найдите наименьшее натуральное такое что дробь является конечной десятичной дробью

Десятичные дроби

Понятие десятичной дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это запись числа в математика, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которое можно представить число. Есть два формата записи:

В обыкновенной дроби над чертой принято писать делимое, которое становится числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. По сути, десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Десятичную дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:

Конечная десятичная дробь — это дробь, в которой количество цифр после запятой точно определено.

Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой.

Свойства десятичных дробей

Главное свойство десятичной дроби звучит так: если к десятичной дроби справа приписать один или несколько нулей — ее величина не изменится. Это значит, что если в вашей дроби куча нулей — их можно просто отбросить. Например:

Обыкновенная и десятичная дробь — давние друзья. Вот, как они связаны:

Обучение на курсах по математике — отличный способ закрепить полученные знания на практике и подтянуть сложные темы.

Как записать десятичную дробь

Давайте разберем на примерах, как записывается десятичная дробь. Небольшая напоминалка: сначала пишем целую часть, ставим запятую и после записываем числитель дробной части.

Пример 1. Перевести обыкновенную дробь 16/10 в десятичную.

Пример 2. Перевести 37/1000 в десятичную дробь.

Ответ: 37/1000 = 0,037.

Как читать десятичную дробь

Чтобы учитель вас правильно понял, важно читать десятичные дроби грамотно. Сначала произносим целую часть с добавлением слова «целых», а потом дробную с обозначением разряда — он зависит от количества цифр после запятой:

Сколько цифр после запятой?	Читается, как
одна цифра — десятых;	1,3 — одна целая, три десятых;
две цифры — сотых	2,22 — две целых, двадцать две сотых;
три цифры — тысячных;	23,885 — двадцать три целых, восемьсот восемьдесят пять тысячных;
четыре цифры — десятитысячных;	0,5712 — ноль целых пять тысяч семьсот двенадцать десятитысячных;
и т.д.

Сохраняй наглядную картинку, чтобы быстрее запомнить.

Преобразование десятичных дробей

Чтобы ни одна задача не смутила вас своей формулировкой, важно знать, как преобразовывать десятичные дроби в другие виды. Сейчас научимся!

Как перевести десятичную дробь в проценты

Уже в пятом классе задачки по математике намекают, что дроби как-то связаны с процентами. И это правда: процент — это одна сотая часть от любого числа, обозначают его значком %.

Чтобы узнать, как перевести проценты в дробь, нужно убрать знак % и разделить наше число на 100, как в примере выше.

А чтобы перевести десятичную дробь в проценты — умножаем дробь на 100 и добавляем знак %. Давайте на примере:

Выразить дробь в процентах просто: сначала превратим её в десятичную дробь, а потом применим предыдущее правило.

2/5 = 0,4
0,4 · 100% = 40%

8/25 = 0,32
0,32 · 100% = 32%

Чтобы разрезать торт на равные кусочки и не обижать гостей, нужно всего-то запомнить соотношения частей и целого. Наглядная табличка — наш друг-помощник:

Преобразование десятичных дробей

Десятичная дробь — это число с остатком, где остаток стоит после целой части и разделяется запятой.

Смешанная дробь — это тоже число с остатком, но остаток записывают в виде простой дроби (с черточкой).

Чтобы переводить десятичные дроби в смешанные, не нужно запоминать особые алгоритмы. Достаточно понимать определения и правильно читать заданную дробь — этим школьники и занимаются в 5 классе. А теперь давайте потренируемся!

Пример 1. Перевести 5,4 в смешанное число.

Пример 2. Перевести 4,005 в смешанное число.

Ответ: 4,005 = 4 1/200.

Пример 3. Перевести 5,60 в смешанное число.

Как перевести десятичную дробь в обыкновенную

Не будем придумывать велосипед и рассмотрим самый простой способ превращения десятичной дроби в обыкновенную. Вот, как это сделать:

Не забывайте про минус в ответе, если пример был про отрицательное число. Очень обидная ошибка!

Действия с десятичными дробями

С десятичными дробями можно производить те же действия, что и с любыми другими числами. Рассмотрим самые распространенные на простых примерах.

Как разделить десятичную дробь на натуральное число

Пример 2. Разделить 183,06 на 45.

Ответ: 183,06 : 45 = 4,068.

Как разделить десятичную дробь на обыкновенную

Чтобы разделить десятичную дробь на обыкновенную или смешанную, нужно представить десятичную дробь в виде обыкновенной, а смешанное число записать, как неправильную дробь.

Пример 1. Разделить 0,25 на 3/4.

Пример 2. Разделить 2,55 на 1 1/3.

Ответ: 2,55 : 1 1/3 = 1 73/80.

Как умножить десятичную дробь на обыкновенную

Чтобы умножить десятичную дробь на обыкновенную или смешанную, используют два правила за 6 класс. При первом приводим десятичную дробь к виду обыкновенной и потом умножаем на нужное число. Во втором случае приводим обыкновенную или смешанную дробь в десятичную и потом умножаем.

Пример 1. Умножить 2/5 на 0,8.

Пример 2. Умножить 0,28 на 6 1/4.

Ответ: 0,28 ∗ 6 1/4 = 0,8.

Источник

Обыкновенные дроби

Доля целого

Доля — это каждая равная часть, из суммы которых состоит целый предмет.

Для примера возьмем два мандарина. Когда мы их почистим, то получим в каждом мандарине разное количество долек или долей. В одном может быть 6, а в другом — целых 9. Размеры долей у каждого мандарина тоже разные.

У каждой доли есть свое название: оно зависит от количества долей в конкретном предмете. Если в мандарите шесть долей — каждая из них будет определяться, как одна шестая от целого.

Понятие доли можно применить не только к предметам, но и величинам. Так, например, картина занимает четверть стены — при этом ее ширина треть метра.

Чтобы быстрее запомнить соотношения частей и целого, можно использовать наглядную табличку:

Понятие дроби

Дробь — это запись числа в математика, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которой можно представить число. Есть два формата записи:

Виды дробей:

Какие еще бывают дроби:

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3\5.

Выделение целой части из неправильной дроби — это запись неправильной дроби в виде суммы натурального числа и правильной дроби. Например, 11/5 = 2 + 1/5.

Как устроена обыкновенная дробь

Обыкновенная дробь — это запись вида m/n, где m и n любые натуральные числа.

Такие дроби записываются с помощью двух натуральных чисел и горизонтальной черты, которая называется чертой дроби. Иногда ставится не горизонтальная черта, а косая.

Числитель обыкновенной дроби m/n — это натуральное число m, которое стоит над чертой. Числитель это делимое — то, что мы делим.

Знаменатель обыкновенной дроби m/n — натуральное число n, которое стоит под чертой. Знаменатель это делитель — то, на сколько делим.

Черта между числителем и знаменателем — символ деления.

Равные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых справедливо равенство: a * d = b * c. Пример равных дробей: 1/2 и 2/4, так как 1 * 4 = 2 * 2.

Неравные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых равенство: a * d = b * c не является верным.

Как устроена десятичная дробь

В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. Выходит, что десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Десятичную дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:

Конечная десятичная дробь — это дробь, в которой количество цифр после запятой точно определено.

Свойства дробей

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной. Формула выглядит так:

где a, b, k — натуральные числа.

Обыкновенная и десятичная дробь — давние друзья. Вот, как они связаны:

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы, записывайтесь!

Действия с дробями

С дробями можно выполнять те же действия, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. А еще дроби можно сокращать и сравнивать между собой. Давайте попробуем.

Сравнение дробей

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.

Сравним 1/5 и 4/5. Как рассуждаем:

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю. А после приведения дробей к общему знаменателю, можно применить правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример. Сравнить 2/7 и 1/14.

Важно запомнить: любая неправильная дробь больше любой правильной. Потому что неправильная дробь всегда больше или равна 1, а правильная дробь всегда меньше 1.

Чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, нужно:

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно:

Сокращение дробей

Сокращение дроби — это деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число. Сократить дробь значит сделать ее короче и проще для восприятия. Например, дробь 1/3 выглядит намного проще и красивее, чем 27/81.

Сокращение дроби выглядит так: зачеркивают числитель и знаменатель, а рядом записывают результаты деления числителя и знаменателя на одно и то же число.

В этом примере делим обе части дроби на двойку.

Можно никуда не спешить и сокращать дроби последовательно, в несколько действий.

Сложение и вычитание дробей

При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби (из числителя первой вычитают числитель второй) и оставляют тот же знаменатель.

Не забудьте проверить, можно ли сократить дробь и выделить целую часть.

При сложении и вычитании дробей с разными знаменателями нужно найти наименьший общий знаменатель, сложить или вычесть полученные дроби (используем предыдущее правило).

Для этого запишем в столбик числа, которые в сумме дают значения делителей. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.

НОК (15, 18) = 3 * 2 * 3 * 5 = 90

Полученные числа запишем справа сверху над числителем.

Ход решения одной строкой:

Сложение или вычитание смешанных чисел можно привести к отдельному сложению их целых частей и дробных частей. Для этого нужно действовать поэтапно:

Необходимо приводить к общему, если знаменатели разные. Для этого воспользуемся знаниями из предыдущего примера.

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, нужно выделить ее целую часть и прибавить к полученной ранее целой части.

Умножение и деление дробей

Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей:

Не забываем про сокращение. Это может облегчить вычисления.

Чтобы умножить два смешанных числа, надо:

Чтобы разделить дробь на дробь нужно выполнить следующую последовательность действий:

Другими словами это правило звучит так: чтобы разделить одну дробь на другую, надо первую умножить на обратную от второй.

Числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.

Как делить дроби с разными знаменателями? На самом деле одинаковые или разные знаменатели у дробей — неважно, потому что все дроби делятся по правилу, описанному выше.

Для деления смешанных чисел необходимо:

Источник

Найдите наименьшее натуральное такое что дробь является конечной десятичной дробью

Известно, что a, b, c, d — попарно различные натуральные числа, большие 1.

а) Может ли выполняться равенство ?

б) Может ли выполняться равенство ?

в) Найдите наименьшее и наибольшее значение суммы если известно, что

а) Да,

б) Если сумма дробей равна то у одной из них знаменатель кратен Тогда она не больше а остальные вместе не больше поэтому общая сумма не больше

в) Самые большие дроби дадут:

Значит, это и есть самое большое значение.

Если не взять то наибольшая сумма будет: Значит, в сумме есть.

Тогда сумма этих трех дробей равна и мы получаем неравенство:

Поэтому минимальная сумма составит:

Ответ: а) да; б) нет; в) и

В июле планируется взять кредит в банке в размере S тыс. рублей (S — натуральное число) сроком на 3 года. Условия возврата кредита таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 22,5% по сравнению с концом предыдущего года;

— в июне каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле каждого года величина долга задается таблицей

Год	2018	2019	2020	2021
Долг, тыс. руб.	S	0,7S	0,4S	0

Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.

Вычислим все выплаты.

После первого начисления процентов долг будет поэтому выплата будет

После второго начисления процентов долг будет поэтому выплата будет

После третьего начисления процентов долг будет поэтому выплата будет

Чтобы все они были целыми, S должно делиться на поэтому минимальное S это

Ответ:

Трёхзначные натуральные числа делят на сумму их цифр. Известно, что полученное частное — целое число.

а) Может ли получиться 55?

б) Может ли получиться 87?

в) Найдите наименьшее возможное частное, если число не делится на 100, а его первая цифра равна 7?

Пусть это число состоит из цифр a, b, c, тогда оно равно 100a + 10b + c.

а) Имеем уравнение 100a + 10b + c = 55(a + b + c), откуда 45a = 45b + 54c, что возможно, например, для числа 110.

б) Аналогично получаем уравнение 100a + 10b + c = 87(a + b + c), откуда 13a = 77b + 86c. При b + c ≥ 2 имеем

поэтому таких чисел нет. Если же b + c Ответ: а) да, б) нет, в) 37.

Другой путь решения задачи показан нами в задании 563659.

Известно, что все члены арифметической прогрессии являются различными натуральными числами и что ее второй член в 8 раз больше первого.

а) Может ли один из членов этой прогрессии быть больше другого ее члена в 567 раз?

б) Найдите наименьшее возможное отношение двух членов этой прогрессии, отличных от если известно, что отношение является целым числом, и укажите любую пару таких ее членов.

в) Найдите третий член этой прогрессии, если известно, что один из ее членов равен 546.

Обозначим первый член прогрессии за x, тогда второй равен и разность прогрессии равна

а) Допустим то есть Сокращая на имеем:

что невозможно, поскольку 566 не кратно 7.

б) Допустим то есть Сокращая на имеем

откуда кратно 7, поэтому Это возможно, например, для

то — делитель дающий остаток 1 при делении на 7, откуда, перебирая делители этого числа, получим или В первом случае и Во втором и

Ответ: а) нет; б) 8; в) 105 или 8190.

При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

В ответе укажите наименьшее необходимое количество выстрелов.

Найдем вероятность противоположного события, состоящего в том, что цель не будет уничтожена за n выстрелов. Вероятность промахнуться при первом выстреле равна 1 − 0,4 = 0,6, а при каждом следующем 1 − 0,6 = 0,4. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятности этих событий. Поэтому вероятность промахнуться при n выстрелах равна:

Осталось найти наименьшее натуральное решение неравенства

Последовательно проверяя значения равные 1, 2, 3 и т. д. находим, что искомым решением является Следовательно, необходимо сделать 5 выстрелов.

Можно решать задачу «по действиям», вычисляя вероятность уцелеть после ряда последовательных промахов:

Последняя вероятность меньше 0,02, поэтому достаточно пяти выстрелов по мишени.

Приведем другое решение.

Вероятность поразить мишень равна сумме вероятностей поразить ее при первом, втором, третьем и т. д. выстрелах. Поэтому задача сводится к нахождению наименьшего натурального решения неравенства

В нашем случае неравенство решается подбором, в общем случае понадобится формула суммы геометрической прогрессии, использование которой сведет задачу к простейшему логарифмическому неравенству.

Здравствуйте! Разъясните пожалуйста два момента.

1) В задаче не ставится вопрос о наименьшем числе выстрелов. Почему, например, не подойдет ответ 6 выстрелов, ведь вероятность уничтожения цели будет не менее 0,98?

2) Условие «Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена» означает, что при n сделанных выстрелах, первые (n-1) выстрелов не поразили цель, а n-ый выстрел поразил цель? В приведенном решении обсуждается событие, что система в любом случае делает n выстрелов и не важно на каком из них цель была поражена?

Первое: потребуется 5 выстрелов, но их может быть и больше.

Второе: в решении мишень поражена выстрелом n; он является первым удачным и, тем самым, последним.

Бесконечная арифметическая прогрессия состоит из различных натуральных чисел. Пусть при всех натуральных

а) Существует ли такая прогрессия, для которой

б) Существует ли такая прогрессия, для которой

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь

Пусть

б) Нет. По формуле для суммы прогрессии мы бы тогда имели

что невозможно, поскольку

в) Обозначим тогда

Найдем наименьшее значение этого выражения. Для этого возьмем производную:

Значит, производная отрицательна при и положительна при Значит, функция убывает на и возрастает на поэтому наименьшее значение будет при и оно равно Его можно получить, например, при и

Ответ: а) да; б) нет; в)

Леонид является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые приборы, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.

В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно 4t 3 часов в неделю, то за эту неделю они производят t приборов; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t 3 часов в неделю, они производят t приборов.

За каждый час работы (на каждом из заводов) Леонид платит рабочему 1 тысячу рублей. Необходимо, чтобы за неделю суммарно производилось 20 приборов. Какую наименьшую сумму придется тратить владельцу заводов еженедельно на оплату труда рабочих?

Найдем наименьшее значение функции на

Искомый корень положителен, он равен Заметим, что на это единственная точка экстремума. Если она окажется точкой минимума функции, то функция именно в этой точке и достигает наименьшего значения. Найдем

Итак, критическая точка функции точка является точкой минимума функции S(x).

Поскольку количество изготовленных приборов будет выражаться числом натуральным, то наименьшая сумма, необходимая для выплаты рабочим, будет достигнута либо при x = 6, либо при x = 7. Сравним эти значения:

(тыс. руб.);

(тыс. руб.)

Итак, искомая сумма 3 569 000 рублей.

Ответ: 3 569 000 рублей.

а) Существует ли конечная арифметическая прогрессия, состоящая из пяти натуральных чисел, такая, что сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 99?

б) Конечная арифметическая прогрессия состоит из шести натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 9. Найдите все числа, из которых состоит эта прогрессия.

в) Среднее арифметическое членов конечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, равно 6,5. Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?

Без ограничения общности можно считать прогрессию возрастающей. Обозначим a — первый член прогрессии, n — количество членов, а d — её разность. Числа a, n, и d — натуральные.

а) Сумма первого и пятого членов этой прогрессии равна 2a + 4d и является чётным числом. Поскольку число 99 нечётное, сумма наибольшего и наименьшего членов конечной арифметической прогрессии из 5 натуральных чисел не может быть равной 99.

б) Сумма первого и шестого членов этой прогрессии равна 2a + 5d = 9. Поскольку d — натуральное число, получаем, что d = 1. Тогда a = 2. Искомые числа: 2, 3, 4, 5, 6, 7.

в) Среднее арифметическое прогрессии равно полусумме её крайних членов, поэтому получаем Значит, Натуральные числа от 1 до 12 составляют прогрессию, среднее арифметическое членов которой равно 6,5, а количество членов равно 12. Поэтому наибольшее возможное количество чисел — 12.

Ответ: а) нет; б) 2, 3, 4, 5, 6, 7; в) 12.

а) Существует ли пара натуральных чисел, наибольший общий делитель которых равен 5, а наименьшее общее кратное — 123?

б) Существует ли пара натуральных чисел, наибольший общий делитель которых равен 7, а наименьшее общее кратное — 294?

в) Найдите все пары натуральных чисел, наибольший общий делитель которых равен 13, а наименьшее общее кратное — 78.

а) Нет. Наименьшее общее кратное делится на любое из этих чисел, а они, в свою очередь делятся, на их наибольший общий делитель. Значит, и наименьшее общее кратное делится на их наибольший общий делитель. Но 123 не делится на 5.

б) Да, например, 7 и 294 или 42 и 49.

в) Пусть эти числа равны 13x и 13y, где x и y не имеют общих делителей. Тогда наименьшее общее кратное данных чисел откуда натуральными решениями полученного уравнения являются или или Тогда исходные числа равны либо 13 и 78, либо 26 и 39.

Ответ: а) нет; б) да, например, 7 и 294; в) 13 и 78, 26 и 39.

Назовем кусок веревки стандартным, если его длина не меньше 168 см, но не больше 175 см.

а) Некоторый моток веревки разрезали на 24 стандартных куска, среди которых есть куски разной длины. На какое наибольшее число одинаковых стандартных кусков можно было бы разрезать тот же моток веревки?

б) Найдите такое наименьшее число l, что любой моток веревки, длина которого больше l см, можно разрезать на стандартные куски.

а) Пусть L — длина мотка верёвки. Коль скоро его можно разрезать на 24 стандартных куска, выполнено неравенство А так как не все куски имеют одинаковую длину, неравенство является строгим:

По тем же самым причинам справедливо неравенство Итак,

Теперь заметим, что и Поэтому и мы получаем новое двойное неравенство для L:

Предположим, что моток можно разрезать на стандартных кусков одинаковой длины. Тогда имеем неравенство

которое противоречит неравенству. Следовательно,

Покажем, что наш моток можно разрезать на 24 одинаковых стандартных куска. Из неравенства следует, что где Разрежем моток на 24 куска одинаковой длины; тогда длина d одного куска равна:

С одной стороны, С другой стороны,

Итак, так что куски являются стандартными. Следовательно, данный моток разрезается самое большее на 24 одинаковых стандартных куска.

б) Сформулируем и решим задачу в общем виде — тем самым яснее проявится идея её решения.

Пусть a и b — натуральные числа (a

В самом деле, нетрудно видеть, что это есть наибольшее натуральное n, удовлетворяющее неравенству Обозначим его n₀:

Пусть сначала Покажем, что найдётся не представимое в виде суммы стандартных слагаемых. Возьмём L таким, что Иными словами, мы выбираем число L, одновременно удовлетворяющее двум условиям:

Поскольку из второго условия следует неравенство

Предположим, что L равно сумме k стандартных слагаемых. Тогда Отсюда и из неравенства следует, что одновременно выполнены неравенства и Полученное противоречие показывает, что L нельзя представить в виде суммы стандартных

Пусть теперь Покажем, что любое число можно представить в виде суммы стандартных слагаемых.

Для любого L найдётся натуральное n такое, что Поскольку выполнено имеем Отсюда в соответствии с определением числа n₀ заключаем, что Это даёт нам неравенство

Следовательно, L можно представить в виде суммы n стандартных слагаемых, каждое из которых равно

Таким образом, мы нашли наименьшее l, такое, что любое число представляется суммой стандартных слагаемых. Это наименьшее l равно

Остаётся применить полученные результаты к исходной задаче. Имеем: a = 168, b = 175, так что

Находим Тогда

Аналоги к заданию № 500068: 500351 514923 Все

На доске написано 100 различных натуральных чисел с суммой 5100.

а) Может ли быть записано число 250?

б) Можно ли обойтись без числа 11?

в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 11, может быть на доске?

Сумма всех чисел на доске S будет равна:

Не трудно заметить, что полученная сумма больше, чем 5100, а это значит, что и любая сумма 100 различных натуральных чисел, среди которых есть 250, больше 5100, следовательно, числа 250 на доске быть не может.

б) Пусть на доске не записано число 11. В таком случае, минимально возможная сумма S чисел на доске будет состоять из двух сумм арифметических прогрессий: суммы первых 10 членов прогрессии с первым членом разностью (то есть ряда 1,2,3. 10) и суммы первых 90 членов прогрессии с первым членом разностью (то есть ряда 12,13,14. 101). Найдем эту сумму:

Не трудно заметить, что полученная сумма больше, чем 5100, а это значит, что и любая сумма 100 различных натуральных чисел, среди которых нет 11, больше 5100, следовательно, без числа 11 на доске обойтись нельзя.

в) Допустим, что на доске выписаны все числа от 1 до 100. Тогда получается, что полученный ряд составляет арифметическую прогрессию с первым членом разностью По формуле для суммы арифметической прогрессии найдем сумму всех чисел на доске

Полученная сумма не удовлетворяет условию задачи. Теперь, чтобы увеличить сумму всех чисел, написанных на доске до обозначенной в условии, попробуем заменить числа, кратные 11 на другие числа, следующие за сотней: 77 заменим на 103, 88 на 102, а 99 на 101. Полученная сумма S будет равна:

Подправим сумму S: заменим число 101 на число 109, окончательно получим:

При дальнейшей замене чисел, кратных 11 на числа, большие 100, сумма будет увеличиваться и не соответствовать условию задачи. Таким образом, наименьшее количество чисел, кратных 11 равно 6.

Приведем другое решение пункта в).

Приведем пример, когда на доске написано шесть чисел, кратных 11 (11, 22, 33, 44, 55, 66):

Докажем, что на доске не может быть меньше шести чисел, делящихся на 11 без остатка. Чтобы убрать максимальное количество чисел, кратных 11, необходимо, чтобы разности между новыми и старыми числами были минимальны. То есть заменять надо наибольшие числа, кратные 11, на наименьшие возможные числа, большие ста. Пусть количество чисел, кратных 11, равно 5. Тогда минимальная сумма записанных на доске чисел равна:

Полученная сумма больше, чем 5100. При дальнейшей замене чисел, кратных 11, на числа, большие 100, сумма будет увеличиваться, значит, на доске не может быть меньше шести чисел, кратных 11.

Ответ: а) Нет; б) Нет; в) 6.

На доске написано 100 различных натуральных чисел с суммой 5120.

а) Может ли быть записано число 230?

б) Можно ли обойтись без числа 14?

в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 14, может быть на доске?

Сумма всех чисел на доске S будет равна:

Нетрудно заметить, что полученная сумма больше, чем 5120, а это значит, что и любая сумма 100 различных натуральных чисел, среди которых есть 230, больше 5120, следовательно, числа 230 на доске быть не может.

б) Пусть на доске не записано число 14. В таком случае, минимально возможная сумма S чисел на доске будет состоять из двух сумм арифметических прогрессий: суммы первых 13 членов прогрессии с первым членом разностью (то есть ряда 1,2,3. 13) и суммы первых 87 членов прогрессии с первым членом разностью (то есть ряда 15,16,17. 101). Найдем эту сумму:

Нетрудно заметить, что полученная сумма больше, чем 5120, а это значит, что и любая сумма 100 различных натуральных чисел, среди которых нет 14, больше 5120, следовательно, без числа 14 на доске обойтись нельзя.

При дальнейшей замене чисел, кратных 14 на числа, большие 100, сумма будет увеличиваться и не соответствовать условию задачи. Таким образом, наименьшее количество чисел, кратных 14 равно 4.

Приведем другое решение пункта в).

Приведем пример, когда на доске написано четыре числа, кратных 14 (14, 28, 42, 56):

Докажем, что не может быть трех чисел, кратных 14. Чтобы убрать максимальное количество чисел, кратных 14, необходимо, чтобы разности между новыми и старыми числами были минимальными. То есть заменять надо наибольшие числа, кратные 14, на наименьшие возможные, большие ста числа. Пусть количество чисел, кратных 14, равно 3. Тогда минимальная сумма записанных на доске чисел равна:

Полученная сумма больше, чем 5120. При дальнейшей замене чисел, кратных 14, на числа, большие 100, сумма будет увеличиваться, значит, на доске не может быть меньше четырех чисел, кратных 14.

Ответ: а) Нет б) Нет в) 4.

Аналоги к заданию № 517581: 517583 Все

Имеется три пакета акций. Общее суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете. Первый пакет в 4 раза дешевле второго, а суммарная стоимость первого и второго пакетов совпадает со стоимостью третьего пакета. Одна акция из второго пакета дороже одной акции из первого пакета на величину, заключенную в пределах от 16 тыс. руб. до 20 тыс. руб., а цена акции из третьего пакета не меньше 42 тыс. руб. и не больше 60 тыс. руб. Определите, какой наименьший и наибольший процент от общего количества акций может содержаться в первом пакете.

Введём обозначения так, как показано в таблице (выделено цветом), и затем заполним оставшиеся ячейки по данным из условия:

Цена одной акции, тыс. руб.

Количество акций в пакете, шт

Цена пакета, тыс. руб.

Заметим, что цена одной акции из второго пакета равна тыс. руб., а цена одной акции из третьего пакета равна тыс. руб., причем из условия следует, что Требуется определить наибольшее и наименьшее значение величины выраженное в процентах. Из условия имеем:

Отрезки [a; b] и [c; d] пересекаются тогда и только тогда, когда а ≤ d и с ≤ b одновременно, поэтому полученная система имеет решения тогда и только тогда, когда:

Решим эту систему на интервале (0; 4):

т. е. искомая доля меняется от 12,5% до 15%.

Заметим, что при найденных значениях l существует такие значения цены акций первого пакета х, что цены акций второго и третьего пакетов подчиняются указанным в условии ограничениям. При этом количество акций в первом пакете может быть любым натуральным числом: ни условие, ни решение от этого количества не зависят. С другой стороны, для решения задачи существенно, что цены всех акций в каждом пакете одинаковы. Об этом авторам следовало написать в условии более отчетливо.

Приведём решение И. В. Фельдман.

Будем считать, что общая стоимость акций фиксирована. Давайте для начала введем переменные:

Тогда стоимость первого пакета акций равна nx, второго my, третьего (n + m)z.

Теперь внимательно читаем задачу:

1. Первый пакет в 4 раза дешевле второго, следовательно, 4nx = my.

2. Суммарная стоимость первого и второго пакетов совпадает со стоимостью третьего пакета, следовательно,

3. Одна акция из второго пакета дороже одной акции из из первого пакета на величину, заключенную в пределах от 16 тыс. р. до 20 тыс. р., следовательно, 16 ≤ y − x ≤ 20.

4. Цена акции из третьего пакета не меньше 42 тыс. р. и не больше 60 тыс. р., следовательно, 42 ≤ z ≤ 60.

Получили систему условий:

В первую очередь разберемся с неравенствами. По условию задачи нам нужно найти, какой наименьший и наибольший процент от общего количества акций может содержаться в первом пакете.

Этот процент равен

Сначала найдем, при каких условиях этот процент будет наименьшим. Общее суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете. Поэтому чем меньше акций в третьем пакете, тем меньше суммарное количество акций в первых двух пакетах. Акций в третьем пакете тем меньше, чем больше их стоимость. Следовательно, чтобы получить наименьший процент акций из первого пакета, мы должны взять наибольшую стоимость акций из третьего, то есть берем z = 60.

Далее. Чем дешевле акции из второго пакета, тем их больше, и тем меньше остается акций в первом пакете (суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете). Следовательно, разность между стоимостью акции из первого пакета и акции из второго пакета должна быть наименьшей. Поэтому берем y − x = 16.

Получили систему уравнений:

В этой систем 4 уравнения и 5 неизвестных, поэтому мы не можем найти значение каждой неизвестной величины. Но мы можем найти их соотношение. Для этого вернемся вернемся к вопросу задачи. Нам нужно найти значение выражения Рассмотрим дробь Обратная ей дробь равна То есть если мы найдем отношение то задача будет решена. Из первого, второго и четвертого уравнений системы получим Из третьего уравнения выразим y через x, получим Подставим это выражение для y в первое уравнение и выразим x через n и m:

Подставим это выражение для x в уравнение (2). Получим:

Разделим обе части равенства на 20 и умножим на Получим: Раскроем скобки, приведем подобные члены и перенесем слагаемые в одну сторону, получим: Разделим обе части равенства на и решим квадратное уравнение относительно :

Получим 2 значения и

Так как n и m — натуральные числа, нам подходит только То есть Подставим это соотношение в выражение (1):

Итак, наименьший процент от общего количества акций, который может содержаться в первом пакете, равен 12,5%. Аналогичным образом найдем наибольший процент от общего количества акций, который может содержаться в первом пакете. Получим систему уравнений:

Из первого, второго и четвертого уравнений получим Из третьего уравнения выразим y через x, получим Подставим это выражение для y в первое уравнение и выразим x через n и m. Получим: Подставим это выражение для x в уравнение (3). Получим: Разделим обе части равенства на 2 и умножим на . Получим: Раскроем скобки, приведем подобные члены и перенесем слагаемые в одну сторону, получим: Разделим обе части равенства на умножим на −1 и решим квадратное уравнение относительно

Получим 2 значения: и Так как n и m — натуральные числа, нам подходит только То есть Подставим это соотношение в выражение (1):

Итак, наибольший процент от общего количества акций, который может содержаться в первом пакете, равен 15%.

На листочке записано 13 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое семи наименьших из них равно 7, среднее арифметическое семи наибольших из них равно 16.

а) Может ли наименьшее из 13 чисел равняться 5?

б) Может ли среднее арифметическое всех 13 чисел равняться 12?

в) Пусть P — среднее арифметическое всех 13 чисел, Q — седьмое по величине число. Найдите наибольшее значение выражения P − Q.

а) Если наименьшее число равно 5, то сумма семи наименьших чисел не меньше а их среднее арифметическое больше 7.

б) Пусть сумма шести наименьших чисел равна А, седьмое по величине число равно Q, а сумма шести наибольших чисел равна С. Предположим, что среднее арифметическое всех тринадцати чисел равно 12. Тогда получаем:

откуда Это невозможно, поскольку перед Q должно быть еще шесть различных натуральных чисел.

в) Имеем: Получаем:

Значит, нужно найти наименьшее значение Q.

Пусть числа, написанные на доске, равны причем Тогда откуда

Покажем, что число Q может равняться 10. Например, если на доске написаны числа 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 37, то условия задачи выполнены и Таким образом,

Ответ: а) нет, б) нет, в)

Аналоги к заданию № 520851: 528993 520789 Все

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 13?

б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 500?

в) Найдите все возможные значение n, если сумма всех данных чисел равна 57.

а) Нет. Если известно, что S = 13, то Заметим, что так как n = 13 или n = 26. Но сумма 13-ти различных натуральных чисел больше 13.

б) Так как все данные n чисел натуральные, то наименьшее из них больше или равно 1, а поскольку все эти числа различны (отличаются друг от друга не менее, чем на 1), то их сумма S не меньше суммы 1 + 2 + 3 +. +n, то есть Если известно, что S Ответ: а) нет; б) 31; в) 3, 6.

Ответ: а) нет; б) 31; в) 3, 6.

Источник: Пробный экзамен по математике Кировского района Санкт-Петербурга, 2015. Вариант 2.

В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе 24 человек. Их нужно распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 4t 2 у. е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t 2 у. е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у. е. в этом случае придется заплатить рабочим?

Пусть на первый объект будет направлено х рабочих, суточная зарплата которых составит Тогда на второй объект будет направлено рабочих — суточная заработная плата составит В день начальник будет должен платить рабочим у. е.

Рассмотрим функцию при Это квадратичная функция, старший коэффициент положителен, следовательно, она имеет наименьшее значение при x₀ = 4,8. Заметим, что точка минимума не является натуральным числом, поэтому исследуемая функция достигает наименьшего значения в точке 4 или в точке 5. Найдем и сравним эти значения:

Тем самым, на множестве натуральных значений аргумента наименьшее значение функции достигается в точке 5. Поэтому необходимо направить 5 рабочих на первый объект, 19 рабочих — на второй объект. Зарплата рабочих составит 461 у. е.

Ответ: 5 рабочих на 1-й объект, 19 рабочих на 2-й объект; 461 у.е.

Здравствуйте, хотела бы узнать откуда взялось Х0=4,8?, из квадратичного уравнения оно не выходит.

Для квадратичной функции абсцисса вершины параболы находится по формуле

Длины сторон прямоугольника ― натуральные числа, а его периметр равен 4000. Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n ― также натуральное число.

а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника?

б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника?

в) Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь прямоугольника, если дополнительно известно, что n

Так как и ― целые числа, то число 200 000 кратно числу

Заметим, что так как Следовательно, требуется найти все делители числа 200 000, меньшие 200, но большие 100. Так как то искомый делитель может содержать в своем разложении на простые множители лишь 2 и 5, причем соответствующие степени не превосходят 6 и 5.

Возможны три случая:

1) Число не делится на 5. Тогда оно может быть только степенью двойки, причем не более, чем шестой. Но тогда оно не превосходит 64, что меньше 100.

2) Число делится на 5, но не делится на 25. Из чисел вида в искомый промежуток попадает только число В этом случае а площадь равна 937 500.

3) Число делится на 25. В этом случае оно может быть равно 125, 150 или 175. Но число 150 делится на 3, а 175 делится на 7, значит, они оба не являются делителями числа 200 000. Если же 100 + n = 125, то a = 1600, а площадь равна 640 000.

Ответ: а) 1 000 000; б) 1999; в) 937 500 или 640 000.

Длины сторон прямоугольника ― натуральные числа, а его периметр равен 200. Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n – также натуральное число.

а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника?

б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника?

в) Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь прямоугольника, если дополнительно известно, что n>100.

а) Так как периметр равен 200, то сумма смежных сторон прямоугольника равна 100. Известно, что наибольшее значение площади прямоугольника при фиксированном периметре достигается в том случае, если он является квадратом. Таким образом, его стороны должны быть равны 50, что не противоречит условию (длины обеих сторон натуральные числа, длина одной стороны равна 100% от длины другой). Значит, наибольшее значение площади прямоугольника равно 2500.

б) Пусть меньшая сторона прямоугольника (или равная другой стороне, если это квадрат) равна тогда другая сторона равна В этом случае площадь прямоугольника равна Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз, а число x не превосходит абсциссы вершины параболы. Следовательно, значение функции будет тем меньше, чем дальше находится число x от абсциссы вершины. Таким образом, наименьшее значение функции достигается при а тогда площадь равна 99. В этом случае условие также соблюдается, так как число 99 равно 9900% от числа 1.

в) Пусть a ― это сторона, n% от которой равны другой стороне. Тогда другая сторона равна Поскольку сумма смежных сторон прямоугольника равна 100, получаем:

Так как a и n ― целые числа, то число 10 000 кратно a.

Возможны три случая:

1) Число a не делится на 5. Тогда оно может быть только степенью двойки, причем не более, чем четвертой, т.е. a может принимать значения 1, 2, 4, 8 или 16, а площадь при этом будет равна, соответственно, 99, 196, 384, 736 или 1344.

2) Число a делится на 5, но не делится на 25. Тогда оно может быть равно 5, 10, 20 или 40. Площадь в этих случаях будет равна, соответственно, 475, 900, 1600 или 2400.

3) Число a делится на 25. В этом случае оно может быть равно только 25. Тогда площадь равна 1875.

Ответ: а) 2500; б) 99; в) 99, 196, 384, 475, 736, 900, 1344, 1600, 1875 или 2400.

Аналоги к заданию № 501400: 501420 511358 Все

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n ≥ 3).

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 16?

б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900?

в) Найдите все возможные значение n, если сумма всех данных чисел равна 235.

а) Да. Например, числа 1, 3, 5, 7 составляют арифметическую прогрессию, а их сумма равна 1 + 3 + 5 + 7 = 16.

Длины сторон прямоугольника ― натуральные числа, а его периметр равен 200. Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n ― также натуральное число.

а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника?

б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника?

б) Пусть меньшая сторона прямоугольника (или равная другой стороне, если это квадрат) равна тогда другая сторона равна В этом случае площадь прямоугольника равна Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз, а число не превосходит абсциссы вершины параболы. Следовательно, значение функции будет тем меньше, чем дальше находится число от абсциссы вершины. Таким образом, наименьшее значение функции достигается при а тогда площадь равна 99. В этом случае условие также соблюдается, так как число 99 равно 9900% от числа 1.

в) Пусть ― это сторона, n% от которой равны другой стороне. Тогда другая сторона равна Поскольку сумма смежных сторон прямоугольника равна 100, получаем:

Так как и ― целые числа, то число 10 000 кратно числу a.

Заметим, что так как Следовательно, требуется найти все делители числа 10 000, меньшие 50. Так как то искомый делитель может содержать в своем разложении на простые множители лишь 2 и 5, причем соответствующие степени не превосходят 4.

Возможны три случая:

1) Число не делится на 5. Тогда оно может быть только степенью двойки, причем не более, чем четвертой, т.е. a может принимать значения 1, 2, 4, 8 или 16, а площадь при этом будет равна, соответственно, 99, 196, 384, 736 или 1344.

2) Число делится на 5, но не делится на 25. Тогда оно может быть равно 5, 10, 20 или 40. Площадь в этих случаях будет равна 475, 900, 1600 или 2400 соответственно.

3) Число a делится на 25. В этом случае оно может быть равно только 25. Тогда площадь равна 1875.

Ответ: а) 2500; б) 99; в) 99, 196, 384, 475, 736, 900, 1344, 1600, 1875, 2400.

Аналоги к заданию № 501400: 501420 511358 Все

Источник