с применением условных обозначений это выглядит так:

В теореме Пифагора говорится о том, что в треугольнике с прямыми углами сумма длин катетов, каждая из которых возведена в квадрат, равна длине его гипотенузы, также возведенной в квадратную степень.

При этом под гипотенузой понимается сторона, которая расположена противоположно прямому углу. Катетом считается одна из сторон, участвующих в образовании прямого угла.

Основание прямоугольного треугольника обозначим как Н. Из его вершины С проведем высоту на гипотенузу АВ. Получившийся в результате этого треугольник АСН является подобным треугольнику АВС по двум углам, равным 90º (∠ACB =∠CHA).

Подобными также являются треугольные фигуры АВС и СВН. Основанием их подобия являются прямые углы (∠ACB =∠CHB). Оба эти треугольника имеют общий угол, которым является ∠B.

Для продолжения доказательства теоремы Пифагора следует ввести дополнительные обозначения: BC = a, AC = b, AB = c.

На основании полученной ранее информации о подобии треугольников можно утверждать, что:

Полученное равенство также позволяет сделать следующий вывод:

a2 = c * HB, b2 = c * AH.

На следующем этапе произведем сложение полученных ранее равенств:

a2 + b2 = c * HB + c * AH

Вынесем за скобки общий множитель во второй части равенства:

Теперь можно сократить Н в левой части равенства, в результате получим:

В приведенных выше обозначениях указано, что АВ = с. Это позволяет переписать равенство следующим образом:

a2 + b2 = c * c, или a2 + b2 = c2

Таким образом, теорема Пифагора доказана.

Согласно теореме Пифагора, длина гипотенузы прямоугольного треугольника, которая возведена в квадрат, равна сумме, полученной в результате сложения квадратов длин его катетов. Из этого следует, что:

Извлечем квадрат из обеих частей равенства, в итоге получим:

x = √(5² + 5²)= √(25+25) = √50 = √25*2 = 5√2

Ответ: длина гипотенузы прямоугольного треугольника, катет которого равен 5 см, составляет 5√2, что равно примерно 7,07 см.

Теорема Пифагора не может быть применима к треугольнику с тупыми или острыми углами. Она выполняется только в случае прямоугольного треугольника.

Для треугольника с углом 90º справедливо утверждение о том, что длина его гипотенузы, возведенная во вторую степень, равна сумме длин его катетов, взятых в квадрат.

В теореме Пифагора говорится о том, что сумма длин катетов прямоугольного треугольника, возведенных во вторую степень, равна квадрату длины его гипотенузы. В случае с треугольником, некоторые параметры которого приведены в задании, это утверждение выглядит следующим образом:

Для того чтобы найти значение х, нужно извлечь квадратный корень из числа 13:

Ответ: Длина второго катета прямоугольного треугольника равна корню квадратному из 13.

Для решения поставленной задачи следует воспользоваться теоремой Пифагора, которая говорит о том, что сумма длин катетов треугольника с прямым углом, возведенных в квадрат, равна длине его гипотенузы, также возведенной во вторую степень:

Теорема Пифагора может быть применима в данном случае по причине того, что образованная между двумя домами конструкция является прямоугольным треугольником. Зная о том, что сумма квадратов катетов в прямоугольном треугольнике равна длине его катета, возведенной в квадрат, можно вычислить длину неизвестного катета:

Длина одного катета треугольника равна 16 м, второго – 8 м. Зная это, можно применить теорему Пифагора для вычисления длины гипотенузы:

(16*16) + (8*8) = 256 + 64 = 320 м.

Осталось только извлечь квадратный корень из 320, для того чтобы узнать длину расстояния между крышами двух домов.

Ответ: Расстояние между крышами домов равно корню квадратному из 320.

Обозначим длину неизвестного катета как х. Зная то, что по теореме Пифагора длина гипотенузы прямоугольного треугольника, возведенная во вторую степень, равна сумме длин его катетов, которые также возведены в квадрат, можно выразить длину неизвестного катета следующим образом:

х² = 132 – 122 = 169 – 144 = 25

Теперь, для того чтобы узнать длину второго катета, необходимо извлечь квадратный корень из числа 25:

Ответ: длина второго катета прямоугольного треугольника равна 5 см.

Известно, что длина медианы (m), которая проведена к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна ½ ее длины. Используя это, можно высчитать длину гипотенузы прямоугольного треугольника:

Высчитав длину гипотенузы и зная длину одного из катетов прямоугольного треугольника, можно вычислить, чему равен его второй катет. Для этого можно использовать теорему Пифагора, согласно которой:

Выражаем из записанного выше равенства длину неизвестного катета:

Из полученного числа нужно извлечь квадратный корень, для того чтобы узнать длину второго катета прямоугольного треугольника:

Ответ: Длина второго катета прямоугольного треугольника равна 12 см.

Равенство, указанное в задании, применимо к треугольнику с прямым углом, как гласит теорема Пифагора.

Каждая из сторон треугольника может быть обозначена прописной буквой, которая соответствует строчной букве, обозначающей угол треугольника, расположенный противоположно этой стороне. На основании этого можно сделать вывод о том, что искомый треугольник является прямоугольным и имеет гипотенузу f и катеты a и b:

Ответ: имеется треугольник АDF с прямым углом F.

Теорема, которая является обратной теореме Пифагора, существует. Согласно этой теореме, треугольник считается прямоугольным в том случае, если длина его большей стороны, возведенная в квадратную степень, равна сумме длин двух других его сторон, которые также возведены в квадратную степень.

Для начала следует провести высоту (h) к основанию равнобедренного треугольника. Данная высота, проведенная к основанию, в случае с равнобедренным треугольником является медианой.

Теперь можно высчитать длину высоты, используя теорему Пифагора. Она будет равна:

Площадь (S) треугольника рассчитывается путем деления на число, полученное в результате умножения длины высоты на длину основания треугольника:

S = ½*10,5√15 см*51 см = 267,75√15 см².

Ответ: Площадь треугольника равна 267,75√15 см².

В равностороннем треугольнике высота (h), проведенная к его основанию, является также его биссектрисой и медианой. Она делит равносторонний треугольник на две части, которые являются равными треугольниками с прямым углом. Их гипотенуза равна а, а катеты – а/2. Для ответа на поставленный вопрос следует применить теорему Пифагора:

Обозначим меньший из катетов как х. Тогда другой катет, длина которого в два раза больше, будет обозначен как 2х. Если в случае с прямоугольным треугольником, длина гипотенузы которого равна √15, применить теорему Пифагора, то она будет выглядеть следующим образом:

После раскрытия скобок в уравнении получаем следующее равенство:

Складываем слагаемые в первой части и получаем:

Сокращаем обе части уравнения на 5, и в итоге получается, что:

Ответ: Длина меньшего из катетов треугольника равна √3, а большего – 2√3.

Если обозначить длину неизвестного катета через х, то гипотенуза будет равна 180-х. Используя введенные обозначения, запишем теорему Пифагора для данного треугольника:

После сокращений получается следующее равенство:

Теперь можно найти значение х:

Длина второго катета равна 80 см.

Зная, что катет в 80 см и неизвестная длина гипотенузы в сумме дают 180 см, можно вычислить длину гипотенузы:

Ответ: Длина гипотенузы равна 100 см.

АВСD является прямоугольной трапецией, у которой AB=9 см и CD=18 см. Диагональ АС данной трапеции составляет 15 см. При этом ВС и AD остаются неизвестными величинами. Длину ВС можно вычислить по следующей формуле:

Произведем перенос высоты:

Тогда получаем, что:

Ответ: Длина основания AD прямоугольной трапеции равна 12+9√3 см.

Источник