неверно что программирование относится к нелинейному программированию

Неверно что программирование относится к нелинейному программированию

Глава семнадцатая. Нелинейное программирование

17-1. Классификация методов нелинейного программирования

Нелинейное программирование включает в себя методы определения минимума функции n переменных F(х), где х = || x₁, x₂, x₃ || при m + n ограничивающих условиях

Соотношения (17-2) следует понимать таким образом, что каждая компонента векторов ψ и x них не менее нуля. Иногда сокращенно соотношения (17-1) и (17-2) записывают в виде

где область G задается условиями

В нелинейном программировании допускаются в общем случае любые соотношения между n и m, т. е. n>m, n = m, m 1 +(1-λ)x 2 >≤λf(x 1 )+(1-λ)f(x 2 ) (17-3)

где 0 1 ) и f(х 2 ). На рис. 17-2 приведен пример выпуклой функции одной переменной.

Рис. 17-1. Классификация методов нелинейного программирования

Следует заметить, что определение вогнутости и выпуклости может показаться на первый взгляд неправильным. Например, тарелка, стоящая на столе, считается вогнутой, но если рассматривать ее с точки зрения нашего определения, т. е. при направлении третьей оси вверх, она выпукла. Дело в том, что обычное понятие выпуклости всегда совпадает с математическим, если смотреть по положительному, а не по отрицательному направлению оси, относительно которой определяется выпуклость. В примере с тарелкой на столе на нее следует смотреть снизу, стола, тогда она будет выпуклой. Заметим, что для выпуклых функций (см. рис. 17-2)

Рис. 17-2. К определению выпуклой функции

В общем случае эти функции не являются выпуклыми. Однако если каждая из функций f_j(x_j) выпуклая и коэффициенты c_j неотрицательны, то функция f(х) тоже выпуклая. Методы решения задач с сепарабельными функциями, основанные на замене нелинейных функций ломаными кривыми, составленными из отрезков прямых, ищут локальный экстремум и не гарантируют отыскание глобального экстремума [Л. 89].

Теоретически наиболее широко и детально в нелинейном программировании разработан раздел выпуклого программирования, называемый Квадратичным, в котором функции представляются в виде суммы линейной и квадратичной форм и имеют вид:

Для выпуклости необходимо, чтобы матрица C = [| c_jk || представляла собой симметричную положительную полуопределенную матрицу, т. е. чтобы для любых x выполнялись условия симметрии c_jk = c_kj и положительной полуопределенности хСх≥0.

Однако и этот достаточно узкий раздел не представляет единого целого, а состоит из набора методов, справедливых для более частных видов функции (17-5) и отличающихся разной эффективностью, для которой пока еще нет удобных способов сравнительной оценки.

Методы квадратичного программирования можно разделить на три группы: алгоритмы, использующие симплекс-метод; градиентные и прочие специальные методы (см. рис. 17-1).

Отличие градиентные методов, рассматриваемых в квадратичном программировании, от рассмотренных в разделе прямых методов заключается в том, что в первом случае благодаря заданию функций в виде (17-4) удается получить значительно больше результатов, характеризующих конкретный метод. В прямых методах поиска в градиентных и других алгоритмах, как правило, функция цели неизвестна (считается просто, что она выпукла), в традиционных руководствах по нелинейному программированию в большинстве случаев она задана аналитически, в виде таблиц или другим способом. Прямые методы по традиции много внимания уделяют аспектам поиска «вслепую» в условиях неопределенности, выбору оптимальной в каждом случае стратегии поиска.

Источник

В чем разница между линейным и нелинейным программированием

главное отличие между линейным и нелинейным программированием является то, что Линейное программирование помогает найти лучшее решение из набора параметров или требований, которые имеют линейные отно

Содержание:

главное отличие между линейным и нелинейным программированием является то, что Линейное программирование помогает найти лучшее решение из набора параметров или требований, которые имеют линейные отношения, в то время как нелинейное программирование помогает найти лучшее решение из набора параметров или требований, которые имеют нелинейные отношения.

Ключевые области покрыты

1. Что такое линейное программирование
— определение, функциональность
2. Что такое нелинейное программирование
— определение, функциональность
3. В чем разница между линейным и нелинейным программированием
— Сравнение основных различий

Основные условия

Линейное программирование, нелинейное программирование

Что такое линейное программирование

Рисунок 1: Пример графика для линейного программирования

Основные компоненты линейного программирования следующие.

Что такое нелинейное программирование

Рисунок 2: Пример графика для нелинейного программирования

Существует два типа нелинейного программирования следующим образом.

Неограниченное нелинейное программирование

Ограниченное нелинейное программирование

Ограниченное нелинейное программирование включает в себя поиск вектора x, который минимизирует нелинейную функцию f (x) с учетом одного или нескольких ограничений. Внутреннее, последовательное квадратичное программирование и рефлексивная область доверия являются некоторыми общими алгоритмами нелинейного программирования с ограничениями.

Разница между линейным и нелинейным программированием

Определение

использование

Кроме того, линейное программирование помогает найти лучшее решение проблемы с использованием линейных ограничений, а нелинейное программирование помогает найти лучшее решение проблемы с использованием нелинейных ограничений.

Заключение

Основное различие между линейным и нелинейным программированием состоит в том, что линейное программирование помогает найти лучшее решение из набора параметров или требований, которые имеют линейную зависимость, в то время как нелинейное программирование помогает найти лучшее решение из набора параметров или требований, которые имеют нелинейные отношения.

Источник

Нелинейное программирование

1. Постановка задачи

2. Метод множителей Лагранжа

3. Теорема Куна-Таккера. Условие регулярности Слейтера

4. Выпуклое и вогнутое программирование

5. Квадратичное программирование

6.1 Постановка задачи

Задача нелинейного программирования в общем случае формулируется следующим образом:

при условиях

Задача нелинейного программирования называется также задачей на условный экстремум.

В отличие от задач линейного программирования для задач нелинейного программирования не существует универсального метода решения.

В задачах линейного программирования область допустимых решений R(x) всегда является выпуклым с конечным числом крайних точек. Перебрав только крайние точки, всегда за конечное число шагов можно найти оптимальное решение. В задачах нелинейного программирования нелинейность ограничений не всегда обеспечивает выпуклость области допустимых решений и конечность числа его крайних точек. Из-за этих особенностей и возникают основные трудности решения задач нелинейного программирования.

Пример 1. Область допустимых решений R(x) определена ограничениями:

Область допустимых решений имеет вид (Рисунок 6.1) и является не выпуклой.

Пример 2. Область допустимых решений R(x) определена ограничениями:

Область допустимых решений имеет вид (Рисунок 6.2), является выпуклой, но имеет бесконечное число крайних точек.

6.2 Метод множителей Лагранжа

Для того, чтобы вектор был решением задачи, необходимо существование такого вектора , что пара векторов удовлетворяет системе уравнений

Таким образом, метод множителей Лагранжа состоит из следующих шагов:

1. Составляем функцию Лагранжа L(X, L).

2. Составляем систему уравнений.

3. Находим ее решение и исследуем функцию f(X) в окрестностях точки Х0 на min(max).

6.2.1 Исследование функции на экстремум

Для того, чтобы стационарная точка Х0 была экстремальной, достаточно чтобы матрица Гессе H в точке Х0 была:

Ø положительно определенной, тогда Х0 – точка min;

Ø отрицательно определенной, тогда Х0 – точка max.

Для двумерной функции f(x1, x2) матрица Гессе имеет вид

Для трехмерной функции f(x1, x2, x3) матрица Гессе имеет вид

Квадратичная форма Q(X) является положительно определенной, если значения всех угловых миноров определителя ½А½ положительны. В этом случае матрица А называется положительно определенной.

k-м угловым минором определителя матрицы A(n´n) называется определитель вида

Пример. Пусть точка является точкой экстремума функции f(x1, x2, x3) = x1 + 2x3 + x2x3 – . Определить характер экстремума?

Пусть матрица Гессе имеет вид

.

Определим k-е угловые миноры:

Так как матрица Гессе является отрицательно определенной, то точка является точкой максимума.

6.3 Теорема Куна-Таккера. Условие регулярности Слейтера

Условие оптимальности решения задачи нелинейного программирования формулируется в теореме Куна-Таккера, имеющей важное значение для теории нелинейного программирования.

Определим функцию Лагранжа следующим образом

Тогда теорему Куна-Таккера можно записать:

6.4 Выпуклое и вогнутое программирование

Частным случаем задачи нелинейного программирования является задача выпуклого программирования, которая формулируется следующим образом: найти min<f(X)> при условиях

Применив теорему Куна-Таккера, получим следующие необходимые и достаточные условия оптимальности: если функции f(X), gi(X) дифференцируемы и выпуклы по Х, то вектор Х0 является оптимальным решением задачи выпуклого программирования тогда и только тогда, когда существует такой вектор , что для пари векторов будут выполняться следующие условия:

Задачу выпуклого программирования решают следующим образом:

1. Составляют функцию Лагранжа

2. Записывают условие оптимальности в виде системы уравнений и неравенств.

3. Находят совместное решение .

Задача вогнутого программирования формулируется следующим образом: найти max<f(X)> при условиях

Покажем эквивалентность данной задачи задаче выпуклого программирования. Введем обозначения f*(X) = – f(X) и g*i(X) = – gi(X). Так как max< f(X)> = min<– f(X)>, то приходим к задаче:

Условия оптимальности формулируются аналогично задаче выпуклого программирования: Пусть функции f(X), gi(X) дифференцируемы и вогнуты по Х. Для того, чтобы вектор Х0 являлся оптимальным решением задачи вогнутого программирования необходимо существование такого вектора , что для пари векторов будут выполняться следующие условия:

Таким образом, для решения задачи вогнутого программирования необходимо найти совместное решение системы уравнений и неравенств.

6.5 Квадратичное программирование

Задачи квадратичного программирования представляют собой специальный класс задач нелинейного программирования, для которых целевая функция квадратичная, а все ограничения линейные.

Эта задача формулируется следующим образом:

найти max(min)< f(X)>= BтX + XтCX = при условиях

где – симметричная матрица.

Матрица С будет отрицательно определенной в задаче максимизации и положительно определенной в задаче минимизации. Это означает, что функция f(X) является выпуклой по переменным Х в задаче минимизации и вогнутой в задаче максимизации. Ограничения в этой задаче предполагаются линейными, что гарантирует выпуклость области допустимых решений.

Применив теорему Куна-Таккера, получим следующие необходимые и достаточные условия оптимальности: вектор является оптимальным решением задачи квадратичного программирования тогда и только тогда, когда существуют такие m-мерные векторы , и n-мерный вектор , что

Первые два условия образуют систему из (n + m) линейных уравнений с 2(n + m) неизвестными (векторы X0, L0, V0, W0). Третье и четвертое – это условие дополняющей нежесткости, которые налагают дополнительные ограничения на переменные X0, L0, V0, W0, а именно:

В силу этих условий искомое решение задачи должно быть одним из допустимых базисных решений. Для его отыскания можно применить любой из методов линейного программирования, например, симплекс-метод.

Источник

Прикладное применение задачи нелинейного программирования

Доброго времени суток, Хабр! В свое время, будучи студентом младших курсов, я начал заниматься научно-исследовательской работой в области теории оптимизации и синтеза оптимальных нелинейных динамических систем. Примерно в то же время появилось желание популяризировать данную область, делиться своими наработками и мыслями с людьми. Подтверждением этому служит пара-тройка моих детских незрелых статей на Хабре. Тем не менее, на тот момент эта идея оказалась для меня непосильной. Возможно ввиду моей занятости, неопытности, неумения работать с критикой и советами или чего-то еще. Можно до бесконечности пытаться найти причину, но ситуацию это не изменит: я забросил эту идею на полку, где она благополучно лежала и пылилась до этого момента.

Закончив специалитет и готовясь к защите кандидатской диссертации, я задался вполне логичным вопросом: «а что же дальше?» Имея за плечами опыт как обычной работы, так и исследовательской, я вновь вернулся к той самой идее, которая, казалось бы, должна была утонуть под толщей пыли. Но вернулся я к этой идее в более осознанной форме.

Я решил заняться разработкой программного обеспечения, связанного с той отраслью, которой занимаюсь уже на протяжении 8 лет, и моими личными академическими пристрастиями, которые включают в себя методы оптимизации и машинное обучение.

Ну что ж, всем заинтересовавшимся:

Занимаясь реализацией программного обеспечения для своего диплома (и впоследствии диссертации), я подходил к этому вопросу «в лоб»: меня не волновало, насколько создаваемая система будет гибкой, как легко она будет модифицируема. Желание получить результат здесь и сейчас вкупе с неопытностью приводили к тому, что код постоянно приходилось переписывать, что, конечно же, не влияло положительно на профессиональное развитие. Уже сейчас я понимаю, что, как бы ни хотелось, нельзя сломя голову бросаться решать задачу. Надо вникнуть в ее суть, оценить имеющиеся знания, понять, чего недостает, сопоставить понятия предметной области классам, интерфейсам и абстракциям. Словом, нужно осознать имеющиеся резервы и грамотно подойти к проектированию архитектуры программного приложения.

Как вы уже догадались, эта статья будет посвящена разработке и описанию первых элементов будущего приложения.

Определение подхода к разработке и формулировка основной задачи

На Хабре есть большое количество статей, посвященных методологиям разработки ПО. Например, в этой достаточно понятно описаны основные подходы. Остановимся подробнее на каждом из них:

Итак, на данный момент имеется следующая формулировка общей задачи: разрабатываемое программное обеспечение, должно реализовывать различные алгоритмы оптимизации (как и классические аналитические, так и современные эвристические) и машинного обучения (алгоритмы классификации, кластеризации, редукции размерности пространства, регрессии). Итоговой финальной целью является разработка методик применения данных алгоритмов в области синтеза оптимального управления и создания торговых стратегий на финансовых рынках. В качестве основного языка для разработки был выбран Scala.

Итак, в этой работе я расскажу:

Оптимизация

Вследствие того что большую часть своей исследовательской практики я посвятил решениям задачи оптимизации, мне будет удобней оперировать именно с этой точки зрения.

Обычно под решением задачи оптимизации, как бы это банально и косноязычно ни звучало, понимается поиск некоторого «оптимального» (с точки зрения условий задачи) объекта. Понятия «оптимальности» варьируются от одной предметной области к другой. Например, в задаче поиска минимума функции требуется найти точку, которой соответствует наименьшее значение целевой функции, в задача мета-оптимизации требуется определить параметры алгоритма, при которых он дает наиболее точный результат/наиболее быстро отрабатывает/дает наиболее стабильный результат, в задаче синтеза оптимального управления требуется синтезировать контроллер, позволяющий перевести объект в терминальное состояние за наименьшее время и т.д. Уверен, что каждый специалист сможет продолжить это список задачами, связанными с его профессиональной сферой.

В математике, особое внимание уделяется задаче нелинейного программирования, к которой можно свести большое количество других прикладных задач. В общем случае, для постановки задачи нелинейного программирования требуется задать:

Существует огромное количество алгоритмов решения этой задачи. Условно их можно разделить на две группы:

Используемые абстракции

На основе приведенных ранее рассуждений мне кажется, что проще всего работать с двумя понятиями: преобразование и алгоритм. На них и остановимся подробнее.

Преобразования (Transformations)

Вследствие того что почти любую процедуру/функцию/алгоритм можно рассматривать как некоторое преобразование, будем оперировать с этим объектом как с одним из базовых.

Предлагается следующая иерархия между различными типами преобразований:

Остановимся на элементах поподробнее:

Приведенные абстракции, на первый взгляд, охватывают основные типы преобразований, который могут понадобится для дальнейших формулировок задач.

Алгоритм

Я думаю, что естественным будет определить алгоритм как набор трех операций: инициализация, итеративная часть и терминация. На вход алгоритма подается некоторое задание (Task). В ходе инициализации происходит генерация начального состояния (State) алгоритма, которое модифицируется в ходе повторения итеративной части. В конце с помощью процедуры терминации из последнего состояния алгоритма создается объект, соответствующий типу R выходного параметра алгоритма.

Таким образом, для создания конкретного алгоритма, необходимо будет переопределить три описанные ранее процедуры.

K-Means VS. Random Search

Что ж, первые два пункта обещанной программы освещены, пора переходить к третьему.

Оба алгоритма хорошо описаны в различных источниках, поэтому я думаю, что у читателей не составит труда разобраться с ними. Вместо этого я проведу параллели к описанным ранее абстракциям.

Кластеризатор, построенный с помощью алгоритма K-Means однозначно определяется своими центроидами. Сам алгоритм K-Means представляет собой постоянную замену текущих центроид новыми центроидами, рассчитанными как среднее значение всех векторов в отдельно взятых кластерах. Таким образом, в любой момент времени состояние алгоритма K-Means можно представить как набор векторов.

Таким образом, кластеризатор может быть построен либо напрямую с помощью алгоритма K-Means, либо с помощью решения задачи поиска оптимального кластеризатора, обеспечивающего минимум суммарного расстояния точек кластеров от соответствующих центроид.

Сгенерируем несколько синтетических наборов данных размерности 2, 3 и 5.

Источник