когда можно применять ряд тейлора

Ряд Тейлора. Ряды Маклорена.

Ряд Тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Ряд Тейлора применяют для апроксимации функции многочленами. То есть, линеаризация уравнений проходит путем разложения в ряд Тейлора и отсечения каждого члена старше 1-го порядка.

Определение ряда Тейлора.

Функция f(x) бесконечно дифференцируется в некоторой окрестности т.a:

Этот ряд называется рядом Тейлора функции f в т.a.

Свойства ряда Тейлора.

Если f есть аналитическая функция во всякой точке a, то ряд Тейлора этой функции во всякой точке a области определения f сходится к f в некоторой окрестности a.

Есть бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, однако, при этом отличается от функции во всякой окрестности a. Вариант, предложенный Коши:

У этой функции каждые производные в 0 равны нулю, поэтому коэффициенты ряда Тейлора в точке a=0 равны 0.

Если у функция f(x) есть непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то эту функцию можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

где R_n − остаточный член в форме Лагранжа определяют так:

Если это разложение сходится в некотором интервале x, т.е. , значит, оно является рядом Тейлора, который представляет разложение функции f (x) в т.a.

Если a = 0, значит, это разложение является рядом Маклорена:

Ряды Маклорена некоторых функций.

1. Экспонента: ,

Источник

Решение пределов, используя ряд Тейлора

Метод решения

Этот метод применим, если после выполнения пункта 1), функции в числителе и знаменателе можно разложить в степенной ряд.

Применяемые свойства о малого

Определение и доказательство свойств о малого приводится на странице: «О большое и о малое. Сравнение функций». Здесь мы приводим свойства, используемые при решении пределов разложением в ряд Маклорена (то есть при ).

Разложение элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)

Примеры

Все примеры Далее мы приводим подробные решения следующих пределов с помощью ряда Тейлора.
⇓, ⇓, ⇓, ⇓, ⇓.

Пример 1

Все примеры ⇑ Вычислить предел последовательности, используя разложение в ряд Тейлора.
.

Пример 2

Все примеры ⇑ Показать, что значение второго замечательного предела можно получить, используя разложение в ряд Тейлора.

Вычисляем предел в показателе, используя следующее разложение в ряд Тейлора:
.
.

Поскольку экспонента является непрерывной функцией для всех значений аргумента, то по теореме о пределе непрерывной функции от функции имеем:
.

Пример 3

Все примеры ⇑ Вычислить предел, используя разложение в ряд Тейлора.
.

Раскладываем с точностью до квадратичных членов:
;
.
Делим числитель и знаменатель на и находим предел:
.

Пример 4

Все примеры ⇑ Решить предел с помощью ряда Тейлора.
.

Подставляем в исходную функцию.

.
Находим предел.
.

Пример 5

Все примеры ⇑ Найти предел с помощью ряда Тейлора.
.

Будем проводить разложение числителя и знаменателя в ряд Маклорена до четвертой степени включительно.

Подставляем разложение числителя и знаменателя и находим предел.
;
.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, 2003.

Источник

Краткое описание

Существует теория приближения функций, которая на практике является неотъемлемым элементом математики. Для подробного изучения этой темы крайне важно понимать, что под приближением функции подразумевают замену по действующим нормам одной функции другой, которая максимально приближена к исходным данным в том или ином смысле. Необходимость выполнять перечисленные действия возникает в том случае, когда конкретную функцию нужно заменить на более простую и понятную для всех дальнейших математических расчётов.

Применение формулы Тейлора в онлайн-режиме пользуется большим спросом, так как в этом случае можно избежать грубых ошибок. Это математическое направление активно используется для поэтапного разложения функций в степенной ряд Фурье. Но некоторые трудности могут возникнуть на этапе вычисления интегралов. Существенно упростить поставленную задачу позволяет только замена данных степенным рядом.

Правильное нахождение показателей стандартных и обратных тригонометрических, а также логарифмических функций может быть сведено к нахождению значений соответствующих многочленов. Классический метод решения поставленных задач подразумевает предварительное изучение всех правил и математических примеров.

Ключевые особенности

Элементарная функция d (x) обладает всеми необходимыми производными до n+1. Если функцию или корень квадратный можно разложить в ряд Тейлора в некоторой нулевой точке, то предварительно нужно удостовериться в том, что функция является аналитической в конкретной точке. В противном случае получится самый обычный ряд, который не равен своей функции. Ряд Тейлора можно с уверенностью назвать степенным рядом, так как он имеет в качестве области сходимости круг для случая комплексной переменной, а также обычный интервал для вещественной переменной.

Используемые сегодня математические формулы являются плодом многолетних трудов учёного, а вот современным людям остаётся только отыскать в многочисленных комбинациях ту, которая максимально подойдёт для конкретной ситуации. Математика считается той наукой, которая кажется незаметной, но она сопровождает человека в течение всей его жизни. В процессе естественной эволюции формула Маклорена (Тейлора) была подвержена незначительным изменениям, а связано это с изменением понимания назначения самой формулы.

В четырёхзначных таблицах Брадиса для существующего синуса этого угла указано значение 0,3420. Большим спросом также пользуется расширенный список эквивалентности элементарных функций. На элементарном графике можно отобразить изменение значений разложения в ряд (в зависимости от реального количества членов разложения). Если ограничится только тремя членами разложения, то в итоге будет достигнуто значение 0,0002.

Аналогичность функций

Основные примеры формулы Тейлора позволяют учащимся разобраться во всех нюансах, без которых правильно решить задачу просто невозможно. Стоит представить некоторую функцию h (x), которую нужно правильно разложить в ряд х = b. Нужно убедиться, что функция является аналитической. На примере функции Коши можно увидеть, что любая функция может быть дифференцируемой в точке b неограниченное количество раз. Ряд Тейлора с параметром b может быть сходящимся, но при этом итог часто не соответствует своей функции.

Обязательным условием аналитичности функции всегда считается сходимость ряда Тейлора в определённой непрерывной области. Если ряд сходится исключительно в одной точке, то она будет равна формуле х = b. Но в такой ситуации сформированный ряд будет соответствовать функции h (x) только в конкретной точке. Полученный результат будет служить подтверждением того, что функция не будет аналитической.

Экспертами доказано, что в ряд Тейлора с остаточным членом может быть разложена абсолютно любая функция, которая в окрестности точки b до бесконечности дифференцируется. Если был задан предел для каждой из двух существующих последовательностей, то итоговый результат будет равен сумме этих же пределов.

Ряд Тейлора сходится по всей оси х для любых параметров b. При помощи математических приёмов ученику необходимо доказать аналитичность функции во всех точках b. Последние символы указывают на некоторое число, которое заключено между x и b. После всех выполненных манипуляций можно получить правильный результат.

Если всё проанализировать, то в итоге можно определить, что на фиксированном промежутке экспонента ограничена определённым числом М. А вот предел остаточного члена равен нулю для имеющихся x и b.

Практическое применение

Универсальная формула Тейлора для функции нескольких переменных активно используется в математике. Талантливыми учёными было доказано, что для элементарной программы можно ограничиться шестью либо семью членами ряда для числа p в степени x, а также пятью членами ряда для логарифма натурального типа. Специалистам отлично известна связь формулы с десятичным логарифмом. Самостоятельное написание программы для вычисления десятичных логарифмов гораздо упрощается. Благодаря такому подходу можно в автоматическом режиме высчитать значение натурального логарифма, а потом получить достоверный результат в десятичном виде.

Многогранность формулы Тейлора для косинусов позволяет правильно разработать логическую структуру программы. Вложенные циклы используются для большей наглядности, что существенно упрощает эксплуатацию. Программа построена таким образом, что пользователю необходимо ввести только правильный номер требуемой функции и аргумент x для конкретной функции.

На финальном этапе разработки универсальной программы происходит перевод результатов из экспоненциальной формы конкретного числа в наиболее привычную форму вещественного числа. Но даже в этом случае действуют свои правила. Программа имеет определённые ограничения в использовании, так как реальное значение функции и полученное автоматическим путём значение не сходится.

Даже самое тщательное разложение по формуле талантливого Тейлора с ограниченным рядом членов в итоге даёт минимальные погрешности при малых значениях аргумента. Для расширения возможностей программы следует существенно увеличить длину ряда. Аналогичный подход можно встретить в инновационных калькуляторах и ЭВМ. Большим спросом пользуется табличное разложение обычного тангенса и арктангенса.

Основные примеры

Элементарное доказательство формулы Тейлора позволяет решать даже самые сложные математические задачи. Достижения талантливого учёного используются при аппроксимации функции элементарными многочленами. Даже линеаризация уравнений может быть осуществлена путём разложения в ряд и последующего отсечения абсолютно всех существующих членов первого порядка. Изучаемая формула также активно используется при математическом доказательстве большого количества теорем в своеобразном дифференциальном исчислении.

В качестве примера следует разложить в ряд следующую функцию: l (x)=1​/x. Следует учесть, что в окрестности точки x 0 приравнивается к единице. Для решения задачи следует задействовать замену:

Полученный результат лучшим образом демонстрирует разложение по степеням двучлена (х-1).

Если выполнить замену переменной, то в итоге можно получить следующий результат:

На финальном этапе остаётся только выполнить обратную замену переменной. Правильное решение поставленной задачи выглядит следующим образом: d (x)=(x+1) 3 −(x+1) 5 /2​+(x+1) 7 /6​+o ((x+1) 7 ).

Интересные факты

Тейлор Брук был талантливым английским математиком, членом почётного Лондонского королевского общества. Благодаря своей целеустремлённости он получил общую формулу разложения функций в своеобразный степенной ряд. Тейлор также положил начало математическому изучению задачи о колебаниях струны. Этот математик является автором работ о полёте снарядов, тесном взаимодействии магнитов, центров качания. До своих последних дней Тейлор Брук усердно занимался изучением философских вопросов.

Но многие математики руководствовались исключительно своим опытом, из-за чего у них было большое сомнение по поводу того, что абсолютно любая непрерывная функция распадается в бесконечный ряд. Только в XIX веке Коши смог дать действительно интересный пример функции. Благодаря этому многие вспомнили, что именно Тейлор впервые разработал универсальные основы нормирования труда, а также смог внедрить в практику научные подходы к подбору квалифицированного персонала. Система Тейлора заложила основы научной организации труда через создание формул и законов.

Если применить все полученные знания на практике, то в итоге можно составить многофункциональную программу «Pascal». За счёт чего у пользователей появится возможность вычислять значения в конкретной степени натурального логарифма, а также десятичного логарифма с минимальными расхождениями от реальных показателей.

Источник

Формула Тейлора

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Если функция \(f(x)\) имеет в точке \(x_<0>\) производную n-го порядка, то существует многочлен \(P_(x)\) степени не выше n такой, что
$$
P_n(x_0)=f(x_<0>),\ P_^<(k)>(x_<0>)=f^<(k)>(x_<0>),\ k=\overline<1,n>.\label
$$
Этот многочлен представляется в виде
$$
P_n(x)=f(x_<0>)+\frac)><1!>(x-x_0)+\frac<2!>(x-x_0)^2+\ldots+\frac(x_0)>(x-x_0)^n.\label
$$

\(\circ\) Пусть \(\varphi(x)=(x-x_0)^m\), где \(m\in\mathbb\). Тогда \(\varphi(x_0)=0\),
$$
\varphi^<(k)>(x_<0>)=\left\<\begin
0, & если \ k\neq m,\\
k!, & если \ k=m.
\end\right.\label
$$
Из \eqref следует, что многочлен \(P_n(x)\), заданный формулой \eqref, удовлетворяет условиям \eqref. Этот многочлен называют многочленом Тейлора n-го порядка для функции \(f(x)\) в точке \(x_<0>\). \(\bullet\)

Пусть функции \(f(x)\) и \(\psi(x)\) определены в \(\delta\)-окрестности точки \(x_0\) и удовлетворяют следующим условиям:

Тогда для каждого \(x\in\dot_<\delta>(x_<0>)\) существует точка \(\xi\), принадлежащая интервалу с концами \(x_0\) и \(x\) такая, что
$$
\frac<\varphi(x)><\psi(x)>=\frac<\varphi^<(n+1)>(\xi)><\psi^<(n+1)>(\xi)>.\label
$$

\(\circ\) Пусть, например, \(x\in(x_0,x_0+\delta)\). Тогда, применяя к функциям \(\varphi\) и \(\psi\) на отрезке \([x_0,x]\) теорему Коши и учитывая, что \(\varphi(x_0)=\psi(x_0)=0\) в силу условий \eqref, получаем
$$
\frac<\varphi(x)><\psi(x)>=\frac<\varphi(x)-\varphi(x_0)><\psi(x)-\psi(x_0)>=\frac<\varphi'(\xi_1)><\psi'(\xi_1)>\quad x_0 Теорема 1.

Пусть существует \(\delta >0\) такое, что функция \(f(x)\) имеет в \(\delta\)-окрестности точки \(x_0\) производные до \((n+1)\)-го порядка включительно.

Тогда для любого \(x\in\dot_\delta(x_0)\) найдется точка \(\xi\), принадлежащая интервалу \(\Delta\) с концами \(x_<0>\) и \(x\), такая, что
$$
f(x)=f(x_0)+\frac)><1!>(x-x_0)+\ldots+\frac(x_<0>)>(x-x_0)^n+\frac(\xi)><(n+1)!>(x-x_<0>)^.\label
$$

\(\circ\) Пусть \(x\in\dot_\delta(x_0)\), \(P_n(x)=\displaystyle \sum_^\frac(x_<0>)>(x-x_0)^k\) — многочлен Тейлора для функции \(f(x)\). Обозначим
$$
r_(x)=f(x)-P_n(x).\label
$$
Так как многочлен \(P_(x)\) удовлетворяет в силу леммы 1 условиям \eqref, то из равенства \eqref следует, что
$$
r_n(x_0)=r_n'(x_0)=\ldots=r_^<(n)>(x_<0>)=0.\label
$$
Рассмотрим функции \(\varphi(x)=r_n(x)\), \(\psi(x)=(x-x_0)^\). Эти функции удовлетворяют условиям леммы 2, и поэтому для них выполняется равенство \eqref, то есть
$$
\frac<\varphi(x)><\psi(x)>=\frac<(x-x_0)^>=\frac(\xi)><(n+1)!>=\frac(\xi)><(n+1)!>,\quad\xi\in\Delta,\label
$$
так как \(P_n^<(n+1)>(x)\equiv 0,\ \psi^<(n+1)>(x)=(n+1)!\) Из равенств \eqref и \eqref следует формула \eqref. \(\bullet\)

Функцию \(r_n(x)=\displaystyle \frac(\xi)><(n+1)!>(x-x_0)^\) называют остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа. Формула \eqref справедлива и при \(x=x_<0>\).

Если функции \(\varphi\) и \(\psi\) дифференцируемы \(n\) раз при \(x\geq x_<0>\) и удовлетворяют условиям \(\varphi^<(k)>(x_<0>)=\psi^<(k)>(x_<0>)\), \(k=\overline<0,n-1>\), \(\varphi^<(n)>(x)>\psi^<(n)>(x)\) при \(x > x_0\), то \(\varphi(x) > \psi(x)\) при \(x > x_<0>\).

\(\circ\) Для \(n=1\) утверждение доказано ранее (следствие 4 из теоремы Лагранжа). Обозначим \(f(x)=\varphi(x)-\psi(x)\). Тогда \(f^<(k)>(x_<0>)=0\) при \(k=\overline<0,n-1>0\), и по формуле \eqref получаем
$$
f(x)=\frac<1>(x-x_<0>)^f^<(n)>(\xi).\nonumber
$$
Если \( x> x_<0>\), то \(\xi > x_0\), \(f^<(n)>(\xi)=\varphi^<(n)>(\xi)-\psi^<(n)>(\xi) > 0\), и поэтому \(f(x) > 0\), то есть \(\varphi(x) > \psi(x)\) при \(x > x_<0>\). \(\bullet\)

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Из существования \(f^<(n)>(x_0)\) следует, что функция \(f(x)\) определена и имеет производные до \((n-1)\)-го порядка включительно в \(\delta\)-окрестности точки \(x_0\). Обозначим \(\varphi(x)=r_n(x)\), \(\psi(x)=(x-x_0)^n\), где функция \(r_n(x)\) определяется формулой \eqref. Функции \(\varphi(x)\) и \(\psi(x)\) удовлетворяют условиям леммы 2, если заменить номер \(n+1\) на номер \(n-1\) (см. равенства \eqref). Используя лемму 2 и учитывая, что \(r_n^<(n-1)>(x_0)=0\), получаем
$$
\frac<(x-x_0)^n>=\frac(\xi)-r_n^(x_0)>)>,\label
$$
где \(\xi=\xi(x)\) и
$$
x_0 Замечание 2.

Формулу \eqref часто называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано или локальной формулой Тейлора.

Разложить функцию \(f(x)\) по формуле Тейлора в окрестности точки \(x_0\) до \(o((x-x_0)^n)\) — значит представить ее в виде \eqref.

\(\circ\) По теореме 2 справедлива формула \eqref, и так как по условию выполняется равенство \eqref, то
$$
a_0+a_1(x-x_0)+\ldots+a_n(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)=\\=f(x_<0>)+f'(x_<0>)(x-x_0)+\ldots+f^<(n)>(x_<0>)\frac<(x-x_<0>)^>+o((x-x_0)^n).\label
$$
Переходя к пределу при \(x\rightarrow x_<0>\) в равенстве \eqref, получаем \(a_<0>=f(x_<0>)\). Отбросив в левой и правой частях этого равенства одинаковые слагаемые \(a_<0>\) и \(f(x_<0>)\) и разделив обе части полученного равенства на \(x-x_0\), имеем
$$
a_1+a_2(x-x_0)+\ldots+a_n(x-x_0)^+o((x-x_0)^)=\\=f'(x_0)+\frac)><2!>(x-x_0)+\ldots+\frac(x_<0>)>(x-x_0)^+o((x-x_0)^).
$$
Переходя в этом равенстве к пределу при \(x\rightarrow x_0\), находим \(f'(x_<0>)=a_<1>\). Продолжая эти рассуждения, получаем равенства \eqref. \(\bullet\)

Теорема 3 означает, что представление в виде \eqref функции, имеющей в точке \(x_<0>\) производную \(n\)-го порядка, единственно: коэффициенты разложения \eqref выражаются по формулам \eqref.

Разложить функцию \(\displaystyle \frac<1><1-x>\) по формуле Тейлора в окрестности точки \(x_<0>=0\) до \(o(x^)\).

\(\triangle\) Воспользуемся равенством \((1+x+\ldots+x^)(1-x)=1-x^\), откуда \(\displaystyle \frac<1><1-x>=1+x+\ldots+x^n+r_n(x)\), где \(r_n(x)=\displaystyle \frac><1-x>=o(x^)\) при \(x\rightarrow 0\). Таким образом,
$$
\frac<1><1-x>=1+x+\ldots+x^n+o(x^n).\label
$$
Так как функция \(\displaystyle \frac<1><1-x>\) бесконечно дифференцируема при \(x\neq 1\) (имеет производные любого порядка), то по теореме 3 формула \eqref дает искомое разложение. \(\blacktriangle\)

Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора.

Если \(x_<0>=0\) и существует \(f^<(n)>(0)\), то равенство \eqref принимает вид
$$
f(x)=\sum_^\frac>x^k+o(x^n),\ x\rightarrow 0.\label
$$
Формулу \eqref называют формулой Маклорена.

Пусть, функция \(f(x)\) бесконечно дифференцируема на интервале \((-l,l)\). Если эта функция является четной, то ее производная — нечетная функция, и, наоборот, производная нечетной функции — четная функция (мы уже разбирали этот пример). Отсюда следует, что для нечетной функции \(f\) выполняются условия \(f^<(2k)>(0)=0\), \(k\in\mathbb\), а для четной функции \(f\) — условия \(f^<(2k-1)>(0)=0\), \(k\in\mathbb\), так как любая непрерывная нечетная функция принимает при \(x=0\) значение нуль.

Поэтому формулу \eqref для бесконечно дифференцируемой четной функции можно записать в виде
$$
f(x)=\sum_^\frac(0)><(2k)!>x^<2k>+o(x^<2n+2>),\quad x\rightarrow 0,\label
$$
а для нечетной функции — в виде
$$
f(x)=\sum_^\frac(0)><(2k+1)!>x^<2k+1>+o(x^<2n+2>),\quad x\rightarrow 0,\label
$$
В формуле \eqref остаточный член записан в виде \(o(x^<(2n+1)>)\), а не в виде \(о(x^<2n>)\), так как для четной функции \(f\) выполняется условие \(f^<(2n+1)>(0)=0\), и поэтому член многочлена Тейлора, который следует за слагаемым \(\displaystyle\frac(0)><(2n)!>x^<2n>\) равен нулю. Аналогично рассматривается вопрос о записи остаточного члена формулы \eqref.

Показательная функция.

Гиперболические функции.

Так как \(\operatornamex=\displaystyle \frac-e^<-x>><2>\), \(\operatornamex=\displaystyle \frac+e^<-x>><2>\), то формулы \eqref и \eqref можно получить, используя равенство \eqref и равенство \(e^<-x>=\displaystyle \sum_^\frac<(-1)^x^>+о(x^),\ x\rightarrow 0\).

Источник

Ряд Тейлора

Понятие ряда Тейлора.

Если функция \(f(x)\) определена в некоторой окрестности точки \(x_<0>\) и имеет в точке \(x_<0>\) производные всех порядков, то степенной ряд
$$
f(x_<0>) + \sum_^<\infty>\frac(x_<0>)>(x-x_<0>)^\label
$$
называется рядом Тейлора функции \(f\) в точке \(x_<0>\).

Пусть функция \(f\) регулярна в точке \(x_<0>\), то есть представляется в некоторой окрестности точки \(x_<0>\) сходящимся к этой функции степенным рядом
$$
f(x) = \sum_^<\infty>a_(x-x_<0>)^,\quad |x-x_<0>| 0.\label
$$
Тогда по теореме, доказанной здесь, функция \(f\) бесконечно дифференцируема в окрестности точки \(x_<0>\), причем коэффициенты ряда \eqref выражаются формулами
$$
a_ <0>= f(x_<0>),\quad a_ = \frac(x_<0>)>,\quad n \in \mathbb.\label
$$
Таким образом, степенной ряд для функции \(f(x)\), регулярной в данной точке \(a\), совпадает с рядом Тейлора функции \(f\) в точке \(a\).

Если известно, что функция \(f(x)\) бесконечно дифференцируема в точке \(a\) (и даже в некоторой окрестности этой точки), то нельзя утверждать, что составленный для этой функции ряд Тейлора \eqref сходится при \(x \neq x_<0>\) к функции \(f(x)\).

Рассмотрим функцию \(f(x) = e^<-1/x^<2>>\), \(x \neq 0\), \(f(0) = 0\). Эта функция определена на \(R\),
$$
f'(x) = \frac<2>>e^<-1/x^<2>>,\ f″(x) = \left(\frac<4>>-\frac<6>>\right)e^<-1/x^<2>>\quad\mbox<при>\ x \neq 0,\nonumber
$$
откуда с помощью индукции легко показать, что
$$
f^<(n)>(x) = e^<-1/x^<2>> Q_ <3n>\left(\frac<1>\right)\ \mbox<при>\ x \neq 0,\nonumber
$$
где \(Q_<3n>(t)\) — многочлен степени \(3n\) от \(t\). Воспользуемся тем, что \(\displaystyle\lim_\frac<1><|x|^>e^<-1/x^<2>>=0\) для любого \(k \in \mathbb\) (решение можно посмотреть здесь), и докажем, что
$$
f^<(k)>(0) = 0\ \mbox<для любого>\ k \in \mathbb.\label
$$
Утверждение \eqref верно при \(k = 1\), так как \(f'(0) = \displaystyle\lim_\frac>> = 0\), откуда, предположив, что формула \eqref справедлива при \(k = n\), находим
$$
f^<(n + 1)>(0) = \lim_\frac(x)-f^<(n)>(0)> = \lim_ \frac<1> Q_ <3n>\left(\frac<1>\right) e^<-1/x^<2>> = 0.\nonumber
$$
Таким образом, по индукции доказано равенство \eqref, и поэтому все коэффициенты ряда Тейлора \eqref в точке \(x_ <0>= 0\) для рассматриваемой функции равны нулю.

Так как \(e^<-1/x^<2>> \neq 0\) при \(x \neq 0\), то сумма ряда Тейлора для функции \(f\) не совпадает с \(f(x)\) при \(x \neq 0\). Иначе говоря, эту функцию нельзя представить рядом Тейлора, сходящимся к ней в окрестности точки \(x_ <0>= 0\).

Причина этого явления становится понятной, если функцию \(f\) рассматривать в комплексной плоскости. В самом деле, функция \(f(z) = e^<-1/z^<2>>\) не является непрерывной в точке \(z = 0\), так как \(f(x) = e^<-1/x^<2>> \rightarrow 0\) при \(x \rightarrow 0\), a \(f(iy) = e^<1>> \rightarrow +\infty\) при \(y \rightarrow 0\).

Остаточный член формулы Тейлора.

Пусть функция \(f(x)\) бесконечно дифференцируема в точке \(x_<0>\). Тогда ей можно поставить в соответствие ряд \eqref. Обозначим
$$
S_(x) = \sum_^\frac(x_<0>)>(x-x_<0>)^,\label
$$
$$
r_(x) = f(x)-S_(x)\label
$$
и назовем \(r_(x)\) остаточным членом формулы Тейлора для функции \(f\) в точке \(x_<0>\). Если существует
$$
\lim_ r_(x) = 0,\label
$$
то согласно определению сходимости ряда ряд \eqref сходится к функции \(f(x)\) в точке \(x\), то есть
$$
f(x) = \sum_^<\infty>\frac(x_<0>)>(x-x_<0>)^.\label
$$

Если функции \(f(x)\), \(f'(x)\), …, \(f^<(n + 1)>(x)\) непрерывны на интервале \(\Delta = (x_<0>-\delta, x_ <0>+ \delta)\), где \(\delta > 0\), то для любого \(x \in \Delta\) остаточный член формулы Тейлора для функции \(f\) в точке \(x_<0>\) можно представить:

\(\circ\) Формула \eqref доказана в здесь. Докажем формулу \eqref методом индукции. В силу равенств \eqref и \eqref нужно показать, что
$$
f(x)-f(x_<0>) = \sum_^\frac(x_<0>)>(x-x_<0>)^ + \frac<1> \int\limits_>^ (x-t)^f^<(n + 1)>(t)\ dt.\label
$$

Если функция \(f\) и все ее производные ограничены в совокупности на интервале \(\Delta = (x_<0>-\delta, x_ <0>+ \delta)\), то есть
$$
\exists M > 0: \forall x \in \Delta \rightarrow |f^<(n)>(x)| \leq M,\ n = 0,1,2,\ldots,\label
$$
то функция \(f\) представляется сходящимся к ней в каждой точке интервала \(\Delta\) рядом Тейлора \eqref.

\(\circ\) Пусть \(x \in (x_<0>-\delta, x_ <0>+ \delta)\). Тогда, используя формулу \eqref и условие \eqref, получаем
$$
|r_(x)| \leq M \frac<|x-x_<0>|^><(n + 1)!>.\label
$$

Так как \(\displaystyle\lim_ \frac> = 0\) для любого \(a > 0\) (пример разобран здесь), то из \eqref следует, что выполняется условие \eqref, то есть в точке \(x\) справедливо равенство \eqref. \(\bullet\)

Теорема 2 остается в силе, если условие \eqref заменить следующим условием:
$$
\exists M > 0\ \exists C > 0: \forall x \in \Delta \rightarrow |f^<(n)>(x)| \leq MC^,\ n = 0, 1, 2, \ldots\nonumber
$$

Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.

Найдем разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора в окрестности точки \(x_ <0>= 0\), то есть в ряд вида
$$
f(x) = \sum_^<\infty>\frac(0)>x^,\label
$$
который называют рядом Маклорена. Заметим, что коэффициенты \(\displaystyle\frac(0)>\) разложения \eqref для основных элементарных функций (показательной, гиперболических, тригонометрических и других) были найдены в разделе про формулу Тейлора.

Разложение показательной и гиперболической функций в ряд Тейлора.

Пусть \(f(x) = e^\). Тогда для любого \(x \in (-\rho, \rho)\), где \(\rho > 0\), выполняются неравенства
$$
0 0\), то есть радиус сходимости этого ряда \(R = +\infty\). Так как для функции \(f(x) = e^\) выполняются равенства \(f(0) = 1\), \(f^<(n)>(0) = 1\) для любого \(n\), то по формуле \eqref получаем разложение в ряд Маклорена показательной функции
$$
e^ = \sum_^<\infty>\frac>,\label
$$

Используя разложение \eqref и формулы
$$
\operatorname x = \frac + e^<-x>><2>,\quad \operatorname x = \frac-e^<-x>><2>,\nonumber
$$
находим разложения в ряд Маклорена гиперболического косинуса и гиперболического синуса:
$$
\operatorname x = \sum_^<\infty>\frac><2n!>,\label
$$
$$
\operatorname x = \sum_^<\infty>\frac><(2n + 1)!>,\label
$$
Радиус сходимости каждого из рядов \eqref, \eqref \(R = +\infty\).

Разложение тригонометрических функций в ряд Тейлора.

Пусть \(f(x) = \sin x\). Тогда \(|f(x)| \leq 1\) и \(|f^<(n)>(x)| \leq 1\) для всех \(n \in \mathbb\) и для всех \(x \in R\). По теореме 2 ряд \eqrefдля функции \(f(x) = \sin x\) сходится для любого \(x \in (-\infty, +\infty)\), то есть радиус сходимости этого ряда \(R = +\infty\).

Если \(f(x) = \sin x\), то \(f(0) = 0\), \(f^<(2n)>(0) = 0\), \(f'(0) = 1\), \(f^<(2n + 1)>(0) = (-1)^\) для любого \(n\), и по формуле\eqrefполучаем разложение синуса в ряд Маклорена:
$$
\sin x = \sum_<\substack>^ <\infty>\frac<(-1)^><(2n + 1)!>x^<2n + 1>.\label
$$

Пусть \(f(x) = \cos x\). Тогда \(|f(x)| \leq 1\), \(|f^<(n)>(x)| \leq 1\) для всех \(n\) и для всех \(x \in R\), \(f(0) = 1\), \(f'(0) = 0\), \(f^<(2n)>(0) = (-1)^\) и, \(f^<(2n + 1)>(0) = 0\) для всех \(n\). По формуле \eqref получаем
$$
\cos x = \sum_^ <\infty>\frac<(-1)^><2n!>x^<2n>.\label
$$
Радиус сходимости каждого из рядов \eqref и \eqref \(R = +\infty\).

Разложение логарифмической функции в ряд Тейлора.

\(\circ\) Оценим остаточный член \(r_(x)\), пользуясь формулой \eqref при \(x_ <0>= 0\). Преобразуем эту формулу, полагая \(t = \tau x\). Тогда \(dt = x\ d\tau\), \(1-x =x(1-\tau)\) и формула \eqref примет вид
$$
r_(x) = \frac> \int\limits_0^1 (1-\tau) f^<(n + 1)>(\tau x) d\tau.\label
$$

Если \(f(x) = \ln(x + 1)\), то по формуле \eqref, используя равенство \eqref, получаем
$$
r_(x) = (-1)^x^ \int\limits_0^1 \frac<(1-\tau)^><(1 + \tau x)^> d \tau.\label
$$

Пусть \(|x| 1\), то \(\displaystyle\lim_ \frac><(1/|x|)^> = 0\). Поэтому из соотношения \eqref следует, что \(r_(x) \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\) для каждого \(x \in (-1, 1)\), то есть справедливо равенство \eqref, причем радиус сходимости ряда \eqref в случае, когда \(\alpha \neq 0\) и \(\alpha \notin \mathbb\), равен 1. \(\bullet\)

В заключение заметим, что при разложении функций в ряд Тейлора обычно используют формулы \eqref—\eqref, \eqref-\eqref и применяют такие приемы, как: представление данной функции в виде линейной комбинации функций, ряды Тейлора для которых известны; замена переменного; почленное дифференцирование и интегрирование ряда.

Разложить в ряд Маклорена функцию \(f(x)\) и найти радиус сходимости \(R\) ряда, если:

Разложить в ряд Маклорена функции
$$
\operatorname x,\nonumber
$$
$$
\operatorname x,\nonumber
$$
$$
\ln(x + \sqrt<1 + x^<2>>),\nonumber
$$
и найти радиусы сходимости \(R\) рядов.

Разложить в ряд Тейлора в точке \(x_ <0>= 2\) функцию \(f(x) = \ln(4 + 3x-x^<2>)\).

Элементарные функции комплексного переменного.

Используя равенства \eqref и формулы \eqref, \eqref, находим
$$
\frac + e^<-iz>> <2>= \cos z,\ \frac-e^<-iz>> <2i>= \sin z,\label
$$
откуда следует, что
$$
e^ = \cos z + i \sin z.\label
$$
Полагая в формуле \eqref \(z = z_<1>\) и \(z = z_<2>\). и перемножая соответствующие ряды, можно показать, что
$$
e^>e^> = e^ + z_<2>>.\label
$$

Пусть \(z = x + iy\), где \(x \in R\), \(y \in R\). Тогда из равенства \eqref и формулы \eqref находим
$$
e^ = e^ = e^(\cos y + i \sin y).\label
$$
Из формулы \eqref следует, что
$$
e^ = e^,\nonumber
$$
то есть \(e^\) — периодическая функция с периодом \(2\pi i\). Поэтому для каждого комплексного \(z \neq 0\) уравнение
$$
e^ = z\label
$$
имеет бесконечное множество решений вида \(w + i2\pi n\), где \(w\) — одно из решений уравнения \eqref, \(n \in Z\).

Если \(w = u + iv\), то \(z = e^ = e^(\cos v + i \sin v)\), откуда получаем
$$
|z| = e^,\quad u = \ln |z|,\quad v = \arg z.\nonumber
$$

Пусть \(\varphi\) — какое-нибудь значение аргумента числа \(z\). Тогда
$$
v = \varphi + 2\pi n,\ n \in Z.\nonumber
$$
Таким образом, все решения уравнения \eqref, если их обозначить символом \(\operatorname\ z\), задаются формулой
$$
\operatorname\ z = \ln |z| + i(\varphi + 2\pi n),\label
$$
где \(\varphi\) — одно из значений аргумента числа \(z\) \((z \neq 0)\), \(n \in Z\).

По заданному значению \(z\) значение \(w\) из уравнения \eqref определяется, согласно формуле \eqref, неоднозначно (говорят, что логарифмическая функция \(\operatorname\ z\) является многозначной).

Разложить в степенной ряд в окрестности точки \(z = 0\) функцию \(f(z) = e^\sin z\).

\(\triangle\) Используя формулы \eqref и \eqref, получаем
$$
f(z) = e^\left(\frac-e^<-iz>><2i>\right) = \frac<1><2i>(e^-e^).\nonumber
$$
Так как \(1 + i = \sqrt<2>e^\), \(1-i = \sqrt<2>e^<-i\pi/4>\), то по формуле \eqref находим
$$
f(z) = \sum_^ <\infty>\frac<2^> \left(\frac-e^<-i\pi n/4>><2i>\right)z^,\nonumber
$$
откуда в силу второго из равенств \eqref следует, что
$$
e^\sin z = \sum_^ <\infty>\frac<2^> \sin \frac<\pi n><4>z^.\nonumber
$$
Радиус сходимости ряда \(R = +\infty\). \(\blacktriangle\)

Источник