Нерешенная проблема Христиана Гольдбаха
Наконец, в 2013 году перуанский математик Харальд Андрес Хельфготт окончательно доказал слабую (или иначе называемую тернарной) проблему Гольдбаха. То есть утверждение «Каждое нечётное число, большее 5, можно представить в виде суммы трёх простых чисел» справедливо. Сильная проблема Гольдбаха остаётся пока что каменной стеной для исследователей.
В интернете можно найти множество «доказательств» сильной гипотезы Гольдбаха. Но обыкновенно подобные доказательства имеют ошибки, либо вообще не являются доказательствами. Вполне вероятно, эта гипотеза попросту недоказуема, а наблюдаемая закономерность является сложной комбинацией математических совпадений. Это утверждение связано, в частности с тем, что так называемого «закона простых чисел» также не существует. Открытие каждого нового простого числа происходит исключительно методом «перебора», и в последнее время из-за огромных числовых «расстояний» между каждым новым простым числом и следующим за ним, подобные открытия происходят крайне редко и являются значительными математическими достижениями. С другой стороны, многие чётные числа можно представить с помощью нескольких пар простых, то есть существует несколько комбинаций. Если построить график зависимости количества комбинаций пар простых чисел от увеличения чётных составных чисел, выяснится, что с увеличением чётного числа наблюдается тенденция к увеличению количества пар простых чисел, дающих в сумме данное число, причём это увеличение происходит по определённому закону. Этот факт не позволяет математикам бросить поиски доказательства. А Эйлер хитро смотрит со старинной картины: Характерно то, что Гольдбах не был светилом математической науки своего времени. Он родился в 1690-м году и закончил юридический факультет Кёнигсбергского университета: математика была всего лишь его хобби. В 1725-м году Гольдбах приехал в Россию, где получил звание академика Петербургской академии наук, а с 1742 года работал в Коллегии иностранных дел. С Эйлером он вёл дружескую переписку в течение 35 лет, вплоть до своей смерти в 1764 году в Москве. В 1843-м году 177 писем этой переписки были опубликованы. Он довольно много путешествовал и дружил с многими известными математиками, в том числе с семьёй Бернулли. За свою жизнь он опубликовал менее десятка некрупных математических работ, хотя две из них — о бесконечных рядах — сделали его достаточно известным в научных кругах. Впрочем, в широких кругах Христиан Гольдбах стал известен благодаря нескольким фразам в одном-единственном письме к своему другу. Такие вот игры судьбы.
Теорема Ферма
Полную переписку Гольдбаха и Эйлера можно скачать и прочесть здесь.
nostradamvs
Парфюмерная мастерская.
Я делаю добро из зла, потому что его больше не из чего сделать.
А ведь правда: какое бы чётное число мы не брали, его можно выразить суммой двух простых. Например: 24=13+11. Или 100=83+17. Или 7112=5119+1993. Можно взять сколь угодно большое число, и гипотеза окажется верна. Проблема состоит именно в том, чтобы найти общее математическое доказательство утверждения Гольдбаха. Простое число — это число, которое делится только на 1 и само на себя. Так, 2, 3, 5, 7 – простые числа, а 4, 6, 9 – нет. Чем больше чётное число, тем больше способов представить его в виде двух простых:
Долгое время не удавалось найти вообще никаких путей к исследованию проблемы Гольдбаха. Лишь в 1923-м году английским математикам Готфри Харди и Джону Литлвуду удалось доказать, что если верны некоторые теоремы (не доказанные и сейчас) относительно так называемых L-pядов Дирихле, то всякое достаточно большое нечётное число есть сумма трёх простых чисел. Харди:
В интернете можно найти множество «доказательств» сильной гипотезы Гольдбаха. Но обыкновенно подобные доказательства имеют ошибки, либо вообще не являются доказательствами. Вполне вероятно, эта гипотеза попросту недоказуема, а наблюдаемая закономерность является сложной комбинацией математических совпадений. Это утверждение связано, в частности с тем, что так называемого «закона простых чисел» также не существует. Открытие каждого нового простого числа происходит исключительно методом «перебора», и в последнее время из-за огромных числовых «расстояний» между каждым новым простым числом и следующим за ним, подобные открытия происходят крайне редко и являются значительными математическими достижениями. С другой стороны, многие чётные числа можно представить с помощью нескольких пар простых, то есть существует несколько комбинаций. Если построить график зависимости количества комбинаций пар простых чисел от увеличения чётных составных чисел, выяснится, что с увеличением чётного числа наблюдается тенденция к увеличению количества пар простых чисел, дающих в сумме данное число, причём это увеличение происходит по определённому закону. Этот факт не позволяет математикам бросить поиски доказательства. А Эйлер хитро смотрит со старинной картины:
Характерно то, что Гольдбах не был светилом математической науки своего времени. Он родился в 1690-м году и закончил юридический факультет Кёнигсбергского университета: математика была всего лишь его хобби. В 1725-м году Гольдбах приехал в Россию, где получил звание академика Петербургской академии наук, а с 1742 года работал в Коллегии иностранных дел. С Эйлером он вёл дружескую переписку в течение 35 лет, вплоть до своей смерти в 1764 году в Москве. В 1843-м году 177 писем этой переписки были опубликованы. Он довольно много путешествовал и дружил с многими известными математиками, в том числе с семьёй Бернулли. За свою жизнь он опубликовал менее десятка некрупных математических работ, хотя две из них – о бесконечных рядах – сделали его достаточно известным в научных кругах.
Впрочем, в широких кругах Христиан Гольдбах стал известен благодаря нескольким фразам в одном-единственном письме к своему другу. Такие вот игры судьбы.
Теорема Ферма.
Стоит отметить, что самые простые математические утверждения чаще всего бывает крайне сложно доказать. Например, Великая теорема Ферма (или, как её называют, «последняя») была доказана лишь спустя несколько сот лет после того, как была сформулирована. Теорема говорит, что уравнение a n +b n =c n для любого натурального n>2 не имеет натуральных решений a, b и c. Теорема была сформулирована в 1637 году и по легенде записана на полях «Арифметики» Диофанта. Вероятнее всего, доказательства у Ферма не было вовсе, так как за последующие 30 лет жизни он его так и не опубликовал. Частные случаи для n=3, 5, 7 и некоторых ограниченных групп чисел публиковали в разные годы Дирихле, Ламе, Куммер и другие математики, но окончательно теорему Ферма доказал лишь в 1995-м году англо-американский математик сэр Эндрю Джон Уайлс. Над доказательством он работал с 1986-го года и заняло оно более 130 страниц.
Полную переписку Гольдбаха и Эйлера можно скачать и прочесть вот тут: http://www.math.dartmouth.edu/
Полный список историй можно посмотреть в оглавлении моего Живого Журнала.
Проблема Гольдбаха
Самые простые математические утверждения иногда бывает сложнее всего доказать. Так, Великая теорема Ферма была окончательно доказана лишь в конце XX века — через несколько сот лет после того, как была сформулирована. Существует еще одно утверждение, чем-то похожее на теорему Ферма, которое математики не смогли доказать до сих пор. Его называют проблемой Гольдбаха, и формулировка этого утверждения предельно проста. В нем всего лишь говорится, что каждое четное число больше 2 можно представить как сумму двух простых чисел. (Поясним: простое число — это число, которое делится только на 1 и на себя само. Так, 2, 3, 5, 7 — простые числа, а 4 (2 х 2), 6 (3 х 2), 9 (3 х 3) — нет.) Впервые это утверждение выдвинул Христиан Гольдбах в 1742 году. Из него следует, что 10 (возьмем пример попроще), как четное число, можно записать в виде суммы 7 + 3, где 7 и 3 — простые числа. Другая формулировка утверждения Гольдбаха, немного менее известная, — что любое нечетное число, большее или равное 9, можно представить в виде суммы трех простых чисел (например, 13 = 7 + 3 + 3 = 5 + 5 + 3).
С тех пор как Гольдбах выдвинул эту гипотезу, математики не сомневались, что она, как и Великая теорема Ферма, верна. Тем не менее, в отличие от теоремы Ферма, никто никогда не претендовал на то, что сумел ее доказать. К решению этой проблемы существует подход «в лоб» — надолго запустить компьютерную программу, которая бы последовательно проверяла это утверждение на всё больших и больших четных числах. Таким способом можно было бы опровергнуть теорему, будь она неверна. Но так нельзя доказать теорему — по той простой причине, что никогда нельзя гарантировать, что число, которое программа могла бы проверить за следующий свой шаг, не окажется первым исключением из правила. В действительности мы знаем, что проблема Гольдбаха верна по крайней мере для всех четных чисел, не превышающих 100 000.
В 30-е годы XX века группа русских математиков установила, что существует такое конечное n, что любое четное число может быть представлено в виде суммы не более чем n простых слагаемых, а также что гипотеза Гольдбаха верна для большого класса четных чисел. Однако доказательство теоремы до сих пор не найдено.
Почему математики тратят столько времени на решение таких задач, как Великая теорема Ферма или проблема Гольдбаха? Ведь в этом нет практического смысла, из их решения нельзя извлечь никакой выгоды. На мой взгляд, это очень древний и очень свойственный человеческой природе вид деятельности — поиск самоочевидной, бесспорной истины. Философы тысячелетиями ищут истину. Математики надеются обнаружить такие истины, работая с системами, построенными на чистой логике. И то, что эти доказательства столь трудно достижимы, наверное, объясняется скорее самой природой логики, невозможностью найти истину в этом ненадежном, изменчивом мире, а не свойством математики как таковой.
Немецкий математик. Родился в Кёнигсберге в Пруссии (ныне Калининград, Россия). В 1725 году стал профессором математики в Санкт-Петербурге, тремя годами позже приехал в Москву в качестве домашнего учителя для будущего царя Петра II. Во время путешествий по Европе Гольдбах познакомился со многими ведущими математиками своего времени, включая Готфрида Лейбница, Абрахама де Муавра и семью Бернулли. Многие его работы выросли из переписки с великим швейцарским математиком Леонардом Эйлером (Leonhard Euler, 1707–83). Утверждение, которую мы теперь называем проблемой Гольдбаха, впервые было выдвинуто в 1742 году в письме Гольдбаха к Эйлеру.
Бог любит троицу Решена одна из старейших и сложнейших математических задач
В середине мая 2013 года математик из Перу, в настоящее время работающий во Франции, Харальд Хельфготт выложил в архив препринтов Корнельского университета статью «Большие дуги для теоремы Гольдбаха». Эта статья объемом 133 страницы содержит финальную часть доказательства (начатого на заре XX века великим советским математиком Иваном Виноградовым) так называемой тернарной проблемы Гольдбаха — одной из старейших задач в теории чисел.
Май 2013 года стал совершенно удивительным месяцем для теории чисел (точнее, аналитической теории чисел, но это уже детали для специалистов): буквально за одну неделю стало известно о прогрессе в двух сложнейших проблемах, относящихся к так называемым аддитивным задачам. Если грубо, то это целый класс задач, которые имеют дело с представлением одних чисел в виде суммы других, причем эти другие берутся из какого-нибудь специального класса. Соответственно, большинство задач сводится к тому, существуют ли указанные представления и если да, то сколько их. Ответ на последний вопрос, конечно, дается не точный, а в виде какой-нибудь примерной оценки. К задачам этого класса относятся, например, задача Лежандра о представлении целого числа в виде суммы четырех квадратов натуральных чисел, задача о представлении натурального числа в виде суммы пяти квадратов простых чисел (простыми, напомним, называются числа, которые делятся только на себя и на единицу).
К аддитивным задачам относится общая проблема Варинга. В 1770 году Эдвард Варинг опубликовал работу, в которой высказал гипотезу: всякое натуральное число является суммой четырех квадратов, девяти кубов, девятнадцати четвертых степеней. В более общем и современном виде эта задача формулировалась так: доказать, что для любого k существует число g(k), зависящее только от k, такое, что всякое натуральное число является суммой g неотрицательных k-ых степеней. Эта задача, кстати, была решена Давидом Гильбертом еще в 1909 году.
Другой же задачей, которую, в отличие от чисел-близнецов, удалось решить полностью, стала так называемая тернарная задача Гольдбаха.
Записки на полях
В 1725 году немецкий математик и юрист Кристиан Гольдбах переехал в Россию, чтобы стать постоянным членом только что открывшейся Петербургской академии наук. Дела у математика достаточно быстро пошли в гору, и его приблизили ко двору — спустя всего несколько лет он был личным репетитором юного Петра II. В 1742 году уже немолодой Гольдбах (ему было 52 года) решает закончить карьеру ученого и принимает позицию чиновника в Коллегии иностранных дел. 7 июня этого же, судьбоносного для Гольдбаха года математик пишет письмо Леонарду Эйлеру, на тот момент проживавшему в Пруссии. С Эйлером Гольдбах познакомился еще до приезда в Россию во время своего образовательного турне по Европе после окончания университета и с тех пор поддерживал дружеские отношения.
В конце письма, уже на полях, Гольдбах пишет следующую гипотезу: «Всякое целое число больше двух можно представить как сумму трех простых» (немецкий математик, в отличие от представлений современной теории чисел, считал единицу также простым числом). В ответном письме Эйлер напоминает Гольдбаху, что ранее в личной беседе тот высказывал похожую гипотезу: мол, любое четное целое число можно представить в виде суммы двух простых. При этом Эйлер был уверен, что «это несомненно верная теорема», но говорил, что он ее «доказать не в состоянии». Так на свет появилась гипотеза Гольдбаха, точнее даже две гипотезы сразу.
Материалы по теме
Братишка, ты цел?
Первая получила название тернарной (или слабой) гипотезы Гольдбаха. Она утверждает, что всякое нечетное целое число больше пяти представляется в виде суммы трех (не обязательно попарно различных) простых чисел. В свою очередь бинарная (или сильная) гипотеза Гольдбаха утверждает, что всякое целое четное число больше двух представляется в виде суммы двух (не обязательно различных) простых чисел. Эту гипотезу называют сильной потому, что слабая из нее вытекает: добавляя ко всем четным числам тройку, мы можем получить все возможные нечетные числа больше пяти.
Дуги большие и малые
К началу XX века гипотезы Гольдбаха, наряду с гипотезой Римана, стали одними из центральных задач теории чисел, войдя даже в состав знаменитой 8-й проблемы Гильберта.
Прорыв в решении этой задачи был совершен британскими математиками Гарольдом Харди и Джоном Литтлвудом. Тогда они изучали задачу Варинга (о ней говорилось выше). Развивая идеи самого Харди и Сириваса Рамануджана, заложенные в работах 1916-1917 годов, британские математики создали так называемый круговой метод. Его суть заключается в следующем: решение задачи (например, количество способов представить целое число в виде суммы трех простых) задается интегралом по единичной окружности от некоторого ряда. Этот интеграл разбивается на два, один из которых оценивается, а про другой доказывается его относительная малость. Составляющие первую сумму называются большими дугами, а вторую — малыми.
Если читатель споткнулся на этом месте, то вот как этот метод в беседе с «Лентой.ру» объяснил сам Харальд Хельфготт: «Анализ количества решений производится, по сути, посредством преобразования Фурье. Представьте себе, что простые числа — это звуки на некоторой записи, скажем, в моменты времени 2, 3, 5, 7, 11 и так далее микросекунд. После преобразования у вас получается своего рода шум, в котором вы пытаетесь услышать какие-то ноты. Среди них есть такие, которые слышны достаточно хорошо, — это и есть большие дуги. А есть частоты, которые просто являются шумовыми фрагментами, — это малые дуги. Весь метод распадается на две части — выделение нот и доказательство того, что остальное на самом деле шум. За первую часть метода отвечают оценки на большие дуги, за второй — на малые».
Используя свой метод, Харди и Литтлвуд сумели доказать тернарную гипотезу Гольдбаха. Однако у их доказательства был один, но крайне существенный изъян, который, по сути, перечеркивал всю работу: в статье они опирались на недоказанную обобщенную гипотезу Римана. Если коротко, то это некоторое утверждение о решениях одного уравнения — в гипотезе говорится, что все эти решения лежат на одной прямой на плоскости. Это утверждение настолько сложное, что оно не доказано до сих пор, и ее упрощенный вариант (известный просто как гипотеза Римана) входит в список задач Тысячелетия института Клея, за решение каждой из которых полагается по миллиону долларов. Гильберт даже шутил, что если бы он уснул и проснулся через 500 лет, то первым делом спросил бы, доказана ли гипотеза Римана.
Метод Харди и Литтлвуда был усовершенствован советским математиком Иваном Виноградовым. Благодаря этому в 1937 году Виноградов без использования гипотезы Римана доказал вот такой факт: все нечетные целые числа, начиная с некоторого N, можно представить в виде суммы трех простых. «Пожалуй, основным достижением Виноградова были оценки на малые дуги. На самом деле в круговом методе это сложная часть, и оценки Виноградова на тот момент были просто потрясающие — они были результатом крайне нетривиальных комбинаторных рассуждений. Для оценки же больших дуг он использовал методологию, очень похожую на ту, которая была у Харди и Литтлвуда», — рассказал Хельфготт.
Доказано — не доказано
С тех пор многие математики пытались улучшить результат Виноградова. Идея в основе всех этих попыток была довольно простой: улучшая оценки, добиться того, чтобы N стало достаточно малым. «Достаточно малым» в данном случае подразумевает такое значение, для которого гипотезу Гольдбаха можно проверить на компьютере.
«Я начал серьезно заниматься проблемой Гольдбаха в 2006 году, — рассказал «Ленте.ру» Хельфготт. — Достаточно быстро я понял, что могу улучшить существовавшие на тот момент оценки малых дуг. Результатом этой работы стали так называемые свободные от логарифмов оценки (эти результаты я получил достаточно быстро). Дальше работа двигалась намного медленнее — ведь я старался улучшать оценки не только количественно, но и качественно. С самого начала мне казалось, что без качественных улучшений в этой задаче не продвинуться».
В 2012 году свет увидела работа известного специалиста по теории чисел и филдсовского медалиста 2006 года Терренса Тао. Ему удалось показать, что всякое нечетное число представимо как сумма не более чем пяти простых чисел.
«Надо сказать, что появление работы Тао, посвященной пяти простым числам, подстегнуло меня. У меня появился повод собрать воедино все те идеи, которые на тот момент скопились у меня по поводу тернарной гипотезы Гольдбаха. Результатом этого стала работа, посвященная малым дугам. Еще год ушел у меня на работу по большим дугам», — рассказал Хельфготт.
«Я помог Платту, — говорит Хельфготт, — выбил ему время на суперкомпьютерах в разных местах. Впрочем, его вычисления нужны не только в этой задаче — они будут полезны и в других разделах математики».
Бинарная проблема Гольдбаха
Еще одним интересным результатом является теорема Чена — она утверждает, что всякое четное число представимо либо в виде суммы двух простых, либо в виде суммы простого и полупростого (числа, состоящего из произведения двух простых).
Этот результат неоднократно улучшался — в 1995 году Оливер Рамаре показал, что всякое четное число представимо в виде суммы не более, чем шести простых. Примечательно, что новый результат Хельфготта позволяет улучшить результат Рамаре: вычитая из четного числа тройку, мы получаем нечетное, которое, как теперь известно, представимо в виде суммы трех простых. Стало быть, всякое четное число представимо в виде суммы четырех простых.
Сами же математики считают, что решение сильной проблемы Гольдбаха еще далеко.
Проблема Гольдбаха
В математике проблемой Гольдбаха или гипотезой Гольдбаха называется следующее утверждение:
Вариантом проблемы Гольдбаха (её ещё называют тернарной проблемой Гольдбаха) является проблема Эйлера (или бинарная проблема Гольдбаха), которая до сих пор является одной из старейших нерешённых проблем:
Проблема Гольдбаха (в совокупности с гипотезой Римана) включена под номером 8 в список проблем Гильберта (1900) и является одной из немногих проблем Гильберта, до сих пор остающихся нерешёнными.
Из справедливости утверждения бинарной проблемы Гольдбаха автоматически следует справедливость тернарной проблемы Гольдбаха: если каждое чётное число, начиная с 4, есть сумма двух простых чисел, то добавляя 3 к каждому чётному числу, можно получить все нечётные числа, начиная с 7. Математики в таких случаях говорят, что утверждение в бинарной проблеме сильнее, чем в тернарной.
Содержание
История исследования
В 1742 году прусский математик Кристиан Гольдбах послал письмо Леонарду Эйлеру, в котором он высказал следующее предположение:
Каждое нечётное число, большее 5, можно представить в виде суммы трёх простых чисел.
Эйлер заинтересовался проблемой и выдвинул более сильную гипотезу:
Каждое чётное число, большее двух, можно представить в виде суммы двух простых чисел.
Первое утверждение называется тернарной проблемой Гольдбаха, второе — бинарной проблемой Гольдбаха (или проблемой Эйлера).
Тернарная проблема Гольдбаха
Это, более слабое, утверждение было доказано для всех достаточно больших чисел И. М. Виноградовым в 1937 году, за что он получил Сталинскую премию и звание Героя Социалистического Труда.
Бинарная проблема Гольдбаха
Бинарная проблема Гольдбаха всё ещё далека от решения.
Виноградов в 1937 году и Теодор Эстерманн в 1938 году показали, что почти все чётные числа представимы в виде суммы двух простых чисел (доля непредставимых, если они есть, стремится к нулю). Этот результат немного усилен в 1975 году Хью Монтгомери (Hugh Montgomery) и Робертом Чарльзом Воном (Robert Charles Vaughan). Они показали, что существуют положительные константы c и C, такие что количество чётных чисел, не больших N, непредставимых в виде суммы двух простых чисел, не превышает 
.
В 1930 году Шнирельман доказал, что любое целое число представимо в виде суммы не более чем 800 000 простых чисел. [4] Этот результат многократно улучшался. В 1995 году Ремер (Ramaré) доказал, что любое чётное число — сумма не более чем 6 простых чисел.
В 1966 году Чэнь Цзинжунь (Chen Jingrun) доказал, что любое достаточно большое чётное число представимо или в виде суммы двух простых чисел, или же в виде суммы простого числа и полупростого (произведения двух простых чисел). Например, 100 = 23 + 7 · 11.
Если бинарная гипотеза Гольдбаха неверна, то существует алгоритм, который рано или поздно обнаружит её нарушение. Отсюда следует, что если отрицание бинарной гипотезы Гольдбаха недоказуемо в арифметике Пеано, то гипотеза верна.
